精品解析：2025年河北省沧州市南皮县桂和中学九年级中考一模数学试题

2025年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷（创新型） （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列为正数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图，O是量角器的中心，点M是量角器上一点，直尺的一边与量角器的零刻度线重合， 与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ） A. 主视图会发生改变 B. 左视图会发生改变 C. 俯视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 5. 如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点，分别在直尺的，处．若点对应，直尺的0刻度位置对应，则点对应的数为（ ） A. 7 B. 6 C. 14 D. 12 6. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，同样10片雪花的重量用科学记数法可表示为 ( ) A. B. C. D. 7. 如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（ ） A. B. C. D. 与正方形的边长有关，无法判断 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍、不知有多少人和竹竿．若每人6竿，则多14竿；若每人8竿，则少2竿． 甲、乙两位同学分别给出自己的解法： 甲：设竹竿有竿，根据题意可列方程； 乙：设牧童有人，根据题意可列方程． 下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 10. 甲、乙两位同学在解一道一元二次方程时，甲同学在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙同学在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．已知点，，将函数图象向上平移个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，则的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 12. 如图，矩形中，点分别为边上两动点，且，．沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点为点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：_____． 14. 对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有_____个． 15. 如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过点和的中点．若，则的值是______． 16. 如图，在正六边形中，连接对角线，，，，，与交于点，与交于点为，与交于点．若，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，电脑上有一个小程序，每按一次左键，屏幕上的结果加1；每按一次右键，屏幕上的结果减2．已知屏幕上设定的初始数字是3，且每轮操作按 10次键． （1）在一轮操作中，已知按了3次左键，7次右键，求屏幕上最后的结果； （2）一轮操作中，已知按了n次左键，且这轮操作结束后屏幕上的结果是正数，求n的最小值． 18. 课堂上，数学老师展示了两道作业题及其错误的解答过程： 作业题1 作业题2 解分式方程：． 解：去分母，得 ① 去括号，得 ② 移项，得 ③ 合并同类项，得 ④ 系数化为1，得 ⑤ 经检验，是原分式方程的解． 化简分式：． 解： ① ② ③ （1）分别写出作业题1，作业题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的； （2）从两道作业题中任选一题，写出正确的解答过程． 19. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功把三名宇航员送入空间站．为了解学生对航天知识的熟悉情况，某校从全校学生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“航天知识我知道”小测试，根据测试成绩绘制出如图的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 图11-2 （1）甲组成绩的众数 乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； （2）求乙组的平均成绩； （3）这40名学生成绩的中位数是 ； （4）经计算甲组成绩的方差为0.81，请你求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩比较整齐． 20. 石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． （1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______； （2）在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于两点）． ①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）； ②求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线交直线于点，交轴于点． （1）求点的坐标； （2）若点在第二象限，的面积是5． ①求点的坐标； ②将沿轴平移，点的对应点分别为，，，设点的横坐标为．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，的取值范围． 22. 图1是某学校教师办公楼的人脸识别考勤机（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）体育王老师的身高，头部高度为，若他正常站立，王老师能否在有效识别距离内被识别？请计算说明． （2）数学张老师身高，头部高度为，若张老师正常站立被识别，则张老师离摄像头水平距离的最小值是多少？请计算说明 （精确到，参考数据，，） 23. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从点起跳后到着陆坡着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．在着陆坡上设置点作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． 水平距离（） 0 2 6 10 14 18 铅垂高度（） （1）在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离与铅垂高度的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式 （2）请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？ （3）此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度（）与时间（）均满足（其中为常数，表示重力加速度，取），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？ 24. 在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，． （1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长； （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长； （3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最大值？若存在，直接写出的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷（创新型） （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列为正数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正数的识别，绝对值等知识点，大于0的数即为正数，据此进行判断即可． 【详解】解：A.，是负数，不符合题意； B. ，是负数，不符合题意； C. 0既不是正数也不是负数，不符合题意； D.，是正数，符合题意； 故选：D． 2. 如图，O是量角器的中心，点M是量角器上一点，直尺的一边与量角器的零刻度线重合， 与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质定理，邻补角． 由直尺得，所以，已知，进而可得的度数． 【详解】解：由题意得，， ， 故选：B． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 4. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ） A. 主视图会发生改变 B. 左视图会发生改变 C. 俯视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图． 根据三视图的概念得到小正方体移动前后的各个视图，进而即可判断选项． 【详解】移动前的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： 移动后的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： ， 所以它的主视图会发生变化． 故选A 5. 如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点，分别在直尺的，处．若点对应，直尺的0刻度位置对应，则点对应的数为（ ） A. 7 B. 6 C. 14 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，求出，相距的距离，结合题意可得直尺中是数轴上两个单位长度，即可得解． 【详解】解：∵数轴上点，分别在直尺的，处． ∴，相距， ∵点对应，直尺的0刻度位置对应， ∴直尺中是数轴上两个单位长度， ∴点对应的数为， 故选：C． 6. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，同样10片雪花的重量用科学记数法可表示为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解： 故选：C． 7. 如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（ ） A. B. C. D. 与正方形的边长有关，无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率问题，熟练掌握面积型几何概率问题是解题的关键，分别求出甲、乙两个图形中圆的面积，比较后即可得到答案． 【详解】解：∵甲中圆的直径与正方形的边长相等， ∴甲中圆的面积为：， ∵乙中圆的直径为正方形边长的一半， ∴乙中圆的面积为：， ∴， ∴， 故选：C． 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍、不知有多少人和竹竿．若每人6竿，则多14竿；若每人8竿，则少2竿． 甲、乙两位同学分别给出自己的解法： 甲：设竹竿有竿，根据题意可列方程； 乙：设牧童有人，根据题意可列方程． 下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分别设出不同的未知数，列出方程后判断即可． 【详解】解：设竹竿有竿，根据题意可列方程 设牧童有人，根据题意可列方程． 所以两位同学的方程均正确， 故选：A． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，证明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性质得出CQ＝EP，则当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F， 由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠EAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠EAC， ∴∠EAP＝∠CAQ， 又∵AE＝AC，AP＝AQ， ∴△CAQ≌△EAP（SAS）， ∴CQ＝EP， 要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点， ∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF， 在Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝， ∴AB＝， ∵AE＝AC＝， ∴BE＝AB−AE＝， 在Rt△BFE中，∠B＝30°， ∴EF＝BE＝， 故线段CQ长度的最小值是， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键． 10. 甲、乙两位同学在解一道一元二次方程时，甲同学在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙同学在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．设原来的方程为，再利用根与系数的关系得出关于，及，之间的关系式即可解决问题． 【详解】解：设原来的方程为， 由题知， ，， 所以，， 所以原来的方程为， 则． 故选：B． 11. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．已知点，，将函数图象向上平移个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，则的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次和二次函数的性质、解不等式、图形的平移等，利用抛物线关于对称轴对称，求出抛物线与x轴的另一个交点，抛物线，可得抛物线向上平移m个单位后解析式为，平移后的抛物线的顶点坐标为，①当抛物线顶点落在上时，则，解得②当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，构建方程求出m的值可得结论． 【详解】解：由题意抛物线的对称轴是直线，设抛物线与x轴的另一个交点为， 则有， ∴， ∴关于x的一元二次方程的解为，； ∴抛物线， 抛物线向上平移m个单位后解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ①当抛物线顶点落在上时，则， 解得， ②当抛物线经过点时，， 解得； 当抛物线经过点时，， 解得， ∴时满足题意． 综上所述， 或． 故选：A． 12. 如图，矩形中，点分别为边上两动点，且，．沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点为点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查折叠问题、勾股定理，连接，由翻折可得，则，要求的最小值，即求的最小值，以此得出当点G与点B重合时，最小，设则根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵以翻折后，点D与点G重合， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，， 当的最小时，最小， 当点G与点B重合时，最长，最小， 设则 在中，， ∴， 解得， ∴的最小值为． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，绝对值等知识点，先去绝对值符号，再合并同类二次根式即可，熟知二次根式的加减法则是解题的关键． 【详解】 ， 故答案为：． 14. 对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有_____个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据符号[x]的定义即可列出不等式进行求解. 【详解】∵ ∴5＞≥4 解得＞≥7 整数有7,8,9,共3个. 【点睛】此题主要考查不等式的整数解，解题的关键是根据题意列出不等式组. 15. 如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过点和的中点．若，则的值是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、求反比例函数解析式，设，结合正方形的性质可得，，从而可得，列出方程，求出的值即可得解． 【详解】解：由题意可得，设， ∵四边形为正方形， ∴ ∴，， ∵的中点为点， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在正六边形中，连接对角线，，，，，与交于点，与交于点为，与交于点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形问题，根据多边形是正六边形可得出得出，可得由勾股定理得出，可得是等边三角形，从而得出． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴ ∴， ∴ 在中， ∵ ∴ 解得：， 同理可得，， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，电脑上有一个小程序，每按一次左键，屏幕上的结果加1；每按一次右键，屏幕上的结果减2．已知屏幕上设定的初始数字是3，且每轮操作按 10次键． （1）在一轮操作中，已知按了3次左键，7次右键，求屏幕上最后的结果； （2）一轮操作中，已知按了n次左键，且这轮操作结束后屏幕上的结果是正数，求n的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）利用屏幕上显示的结果，即可求出结论； （2）根据“按次按键后，屏幕上显示的数字结果是正数”，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：每按一次左键，屏幕上的结果加1；每按一次右键，屏幕上的结果减2， 屏幕上显示的结果， 【小问2详解】 解：由题意可得， 解得， 为正整数， 的最小值为． 18. 课堂上，数学老师展示了两道作业题及其错误的解答过程： 作业题1 作业题2 解分式方程：． 解：去分母，得 ① 去括号，得 ② 移项，得 ③ 合并同类项，得 ④ 系数化为1，得 ⑤ 经检验，是原分式方程的解． 化简分式：． 解： ① ② ③ （1）分别写出作业题1，作业题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的； （2）从两道作业题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】（1）作业题1：第①步；作业题2：第②步 （2） 选作业题1： 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 经检验，是原分式方程的解． 选作业题2： 解： ． 【解析】 【分析】本题主要考查分式的减法和解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． （1）观察解题过程即可得出结论； （2）按照解分式方程的步骤和分式的减法法则进行计算，即可逐一解答． 【小问1详解】 解：作业题1：第①步；作业题2：第②步； 【小问2详解】 略 19. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功把三名宇航员送入空间站．为了解学生对航天知识的熟悉情况，某校从全校学生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“航天知识我知道”小测试，根据测试成绩绘制出如图的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 图11-2 （1）甲组成绩的众数 乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； （2）求乙组的平均成绩； （3）这40名学生成绩的中位数是 ； （4）经计算甲组成绩的方差为0.81，请你求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩比较整齐． 【答案】（1） （2）分 （3）8分 （4）乙组成绩的方差为，乙组的成绩比较整齐 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别得出甲组和乙组的众数，比较即可得解； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）求出乙组成绩的方差，比较即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得，甲组成绩的众数为，乙组成绩的众数为， 故甲组成绩的众数乙组成绩的众数； 【小问2详解】 解：乙组的平均成绩为（分）； 【小问3详解】 解：把这名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数为分； 【小问4详解】 解：乙组成绩的平均数为， 乙组成绩的方差为 ． 甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为，， 乙组的成绩比较整齐． 20. 石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． （1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______； （2）在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于两点）． ①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）； ②求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 【答案】（1）101 （2）①两人所在座舱在摩天轮上的距离为；②两人所在座舱距离地面的高度差为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、圆的概念、弧长公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出最高点是直径加即可； （2）①求出圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可；②求出的长，利用直角三角形的边角关系得出的长，进而求出的长，即可得解． 【小问1详解】 解：如图， ， 由题意得：，， 当座椅转到点时，距离地面最高，此时， ∴小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为； 【小问2详解】 解：①∵摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱， ∴每相邻两个座椅之间所对的圆心角为， ∴， ∴的长为：， ∴两人所在座舱在摩天轮上的距离为； ②作于， ， 由题意得：两人所在座舱距离地面的高度差为的长， 在中，，， ∴， ∴， ∴两人所在座舱距离地面的高度差为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线交直线于点，交轴于点． （1）求点的坐标； （2）若点在第二象限，的面积是5． ①求点的坐标； ②将沿轴平移，点的对应点分别为，，，设点的横坐标为．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，一次函数图象与性质，平移的性质，利用数形结合思想是解题的关键． （1）把代入求得对应的自变量x的值即可求得； （2）①利用三角形面积公式求得C的纵坐标，代入即可求得C的坐标； ②分两种情况：当沿x轴向右平移时和当沿x轴向左平移时讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①∵点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； ②连接， 把代入得：， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代得：，解得：，． 当点在直线上时，点的横坐标为：， 当点在点D上时，点的横坐标为：， 当沿x轴向右平移时，只有两个顶点在外部时，； 当沿x轴向左平移，只有两个顶点在外部时； 综上可知，只有两个顶点在外部时，m的取值范围为或． 22. 图1是某学校教师办公楼的人脸识别考勤机（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）体育王老师的身高，头部高度为，若他正常站立，王老师能否在有效识别距离内被识别？请计算说明． （2）数学张老师身高，头部高度为，若张老师正常站立被识别，则张老师离摄像头水平距离的最小值是多少？请计算说明 （精确到，参考数据，，） 【答案】（1） 王老师能在有效识别距离内被识别． 理由：假定王老师站在考勤机前E处，头顶正好在仰角线上，过点E作的垂线分别交仰角、俯角线于点C，D，交水平线于点P， 由题意，得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴王老师能在有效识别距离内被识别； （2）张老师离摄像头水平距离的最小值约为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键； （1）假定王老师站在考勤机前E处，头顶正好在仰角线上，过点E作的垂线分别交仰角、俯角线于点C，D，交水平线于点P，再利用锐角三角函数求解，再进一步可得结论； （2）假定张老师站在考勤机前F处，头部下颌正好在俯角线上，过点F作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点Q，再利用锐角三角函数求解，再进一步可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：假定张老师站在考勤机前F处，头部下颌正好在俯角线上，过点F作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点Q， 由题意，得，， ， 同（1）， ∴，即整个头部在摄像头视角范围内， 在中，∵，， ∴， ∴， 答：张老师离摄像头水平距离的最小值约为． 23. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从点起跳后到着陆坡着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．在着陆坡上设置点作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． 水平距离（） 0 2 6 10 14 18 铅垂高度（） （1）在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离与铅垂高度的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式 （2）请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？ （3）此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度（）与时间（）均满足（其中为常数，表示重力加速度，取），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？ 【答案】（1）； （2）不达标 （3）能 【解析】 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，再把点代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）设直线的解析式为：，利用待定系数法求得解析式为：．联立方程组：，得抛物线与交点坐标为，当时和当时，代入二次函数求得时间，再与运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留时间相比较即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 即， 即该运动员铅垂高度的最大值为； 把点代入得： ，解得：， ∴满足的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴该运动员的成绩不达标； 【小问3详解】 设直线的解析式为：，将点和代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 联立方程组得：， 解得：（舍去）或， 抛物线与交点坐标为， 当时，， 解得：或（舍去）， 当时，， 解得：或（舍去）， 该运动员从起跳到落地所用时间为：（秒）， 运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟， 该运动员从起跳到落地能完成动作． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． 24. 在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，． （1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长； （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长； （3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最大值？若存在，直接写出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）16 （2） （3）最大值为8 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的定义先求出，再利用三角合一，求得，从而得解； （2）过C作于F，过M作于N，利用勾股定理得到，利用等面积法得到，再用勾股定理求得，于是，利用，得到，，最后用得出，即，从而得解； （3）过点A作交的延长线于点P，先证明得到，再证明得到，是的中位线，，要使最大，只需最大，此时共线，的最大值为， 最大为，至此得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵绕点B顺时针旋转得到 ∴，即是等腰三角形， 又∵ ∴， ∵点落在的延长线上 ∴； 【小问2详解】 过C作于F，过M作于N，如图： ∵ ∴ ∵绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∵ ∴中， ∴ 中，， ∴， 由旋转性质可得：， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ 即 ∴； 【小问3详解】 最大值为8． 补充理由如下： 过点A作交的延长线于点P，连接， ∵绕点B顺时针旋转得到， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中 ∴ ，即点D是中点 又∵点E为的中点 ∴是的中位线， ∴ 要使最大，只需最大，此时共线，的最大值为， ∴最大为 【点睛】本题考查直角三角形的旋转变换，涉及勾股定理、平行线分线段成比例、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $