精品解析：浙江省杭州学军中学紫金港校区2024-2025学年高一下学期3月练习数学试题

2025学年学军中学紫金港校区高一数学3月练习卷 一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形 3. 若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（ ）. A. B. C. D. 4. 已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量和满足，在方向上投影向量为，则在方向上的投影向量为（     ） A. B. C. D. 6. 已知函数在存在最大值与最小值分别为和，则函数，函数图像对称中心是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题．本题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是复数，且为纯虚数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在实轴上 D. 的最大值为 10. 已知则下列说法正确的有（ ） A. 当时在上单调递增 B. 当时，方程有两个不同的实数根且 C. 若在时，有恒成立，则a的取值范围为 D. 存在实数t，使为偶函数 11. 已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（ ） A. 球的体积为 B. 球内接圆柱的侧面积的最大值为 C. 球在正方体外部的体积小于 D. 球在正方体外部的面积大于 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______． 13. 已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为______. 14. 已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为，则当圆锥的内切球体积最大时，______． 四、解答题．本题共7小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，已知，，，AC边上的中线为BN，M为BC边上靠近B的四等分点，连接AM交BN于点P． （1）用与表示，并计算AM的长； （2）求∠NPM的余弦值． 16. 如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. （1）求的大小； （2）若，设为三角形的角平分线，求的长. 17. 已知向量，，． （1）若，求x的值； （2）记，若对于任意，而恒成立，求实数的最小值． 18. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意，不等式都成立，求实数s的最大值． 19. 如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同． （1）如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少? （2）当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少? （3）试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年学军中学紫金港校区高一数学3月练习卷 一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题即可解答． 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 故命题“，”的否定为，. 故选：D. 2. 把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，进而分析出的形状． 【详解】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，如下图所示： 由图得，，故为等边三角形， 故选：A 3. 若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面的基本定理判断即可. 【详解】由直线和直线外的一点确定一个平面，可得D正确， 故选：D. 4. 已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若圆台上下底面半径分别为且，根据已知列方程求得，再应用圆台的表面积的求法求结果. 【详解】若圆台上下底面半径分别为且，则圆台轴截面腰长为， 所以，，即， 所以，可得，故， 综上，圆台的表面积为. 故选：C 5. 已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在方向上的投影向量可求得，再利用投影向量的定义求解即可. 【详解】向量和满足，由在方向上的投影向量为， 可得，解得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：D. 6. 已知函数在存在最大值与最小值分别为和，则函数，函数图像的对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析函数，得出最大值与最小值的和，得出函数的表达式，利用对勾函数的对称点即可得出函数的对称点. 【详解】由题意， 在中，， ∴， ∵最大值与最小值分别为和， ∴ 在对勾函数中，对称轴为，对称点为， 中，， ∴即，对称轴为， 函数为对勾函数向下平移1个单位得到， ∴函数对称点为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查.函数性质，构造函数，对称中心，函数的最值（和），考查学生的分析和处理问题的能力，计算能力，具有一定的综合性. 7. 已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为的半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过空间想象将圆台内自由转动的正方体问题，转化为求解圆台内球最大问题.先由侧面展开前后图形关系建立方程求解各相关各量等，再计算比较圆台高与圆锥内切球直径的大小关系确定最大球状态，求解半径，进而求正方体棱长与体积可得. 【详解】要使圆台内能放入自由转动的正方体的体积最大，则该正方体的外接球恰好为该圆台内能放入的最大的球. 设圆台的侧面展开图半圆形扇环的内圆半径为，外圆半径为， 则，化简得，又圆台母线长为， 联立，解得. 设圆台上、下底面圆半径分别，则， 解得. 如图1，还台为锥，设上、下底面圆心为， 在中，，又为锐角，则. 由相似性可知，圆台的轴截面等腰梯形的底角为， 故圆台的高. 如图2，圆锥轴截面为正三角形， 则正三角形内切圆即圆锥内切球半径长为， 因为正三角形内切圆直径， 故圆锥内切球即圆台内能放入的最大的球，直径为. 设正方体的棱长为，由正方体外接球直径即为体对角线可得， ，解得， 此时正方体体积最大，最大为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决此题中圆台内最大球问题，注意通过比较圆台高与圆锥内切球直径的大小，从而判断最大球何时取到. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作商法比较与b，利用作差法比较a与b，结合三角函数的图像与性质可得结论. 【详解】，， 因为当时，， 所以，则， ， 因为，所以，即，， 综上，. 故选：B. 二、多选题．本题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是复数，且为纯虚数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在实轴上 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先设，，代入化简，根据为纯虚数得出；再根据向量模的计算方法可判断选项A，根据共轭复数和复数乘法运算可判断选项B；根据复数的几何意义可判断选项C和D. 【详解】设，. 则. 因为为纯虚数， 所以，即. 所以，，故选项A正确，选项B正确. 因为复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点均不在实轴上，故选项C错误； 因为的几何意义为表示点到点， 所以最大值为，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 已知则下列说法正确的有（ ） A. 当时在上单调递增 B. 当时，方程有两个不同的实数根且 C. 若在时，有恒成立，则a的取值范围为 D. 存在实数t，使为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】将代入，得到函数解析式，根据复合函数的单调性判断A；将代入，根据已知条件有，得到方程，利用韦达定理即可判断B；根据函数的定义域，结合对数型函数的性质，分和两种情况验证即可判断C；求出，根据已知条件得方程，化简求解即可判断D. 【详解】对A选项，当时 在上单调递增，且 又在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得在上单调递增选项正确； 对B选项，当时 令可得，， ，， ，B选项错误； 对C选项，当时，令 因为恒成立， 若则在恒成立，即在恒成立， 因为所以恒成立，满足条件， 若，则在恒成立， 即在恒成立，当时 不满足恒成立，所以a的取值范围是C选项正确； 对D选项又为偶函数， 存在使为偶函数D选项正确. 故选：ACD 11. 已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（ ） A. 球的体积为 B. 球内接圆柱的侧面积的最大值为 C. 球在正方体外部的体积小于 D. 球在正方体外部的面积大于 【答案】BCD 【解析】 【分析】由棱切球的半径为,再依次判断即可. 【详解】A.依题意，得棱切球的半径为，则球的体积为，错误 B.记球的内接圆柱的底面半径为，则内接圆柱的高为：， 则内接圆柱的侧面积为：， 等号成立时，故球的内接圆柱的侧面积最大值为：，正确 C.球在正方体外部的体积小于球体积与正方体内切球体积之差，即，正确 D.球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积. 每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积， 则内接圆锥的底面半径为，高为，得圆锥的母线长为：， 得内接圆锥的侧面积为：， 所以6个球冠的表面积大于，正确 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：D项中球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积.每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积. 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案 【详解】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，分析可知点C在以为直径的圆上，根据数量积的几何意义结合圆的性质分析求解. 【详解】由题意可设：， 则， 若，即，则， 可知点C在以为直径的圆上，即圆心为，半径， 则在方向上的投影数量的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题根据向量运算的几何意义把题意转化为图形，结合图形分析求解. 14. 已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为，则当圆锥的内切球体积最大时，______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等面积法求出内切球半径，再结合基本不等式找到内切球半径最大时的取等条件，再利用圆心角公式求解即可. 【详解】设扇形面积为，圆锥的底面半径为，母线长为，高为，内切球半径为， 而，由勾股定理得， 而圆锥的内切球在轴截面中与等腰三角形三边相切， 我们以内切球的球心为顶点，向等腰三角形三边作垂线， 可将其分割为三个小三角形，其中两个小三角形以母线为底，内切球半径为高， 另一个小三角形以底面圆直径为底，内切球半径为高， 由题意得圆锥轴截面的面积与以内切球的球心为顶点分割出的小三角形面积之和相等， 而轴截面面积为， 而以内切球的球心为顶点分割出的小三角形面积之和为 ， 故，解得， 则该圆锥的内切球半径， 由扇形面积公式得，即， 且记为定值，故，即，而， 因为 ， 由基本不等式得， 而， 即，当且仅当时取等，此时， 设圆锥的内切球体积为，而由球的体积公式得， 由幂函数性质得当圆锥的内切球体积最大时，圆锥的内切球半径最大， 而，解得， 当最大时，由弧长公式得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题关键是结合题意求出内切球半径，然后对其合理变形后利用基本不等式找到取得最大值时的取等条件，最后利用圆心角公式得到所要求的值即可． 四、解答题．本题共7小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，已知，，，AC边上的中线为BN，M为BC边上靠近B的四等分点，连接AM交BN于点P． （1）用与表示，并计算AM的长； （2）求∠NPM的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：根据平面向量线性运算与表示，并利用数量积运算求的模；方法二：以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算求的模； （2）方法一：根据平面向量线性运算与表示，再利用平面向量夹角公式求解；方法二：利用平面向量坐标运算夹角. 【小问1详解】 方法一：M为BC边上靠近B的四等分点， ∴． ∵，∴， ； ∵，，，∴， ∴，∴． 方法二：以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，可得，，， ∵AC边上的中线为BN，∴， ∵M为BC边上靠近B的四等分点，可得． 设，代入坐标可解得， 且有． 【小问2详解】 方法一：∠NPM为向量与的夹角，所以， ∵AC边上的中线为BN，∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 方法二：∠NPM为向量与的夹角，所以， ，， ，， 16. 如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. （1）求的大小； （2）若，设为三角形角平分线，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式和三角形内角和公式求解； （2）利用面积方法和三角形的面积公式计算. 【小问1详解】 由得, 又因为， 所以, 又因为， 所以, 又因为, 所以. 【小问2详解】 因为， 所以, 又因为, 所以, 所以, 故答案为：. 17. 已知向量，，． （1）若，求x的值； （2）记，若对于任意，而恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2）的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据向量平行，得到，由求解即可； （2）利用向量的数量积运算得到解析式，由恒成立，再通过求解在的最值，即可得到的最小值. 【小问1详解】 由，则，则， ，，故， ，由于，所以， 所以，则. 【小问2详解】 ==+， ==， ∵，∴，. ∵恒成立，∴， 从而，即. 18. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析； （2） （3）最大值为. 【解析】 【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可； （2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围； （3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值. 【小问1详解】 对于函数的定义域内存在，则无解， 故不是“依赖函数”. 【小问2详解】 因为在上递增，故，即，， 由，故，得， 从而在上单调递增，故. 【小问3详解】 ①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去； ②若，故在上单调递减， 从而，解得(舍)或， 从而存在.使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由，得. 由，可得， 又在单调递减，故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： ① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ② 数形结合( 图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立. 19. 如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同． （1）如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少? （2）当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少? （3）试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动） 【答案】（1）6； （2）4； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据水的体积不变即可得解； （2）根据空气部分的体积大小判断水面形状，记的中点为，连接，利用空气部分体积求出，然后可求侧棱与水平面所成角的正弦值，由可得所求； （3）判断空气部分为台体，设，,根据体积公式和勾股定理列方程，联立整理，代入梯形面积公式，转化为关于的函数，通过换元，利用二次函数性质求解可得. 【小问1详解】 记水面与棱分别交于点， 当侧面水平放置时，水是以为底，高为8的直棱柱， 因为，分别为棱的中点， 所以，所以水的体积为， 当底面ABC水平放置时，设水面高为， 则，解得， 即当底面ABC水平放置时，水面高为6. 【小问2详解】 因为三棱柱体积为， 所以三棱锥的体积为， 空气部分的体积为， 因为，所以当水面经过线段时，水面与棱交于点，如图， 由得， 记的中点为，连接，则， 因为，所以， 又平面，平面，所以，， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以直线在平面内的投影为， 所以为直线与水平面所成角， 又，所以， 所以， 因为，所以水面到地面的距离为. 【小问3详解】 由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱相交，如图： 记的中点分别为，在上，且，， 易知，为正三角形，设， 则，所以， 整理得①， 又因为平面，平面，平面平面， 所以与的交点必在上，所以为棱台， 所以， 整理得②， 联立①②可得，， 因为，所以为平行四边形， 所以， 易知为等腰梯形，所以为等腰梯形的高， 所以水面面积， 则 当水面刚好过点时，，解得， 则，， 由题意可知，则， 记，， 由二次函数性质可知，，即， 所以，所以， 即水面面积S的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题解答关键在于侧棱与水平面所成角的运用，利用侧面与水平面所成角表示出水面面积，然后利用二次函数的性质求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$