精品解析：江苏省淮安市涟水县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

涟水县第一中学2024-2025学年第二学期高一年级第一次月考 数学试卷 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简（    ） A. B. C. D. 2. （    ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的值为（   ） A. B. C. D. 或 4. 已知夹角，且，则等于（    ） A B. C. D. 10 5. 已知平面向量，且，则（    ） A. B. C. D. 3 6. 已知点是矩形四边形的对角线的交点，下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 7. 如果点是角终边上一点，则的值为（   ） A B. C. D. 8. 在中，，点是的中点，则（    ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（    ） A B. C. D. 10. 下列算式中，正确的是（    ） A. B. 已知向量，，则 C. 若向量，，则在上的投影向量的模为 D. 若向量是与向量同向的单位向量，则 11. 已知向量，，则（ ） A. 若，则为 B. 若，则 C. 若，则与的夹角为 D. 的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 值为___________. 13. 已知向量与的夹角为，，，则________． 14. 在中，，为边上的中点，，．则(1) _____________（2）___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 化简下列向量运算； （1）； （2）； （3）． 16. 设α，β为钝角，且，，分别求的值． 17. 已知、均为锐角，. （1）求，的值； （2）求的值. 18. 已知，． （1）若，且与共线，求x的值并求； （2）是否存在实数x，y，使得，且？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即. （1）若向量，，求； （2）若，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 涟水县第一中学2024-2025学年第二学期高一年级第一次月考 数学试卷 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的减法法则计算即可. 【详解】因为，所以C正确； 故选：C. 2. （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的差角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 3. 已知，，则的值为（   ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角关系以及余弦的和角公式即可求解. 【详解】由于，，故， ， 故选：C 4. 已知夹角为，且，则等于（    ） A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】 故选：B 5. 已知平面向量，且，则（    ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】由，且，， 可得：， 故选：B. 6. 已知点是矩形四边形的对角线的交点，下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的基本概念，结合图形逐项判断即可. 【详解】 A选项：如图所示，为相反向量，则，故A正确； B选项：在矩形中，，所以，故B正确； C选项：如图所示，为相等向量，则，故C正确； D选项：如图所示，为相反向量，则，故D错误. 故选：D. 7. 如果点是角终边上一点，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出、，再利用的展开式可得答案. 【详解】因为点是角终边上一点， 所以，， . 故选：D. 8. 在中，，点是的中点，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，以及数量积的运算律即可求解. 【详解】 . 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据特殊角正弦值判断A，再结合两角和差公式计算判断B，C，再应用二倍角正弦公式计算判断D. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项正确； 对于C：，C选项错误； 对于D：，D选项正确. 故选：ABD. 10. 下列算式中，正确的是（    ） A. B. 已知向量，，则 C. 若向量，，则在上的投影向量的模为 D. 若向量是与向量同向的单位向量，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解A，根据模长公式即可求解B,根据投影向量的计算公式即可求解C，根据单位向量的定义即可求解D. 【详解】对于A, ,故A正确， 对于B，，得，故，故B正确， 对于C，在上的投影向量为，故，故C错误， 对于D，，故D正确， 故选：ABD 11. 已知向量，，则（ ） A. 若，则为 B. 若，则 C. 若，则与的夹角为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由向量共线得方程，求解即可；对于B，由向量垂直得数量积为零，由此列方程，求解即可；对于C，根据平面向量夹角的坐标公式求解即可；对于D，根据平面向量模的公式，结合辅助角公式即可求最大值. 【详解】A选项：由，得，则，则，故A错误； B选项：由，得，又，解得，故B正确； C选项：由，得，则， 又，所以，故C正确； D选项：因为， 所以 因为，所以的最大值为， 即的最大值为，则的最大值为，故D错误； 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 值为___________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据诱导公式和两角和余弦公式求解即可. 【详解】 故答案为：. 13. 已知向量与的夹角为，，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据数量积的运算律以及定义即可求解. 【详解】, 故答案为：5 14. 在中，，为边上的中点，，．则(1) _____________（2）___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据数量积的运算律，即可求解. 【详解】, 故答案为：, 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 化简下列向量运算； （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算化简即可； （2）根据向量的线性运算化简即可； （3）根据向量的加法法则化简即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 16. 设α，β为钝角，且，，分别求的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角公式和正余弦两角和差公式即可求解. 【详解】∵，且， ∴， ∴ ． 17. 已知、均为锐角，. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先判断角的象限，再根据同角三角函数的平方关系求解即可； （2）用已知角表示所求角，再根据两角和的正弦公式，两角差的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为均为锐角，所以. 又， 所以， 【小问2详解】 根据第（1）问可知： ， . 18. 已知，． （1）若，且与共线，求x的值并求； （2）是否存在实数x，y，使得，且？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，或． 【解析】 【分析】（1）根据向量共线列方程，可解得，再根据数量积的定义计算即可； （2）根据数量积为零以及模相等列方程组，求解即可. 【小问1详解】 因为与共线，所以存在实数，使得， 所以，解得， 此时，又，则. 【小问2详解】 由．① 由．② 联立①②解得或，所以或. 所以存实数x，y，使得，且， 此时或． 19. 定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即. （1）若向量，，求； （2）若，，求的值. 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）先求，再根据平面向量夹角的坐标公式求解，进而根据新定义求解即可； （2）先根据题意解得，进而得，，，再利用两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为，， 则，， 所以， 因为是向量的夹角，所以， 因此，故. 【小问2详解】 因为， 所以，所以，即， 所以，又，所以， 所以， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$