15.2.1 分式的乘除 教学设计 -2024-2025学年人教版数学八年级上册

教案 课题 分式的乘除 授课日期 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过类比分数的乘除法法则，学生能够观察并理解分式乘除运算的规律，并将其应用于实际问题中。 （2）会用数学的思维思考现实世界：学生在探索分式乘除法运算法则的过程中，发展逻辑推理能力，能够通过类比和归纳总结出分式乘除的运算步骤。 （3）会用数学的语言表达现实世界：学生能够熟练运用分式乘除的运算法则进行准确计算，并能够用数学语言清晰表达运算过程和结果。 教学重点 （1）通过类比分数的乘除法法则，理解并掌握分式的乘除法运算法则，提升数学推理能力。 （2）在真实情境中运用分式的乘除法解决实际问题，培养数学建模和应用能力。 教学难点 （1）理解和掌握分式乘除法法则，尤其是与分数乘除法法则的类比理解。 （2）能够准确地将分式除法转化为乘法，并在多项式分式中正确进行因式分解和约分。 教法学法 讲授法、合作探究法 教具学具准备 （1）投影仪和电脑，用于展示分式乘除法的例题和解题过程，以及相关的动画演示，帮助学生直观理解分式的运算规则。 （2）分组讨论所需的便签纸和记号笔，以便学生在合作探究环节记录自己的发现和疑问，促进小组间的交流与分享。 （3）《数学思维导图》手册，为学生提供分式运算的整体框架和关键概念，帮助他们在学习过程中构建知识体系，加深对分式乘除法的理解。 教学内容设计 个性化调整 （二次备课） 一、情境导入 教师通过展示几个具体的分数的乘除运算，引导学生回顾以前学过的分数乘除法法则。具体例子如下： 观察下列运算： 2/3 × 4/5 = (2×4) / (3×5) 5/7 × 2/9 = (5×2) / (7×9) 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = (2×5) / (3×4) 5/7 ÷ 2/9 = 5/7 × 9/2 = (5×9) / (7×2) 提出问题：以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？ （学生：分数乘法法则是分子乘分子，分母乘分母；分数除法法则是先将除法转化为乘法，然后再进行乘法运算。） 教师继续引导：今天我们将类比分数的乘除法来探索分式的乘除法。 二、合作探究 探究点一：分式的乘法 计算示例： (1) (ab²)/(2c²) (4cd)/(-3a²b²) (2) (x² + 3x)/(x² - 9) (3 - x)/(x + 2) 解析步骤： 找出公因式，然后进行约分。 约分时能分解因式的先分解因式。 详细解答： (1) (ab²)/(2c²) (4cd)/(-3a²b²) = (ab² 4cd) / (2c² -3a²b²) = -4abcd / (6a²b²c²) = -2d / (3ac) (2) (x² + 3x)/(x² - 9) (3 - x)/(x + 2) = [(x(x + 3)) / ((x + 3)(x - 3))] (-(x - 3))/(x + 2) = -x / (x + 2) 方法总结： 分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算。其运算步骤为： 符号运算； 按分式的乘法法则运算； 各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分。 探究点二：分式的除法 【类型一】 利用分式的除法法则进行计算 计算示例： (1) -3xy ÷ (2y²)/(3x) (2) (xy - x²) ÷ (x - y)/(xy) 解析步骤： 先将除法变为乘法。 再利用分式的乘法法则进行运算。 做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再约分。 详细解答： (1) -3xy ÷ (2y²)/(3x) = -3xy (3x)/(2y²) = -9x² / (2y) (2) (xy - x²) ÷ (x - y)/(xy) = (xy - x²) (xy)/(x - y) = -x(x - y) (xy)/(x - y) = -x²y 方法总结： 确定商的符号，再把除式的分子、分母的位置颠倒与被除式相乘。 【类型二】 分式的化简求值 计算示例： (1) (3x + 3y)/(2xy) (4xy²)/(x² - y²)，其中 x = 1/2, y = 1/3 (2) (x² - x)/(x + 1) ÷ (x)/(x + 1)，其中 x = 3 + 1 解析步骤： 利用分式的乘法法则进行计算化简。 将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值。 详细解答： (1) (3x + 3y)/(2xy) (4xy²)/(x² - y²) = [3(x + y)/(2xy)] [4xy²/((x + y)(x - y))] = 6y/(x - y) 当 x = 1/2, y = 1/3 时，原式 = 24 (2) (x² - x)/(x + 1) ÷ (x)/(x + 1) = (x(x - 1))/(x + 1) (x + 1)/x = x - 1 当 x = 3 + 1 时，原式 = 3 方法总结： 根据分式乘除法法则将代数式进行计算化简，再代入求值。 【类型三】 根据分式的除法，判断分式中字母的取值范围 问题：若式子 (x + 1)/(x + 2) ÷ (x + 3)/(x + 4) 有意义，则 x 的取值范围是( ) A. x ≠ -2, x ≠ -4 B. x ≠ -2 C. x ≠ -2, x ≠ -3, x ≠ -4 D. x ≠ -2, x ≠ -3 解析步骤： 被除式的分母不为0。 除式的分子、分母不为0。 详细解答： 因为 (x + 3)/(x + 4) ≠ 0 且 x + 2 ≠ 0，所以 x + 3 ≠ 0 且 x + 4 ≠ 0，解得 x ≠ -2, x ≠ -3, x ≠ -4 故选 C 方法总结： 在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0。 【类型四】 分式乘除法的应用 问题：老王家种植两块正方形土地，边长分别为 a 米和 b 米 (a ≠ b)，老李家种植一块长方形土地，长为 2a 米，宽为 b 米。他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的单位面积产量是老李家种植的多少倍？ 解析步骤： 设花生的总产量是1，老王家种植的总面积为 a² + b² 平方米，老李家种植的总面积为 2ab 平方米，分别求出单位面积产量，再相除即可。 详细解答： 设花生的总产量是1，则 老王家种植的单位面积产量为 1 / (a² + b²)， 老李家种植的单位面积产量为 1 / 2ab， 两者之比为 (1 / (a² + b²)) ÷ (1 / 2ab) = 2ab / (a² + b²) 三、巩固练习 在此环节，老师可以设计一些相关的题目，让学生进行巩固练习，提高学生的实际运用能力。 计算： (1) (2x²y³) / (3z²) (6z³) / (4x²y) (2) (x² + 5x + 6) / (x + 2) (x + 3) / (x + 4) 化简并求值： (1) (x² - 4) / (x - 2) ÷ (x + 2) / (x + 3)，其中 x = 1 (2) (3x - 3y) / (2x - 2y) (x + y) / (x - y)，其中 x = 4, y = 2 应用题： 甲乙两人各自有一块长方形菜地，甲的地是 5m×8m，乙的地是 6m×7m。若两人种植相同的作物，且总产量相同，试问甲种植的作物单位面积产量是乙种植的多少倍？ 课后作业布置 （1）根据分式的乘除法则，完成以下计算题：计算并简化以下分式：(x - 4) / (x + 2) ÷ (x + 4x + 4) / (x - 2)。 （2）应用题：若老王家和老李家的花生总产量相同，老王家的土地为两个相连的正方形，边长分别为a米和b米，老李家的土地为一个长方形，长为2a米，宽为b米。求老王家种植的花生单位面积产量是老李家的几倍。 学科网（北京）股份有限公司 $$