精品解析：四川省德阳市中江县2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2025年春教学质量监测（一） 八年级数学试卷 说明： 1．本试卷分为第I卷和第II卷．第I卷为选择题，第II卷为非选择题，全卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第I卷 选择题（36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，是勾股数的为（ ） A. 1，1， B. 1.5，2，2.5 C. 4，5，6 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股数，判断是否为勾股数，必须满足都是正整数，且两条较短线段的平方和等于较长线段的平方这两个条件．根据勾股数的定义进行逐项分析判断即可． 【详解】解：A、1，1，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、1.5，2，2.5，边长不都是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，不是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，符合题意； 故选：D． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，利用最简二次根式定义判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、是最简二次根式，故该选项符合题意． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，二次根式性质，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键．根据二次根式性质，二次根式加法运算法则，分母有理化，进行计算即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 故选：C． 4. 的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设，则，， ∵， ∴，解得 ∴，，， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP=AC，即可得出答案． 【详解】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴AC=， ∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P， ∴AP=AC=， ∴点P表示的数是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC的长． 6. 如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面米处折断，大树顶部落在距离大树底部米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意画出符合题意的图形，然后根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， 由勾股定理得：， ∴这棵树折断之前的高度为， 故选：． 7. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用二次根式的性质及绝对值的性质计算即可． 【详解】解：， ，， ， 故选：C． 8. 已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（    ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，掌握定理内容并分类讨论是关键；根据4为直角边与斜边两种情况，利用勾股定理即可完成． 【详解】解：当3和4是直角边时， 在直角三角形中，第三边长为； 当3是直角边，4是斜边时， 在直角三角形中，第三边长为； 故选：D． 9. 下图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得，，在中、在中和在中利用勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，根据勾股定理得： ，即， 沿折叠，使点A与点B重合， ， ，，， ，， 在中，根据勾股定理得： ，即， 解得：， 在中，根据勾股定理得： ， 解得：， 故选C． 10. 如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的外壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将杯子侧面展开，作点关于的对称点，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作点关于的对称点，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 由题意得：，，， ∴在中，， 即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为． 11. 在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，点P为边上一点，∠沿折叠正方形后，点B落在平面内点B处，则点坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，求得，从而利用是含30度角的直角三角形求出和，从而得解． 【详解】解：过点作， 由正方形的性质可知： ∵， ∴ ∴ ∴， 根据勾股定理得， ∴，即点的坐标为 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，坐标与图形等知识点，根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 12. 赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，以三边长分别为3，4，5的四个直角三角形拼成一个正方形，以为边再作一个正方形，连结，，则的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握正方形的性质灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，过点H作于点K，先利用勾股定理分别求出，，设，则，再利用勾股定理构造关于x的方程得解得，然后根据三角形的面积公式求出的面积即可得出答案． 【详解】解：过点H作于点K，如图所示∶ 依题意得∶， ， ， ∴正方形的边长为1，即， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，，， 由勾股定理得∶ 在中，，， 由勾股定理得∶， 设， 则， 在中， 由勾股定理得：， 在，由勾股定理得： ， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为：， 故选∶C． 第II卷 非选择题（114分） 二、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分） 13. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 14. 观察下列数据，寻找规律：0，，，，，，，…，那么第10个数据应是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律题，化简二次根式，正确找到规律是解题的关键． 根据题意得到这一列数据为0，，，，，，…，则第n个数据为，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得这一列数据为：0，，，，，，，… 即0，，，，，，…， ∴第n个数据为， ∴第10个数据为， 故答案为：． 15. 如图，一个梯子长米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在上的位置上，如图，测得的长米，则梯子底端向右滑动了______米． 【答案】 【解析】 【分析】在中用勾股定理可得，梯子，在中用勾股定理可得的长，即可计算． 【详解】解：中， 中，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用；解决本题关键在于能找出其中的不变量，在不同的直角三角形中应用勾股定理． 16. 已知，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，二次根式的混合运算，先将变成完全平方公式，然后再将，代入计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：3． 17. 如图，在中，，，，的平分线交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，由角平分线的性质得，进而由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后由三角形的面积求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，是的角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的面积，掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 18. 如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一个动点，则的最小值是________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】当时，有最小值，由正方形的性质可得，进而求出此时，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为8， ∴，， ∵， ∴， 当时，有最小值，即有最小值， 此时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题（本大题共7小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值以及二次根式，然后进行二次根式的加减运算计算． （2）先根据二次根式的性质化简，然后再进行二次根式的加减运算即可． （3）先利用完全平方公式以及平方差公式计算二次根式的乘法，最后再进行二次根式的加减运算即可． （4）先计算括号里面二次根式的减法，再进行二次根式的除法运算计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 20. 如图，在中，，点，分别是，上的点，连接并延长交的延长线于点，，，． （1）求证：； （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：由（）得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（）由，，，则，所以，根据垂线的定义即可求证； （）由，则，通过直角三角形的性质可得，，又，则，然后由等腰三角形的判定即可求证； 本题考查了勾股定理逆定理，垂直的定义，等腰三角形判定及性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积． （1）三角形三边长分别为9，10，11； （2）三角形三边长分别为，，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据海伦公式进行计算即可； （2）根据秦九韶公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：因为三角形的三边是整数，所以可以选用海伦公式计算面积． ， ． 【小问2详解】 解：因为三角形的三边是无理数，平方后可得整数，所以可选秦九韶公式计算． ，，， ． 22. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2） 【答案】（1）15 （2）4 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式可得，然后把，的值代入进行计算即可解答； （2）利用因式分解可得，然后把，的值代入进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：，， ， 的值为15； 【小问2详解】 ， 的值为4． 【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，二次根式的混合运算，利用乘法公式和因式分解对代数式进行恰当的变形是解题的关键． 23. 如图，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析 （2）2小时 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再利用三角形的面积公式求出的长，由此即可得； （2）当时，台风正好影响海港，利用勾股定理求出的长，从而可得的长，再利用除以台风的速度即可得． 【小问1详解】 解：海港C受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ， ． 是直角三角形，且， ， ， 即， ， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受到台风影响； 【小问2详解】 解：当时，正好影响海港， ， ， 由勾股定理得：， ， 台风的速度为， （小时）， 答：台风影响该海港持续的时间有2小时． 24. 已知：如图，在中，，，的周长为30． （1）证明：是直角三角形； （2）过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点．证明：． 【答案】（1） 证明：，，的周长为30， ， ，， ， 是直角三角形． （2） 证明：， ， 于点， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ． 【解析】 【分析】此题重点考查勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地求出的长，并且推导出是解题的关键． （1）计算得出，进而由勾股定理的逆定理判断是直角三角形； （2）由，得，由于点，得，则，由等边对等角得，等量代换了得出，而，根据角的和差关系即可得出； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1）8cm；（2）4或；（3）5或8或． 【解析】 【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度； （2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可； （3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2−AC2＝102−62＝64， ∴BC＝8（cm）； （2）由题意知BP＝2tcm， ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4； ②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t−8）cm，AC＝6cm， 在Rt△ACP中，AP2＝62＋（2t−8）2， 在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2， 即：102＋[62＋（2t−8）2]＝（2t）2， 解得：t＝， 故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝； （3）①当AB＝BP时，t＝5； ②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8； ③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t−8|cm，AC＝6cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2， 所以（2t）2＝62＋（2t−8）2， 解得：t＝， 综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝． 【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春教学质量监测（一） 八年级数学试卷 说明： 1．本试卷分为第I卷和第II卷．第I卷为选择题，第II卷为非选择题，全卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第I卷 选择题（36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，是勾股数的为（ ） A. 1，1， B. 1.5，2，2.5 C. 4，5，6 D. 5，12，13 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 5. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面米处折断，大树顶部落在距离大树底部米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（ ） A. B. C. D. 7. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 5 D. 8. 已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（    ） A. B. C. D. 或 9. 下图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为(　　) A. B. C. D. 10. 如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的外壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，点P为边上一点，∠沿折叠正方形后，点B落在平面内点B处，则点坐标为( ) A. B. C. D. 12. 赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，以三边长分别为3，4，5的四个直角三角形拼成一个正方形，以为边再作一个正方形，连结，，则的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 第II卷 非选择题（114分） 二、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分） 13. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 14. 观察下列数据，寻找规律：0，，，，，，，…，那么第10个数据应是______． 15. 如图，一个梯子长米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在上的位置上，如图，测得的长米，则梯子底端向右滑动了______米． 16. 已知，，则______． 17. 如图，在中，，，，的平分线交于点，则______． 18. 如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一个动点，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共7小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算 （1） （2） （3） （4） 20. 如图，在中，，点，分别是，上的点，连接并延长交的延长线于点，，，． （1）求证：； （2）求证：是等腰三角形． 21. 设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积． （1）三角形三边长分别为9，10，11； （2）三角形三边长分别为，，． 22. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2） 23. 如图，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 24. 已知：如图，在中，，，的周长为30． （1）证明：是直角三角形； （2）过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点．证明：． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $