精品解析：陕西省榆林市府谷县府谷中学2024-2025学年高二下学期第一次质量调研检测数学试题

府谷中学2025年春高二年级第一次质量调研检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章第1节~第2节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（ ） A. 9种 B. 12种 C. 24种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可得解. 【详解】任选1部电影可分四类：第一类选的是科幻片，第二类选的是警匪片， 第三类选的是战争片，第四类选的是喜剧片， 由分类加法计数原理可得不同的选法共有（种）． 故选：B． 2. 下列求导错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数四则运算法则与导数运算公式逐项计算可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 3. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列项的性质计算求解即可. 【详解】因为等比数列中，若，则. 故选：C. 4. 已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和的关系求解即可. 【详解】由， 当时，， 当时，，满足上式， 所以. 故选：B. 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据的图象判断其符号，进而可知的单调性和极值，结合选项分析判断即可. 【详解】由的图象可知：当或时，；当时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 则函数有且仅有两个极值点， 结合选项可知：ABC正确；D错误； 故选：D. 6. 某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲、乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调査，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（ ） A. 12种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】按照分组分配问题先将四个区分为三组，再分配到三组工作人员中去即可. 【详解】先将甲、乙、丙、丁四个区分成三组，即任意选两个成为一组，剩余两个各自一组，共种， 再将分好的三组不同的区分配给三组工作人员，共有种分配方法； 因此共种. 故选：B 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 7 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案. 【详解】由题意得成等差数列， 故，即， 解得. 故选：C 8. 若，则方程表示的不同直线的条数为（ ） A. 30 B. 25 C. 23 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论并结合排列计数问题列式计算得解. 【详解】当时，方程不是直线； 当时，方程表示直线； 当时，方程表示直线； 当，且时，方程表示的直线为； 当且时，从中分别取2个数作为，有种取法， 其中与表示同一条直线，与表示同一条直线， 所以方程表示的不同直线的条数为. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下降的距离（单位：m）与时间（单位：s）之间满足函数关系，则（ ） A. 在这段时间内的平均速度为10m/s B. 在这段时间内的平均速度为12 m/s C. 在s时的瞬时速度为18 m/s D. 在s时的瞬时速度为16 m/s 【答案】BC 【解析】 【分析】应用平均速度计算判断A，B，应用导函数计算瞬时速度判断C，D. 【详解】在这段时间内的平均速度为m/s，故A错误，B正确； 因为，所以，即在s时瞬时速度为18m/s，故C正确，D错误. 故选:BC. 10. 某大熊猫繁育基地对该基地大熊猫幼崽进行体检，体检后将体重各不相同的六只小熊猫排成一排晒太阳，则下列说法正确的是（ ） A. 若将三只小熊猫从左到右按照体重递增的顺序排列，则共有120种排法 B. 若与两只小熊猫不相邻，则共有480种排法 C. 若三只小熊猫排在一起，且只能在与的中间，则共有72种排法 D. 若小熊猫不在排头，不在排尾，则共有480种排法 【答案】AB 【解析】 【分析】由定序排列即可判断A;由插空法即可判断B;由捆绑法即可判断C;分类讨论、 的位置即可判断D. 【详解】对于，只小熊猫全排列有种方法，全排列有种方法，则从左到右按照体重递增的顺序排列有种方法，故A正确； 对于B，先排列除与外的4只小熊猫，有种方法，4只小熊猫排列共有5个空， 利用插空法将和插入5个空，有种方法，则共有种方法，故B正确； 对于，三只小熊猫排在一起，且只能在与的中间有2种排法， 将这3只小熊猫看作一个整体，再与其余3只小熊猫全排列，有种方法， 则共有种方法，故C错误； 对于D，6只小熊猫全排列有种方法， 当在排头时，有种方法，当在排尾时，有种方法， 当在排头且在排尾时，有种方法， 则不在排头，不在排尾的情况共有种，故D错误； 故选：AB. 11. 设数列是首项为1，公差为2的等差数列，是首项为1，公比为2的等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. 若，则 C. 存在正整数，使得成等比数列 D. 将数列与的所有项从小到大排列组成一个新的数列，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列，等比数列的性质，结合基本不等式逐个计算判定即可. 【详解】由题易知 对A,因为，故A错误； 对B,根据等差数列的性质，若，则， 又数列中各项均为正数，所以，即，故B正确； 对C,若成等比数列，则，即，显然时不成立， 当时，等式左边为偶数，右边为奇数，所以等式不成立，故C错误； 对D,因为，，又，所以，故D正确． 故选：BD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在处的导数等于__________. 【答案】2 【解析】 【分析】对函数求导，进而代值计算即可. 【详解】由，则，得. 故答案为：2. 13. 已知数列的首项为14，且，则的最小值为_______________. 【答案】10 【解析】 【分析】利用累加法求通项公式，并注意检验首项，然后用基本不等式求最小值，并考虑取等号条件即可. 【详解】当时，由，得，，…，， 将以上各式左右分别相加， 得， 所以， 又满足上式，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为10. 故答案为：10. 14. 已知是函数的两个极值点，若，且的极小值为整数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】因为有两个极值点，所以有两个变号解，结合韦达定理得出，又因为，联立得出又因为，所以得出或再利用的极小值为整数即可得出答案. 【详解】由题意知是的两根，所以 且又所以 所以即解得或 当时，此时的极小值为不合题意； 当时，此时的极小值为符合题意． 故 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处切线的方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极小值为，极大值为13 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，最后根据切点求切线方程； （2）利用导数求极值. 【小问1详解】 由， 得， 因为，所以， 所以曲线在点处切线的方程为， 即． 【小问2详解】 令，得或， 当变化时，的变化情况如下表： 3 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 又，所以函数的极小值为，极大值为13． 16. 从这7个数字中取出4个数字，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的四位数？ （2）能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【答案】（1）720 （2）420 【解析】 【分析】（1）按照千位，百位，十位，个位的顺序，利用分布乘法计数原理即可求； （2）个位数字可能为0，2，4，6，有四种情况，利用分类加法计数原理即可求. 【小问1详解】 第一步：千位不能为0，有6种选择； 第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择； 第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择； 第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择． 根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数． 【小问2详解】 第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个； 第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个． 根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数． 17. 已知等比数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）设出等比数列的公比，结合已知列出方程组，即可求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 设数列的公比为，则，解得，则， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知， 所以． 由，得，解得， 所以满足的正整数的值为10． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值点个数 （2）当时，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）极值点个数为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得解； （2）参变分离可得在上恒成立，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ． 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 所以在上单调递减， 故的极值点个数为． 【小问2详解】 当时，，不等式可化为在上恒成立， 令，则， 由（1）可知，，即（当且仅当时取等号），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故实数的最小值为． 19. 若数列满足，则称数列具有性质． （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，求证：数列具有性质； （3）设各项都为正数的数列的前项和为，且，数列具有性质，其中，若，求正整数的最小值． 【答案】（1） （2） ，故 (常数) 故数列具有性质. （3）9 【解析】 【分析】（1）由 ，且数列具有性质，进而得出的值； （2）证明为常数，即可得出结论； （3）求出数列的通项公式，可得出，再求出数列的通项公式，利用，求正整数的取值范围即可得解. 【小问1详解】 由得， 根据题意，数列具有性质， 由，所以，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 所以当时，， 两式相减得，， 即， 由数列各项都为正数，可得， 即， 又，解得， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 得， 因为数列具有性质，所以成等比数列， 故， 于是，即，其中 ，即， ，由知 ， ①若为偶数，则，即； ②若为奇数，则，即； 综上①②可得，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问中，需要由的关系求通项公式，还需要会对形式的数列构造等比数列求通项公式，对能力要求比较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 府谷中学2025年春高二年级第一次质量调研检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章第1节~第2节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（ ） A. 9种 B. 12种 C. 24种 D. 72种 2. 下列求导错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 6. 某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲、乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调査，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（ ） A. 12种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 7 D. 2 8. 若，则方程表示的不同直线的条数为（ ） A. 30 B. 25 C. 23 D. 21 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下降的距离（单位：m）与时间（单位：s）之间满足函数关系，则（ ） A. 在这段时间内的平均速度为10m/s B. 在这段时间内的平均速度为12 m/s C. 在s时的瞬时速度为18 m/s D. 在s时的瞬时速度为16 m/s 10. 某大熊猫繁育基地对该基地大熊猫幼崽进行体检，体检后将体重各不相同的六只小熊猫排成一排晒太阳，则下列说法正确的是（ ） A. 若将三只小熊猫从左到右按照体重递增的顺序排列，则共有120种排法 B. 若与两只小熊猫不相邻，则共有480种排法 C. 若三只小熊猫排在一起，且只能在与的中间，则共有72种排法 D. 若小熊猫不在排头，不在排尾，则共有480种排法 11. 设数列是首项为1，公差为2的等差数列，是首项为1，公比为2的等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. 若，则 C. 存在正整数，使得成等比数列 D. 将数列与的所有项从小到大排列组成一个新的数列，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在处的导数等于__________. 13. 已知数列的首项为14，且，则的最小值为_______________. 14. 已知是函数的两个极值点，若，且的极小值为整数，则______． 四､解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处切线的方程； （2）求函数的极值． 16. 从这7个数字中取出4个数字，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的四位数？ （2）能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 17. 已知等比数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值点个数 （2）当时，恒成立，求实数的最小值． 19. 若数列满足，则称数列具有性质． （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，求证：数列具有性质； （3）设各项都为正数的数列的前项和为，且，数列具有性质，其中，若，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $