8.6.2直线与平面垂直(第一课时) 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 8.6.2直线与平面垂直(第一课时) 教科书 书 名：高中数学必修第二册 出版社：人民教育出版社 教学目标与素养 1、数学抽象核心素养：从具体的生活实例让学生感知直线与平面垂直，从而抽象概括出直线与平面垂直的定义；通过合作探究折纸实验，发现并归纳出直线与平面垂直的判定定理，从而促进学生运用数学抽象的思维方式思考并解决问题； 2、直观想象核心素养：通过借助旗杆与地面的影子两者之间的位置变化关系，从而直观的认识直线与平面垂直的定义；在折纸的试验探究过程中，通过观察折痕与桌面的位置关系，从而建立形与数的联系，最终使学生达到利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识问题； 3、逻辑推理核心素养：通过具体生活实例从特殊到一般，从具体到抽象，概括线面垂直的定义，以及利用合理的类比、归纳与推广的方法研究线面垂直的判定，从而让学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力． 教学重难点 重点：直线与平面垂直定义的抽象与归纳，以及直线与平面垂直判定定理的发现与验证． 难点：发现并验证线面垂直的判定定理． 教学过程 （一）复习旧知，引出课题 直线与平面的位置关系有哪些？ （二）构建直线与平面垂直的定义 1、生活中的线面垂直关系 【设计意图】通过生活中常见的旗杆、桥柱等图片直观感受线面垂直的关系，再利用比萨斜塔的线面不垂直从而引出18世纪法国数学家克莱罗在《几何基础》中对直线与平面垂直的直观解释：一条直线不向平面上的任何一面倾斜． 2、旗杆影子实验 思考1： 观察旗杆AB与影子的位置关系 多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化． 思考2：对于地面上不过点B的任意一条直线B′C′，旗杆AB会与之垂直吗？ 结论：旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直． 【设计意图】通过对旗杆所在直线与平面的影子所在直线关系的探索，从而总结出直线与平面内的所有直线都垂直时直线就与平面垂直，此时正好呼应了古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中提出：若一条直线垂直于平面上与该直线相交的所有直线，则该直线与此平面垂直。最后引导学生完善并总结出直线与平面垂直的定义，在此过程中学生体会到了知识从具体到抽象的产生过程，加强了学生的直观感受，深化了学生对线面垂直的理解． 3、直线与平面垂直的定义 （1）定义： 文字语言：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则该直线与此平面垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，直线与平面垂直时它们的唯一的公共点叫做垂足． 图形语言： 符号语言： 判断正误： 1°若直线 l 与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α. 2°若 l⊥α，则直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直． （2）由定义可知（性质）： 若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线． （三）探究直线与平面垂直判定定理 思考3：如何判定直线与平面垂直？ 追问1：由定义判定直线与平面垂直，方便吗？ 追问2：线面平行是如何判定的？类比线面平行如何来研究线面垂直的判定？ 【设计意图】此过程主要让学生学会类比线面平行，体会利用转化、降维的思想来研究线面垂直的判定，在此过程中从无限性到有限性的转变，让问题变得更简单，再次让学生感受到本章解决问题的核心——空间问题平面化的的思想． 1、探究活动 如图，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）． 思考4： （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？ （3）与桌面垂直的折痕AD能折出几条？你能给出合理的解释么？ 【设计意图】首先学生感知研究“判定”的必要性之后，引导学生类比线面平行研究，将无限性转化为有限性，探究直线与平面垂直所需要的“最少条件”.学生通过在折纸操作中辨析、思考折纸过程的数学本质，经历“化繁为简”“以简驭繁”的研究问题的一般思路，让学生真正体会到知识产生的过程，在自己的实践中感受数学探索的乐趣，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣，同时在讨论交流中激发学生的积极性和创造性，进一步提高自主学习能力，同时也从中培养了他们严谨细致的作风． 2、直线与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． 符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言： （四）推理论证，实际应用 例：如图，当门打开的时候，门轴与地面垂直么？与门轴平行的另外一条线与地面垂直么？ 由此你发现了什么？请证明你的发现． 结论： 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 练习： 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥平面ABCD ，求证：AC⊥平面PDB． 变式：若E,F分别是AB、BC的中点，求证EF⊥PB． 【设计意图】加强巩固学生对线面垂直判定的理解应用，变式主要突出第三种线面垂直方法的应用，强调学生在使用中将其内化． （五）课堂小结 1、知识总结：线面垂直的定义、判定； 2、思想方法总结：化归与转化，数形结合等； 3、核心素养： 数学抽象，直观想象，逻辑推理． （六）作业布置 必做：课本152页 第3、4题 课本164页 第15题 选做：查阅资料，了解多种证明线面垂直判定定理的方法． 板书设计 §8.6.2直线与平面垂直 1、直线与平面垂直的定义 2、点到平面的距离 3、直线与平面垂直判定定理 多媒体展示区 例题： 练习： 学科网（北京）股份有限公司 $$