精品解析：广东省肇庆市四会市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

2024－2025学年第一学期四会市教学质量监测 九年级数学试题 说明： 1.本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 2.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、姓名、试室号、座位号、考生号．用2B铅笔把对应的考生号的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5.考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 如图，是的直径，是上一点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 2. 将抛物线向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，二次函数解析式在平移中的变化规律：左加右减，上加下减；据此即可求解． 【详解】解：抛物线向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：D． 3. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为； 故选C． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 4. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故选：B． 5. 点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系．根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故选：A． 6. 下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是　　 A. 圆 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可. 【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.辨别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；.辨别中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 7. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 8. 下列成语描述事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、水涨船高，是必然事件，不符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，符合题意； D、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 9. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 10. 已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. （为实数） 【答案】C 【解析】 【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线可得，，由此即可判断A；根据对称性可得当时，，当时，，由此即可判断B、C；根据抛物线开口向上，对称轴为直线，可得抛物线的最小值为，由此即可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故A中结论错误，不符合题意； ∵当时，，抛物线对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故B中结论错误，不符合题意； ∵当时，，抛物线对称轴为直线， ∴当时，， ∴， 又∵， ∴，故C中结论正确，符合题意； ∵抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上， ∴抛物线的最小值为， ∴， ∴，故D中结论错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 二次函数的常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】解：二次函数的常数项为， 故答案为：． 12. 一个圆锥的底面半径是2，则圆锥侧面展开图的扇形的弧长_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长计算． 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长为， 故答案为：． 13. 已知关于的－元二次方程的一个根为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是关键． 将代入方程得，解之即可． 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，等腰直角三角形中，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形性质可求出AC的长，根据S阴影=S△ABC-2S扇形CEF即可得答案． 【详解】∵等腰直角三角形中，， ∴AC=AB=，∠B=∠C=45°， ∴S阴影=S△ABC-2S扇形CEF==， 故答案为： 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及扇形面积，熟练掌握面积公式是解题关键． 15. 如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得垂直平分，为定角，可得点F在射线上运动，当时，最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，交于点P，如图， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴, ∴是等边三角形， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∴点F在射线上运动， ∴当时，最小， 此时， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∴； 故答案：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点． 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，先求出，利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ，． 17. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球的运动时间(单位：)之间的关系式是()．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 【答案】小球运动秒时，最大高度是． 【解析】 【分析】首先将二次函数转换成顶点式，然后即可求出自变量和函数值的最大值. 详解】 当时，最大． 答：小球运动秒时，小球最高，最大高度是． 【点睛】此题主要考查二次函数的性质，熟练掌握，即可解题. 18. 如图，一条公路转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，AB=300m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=45m．求这段弯路的半径． 【答案】272.5m 【解析】 【分析】根据题意，可以推出AD=BD=150，若设半径为r，则OD=r-45，OB=r，结合勾股定理可推出半径r的值． 【详解】解：设这段弯路的半径为r m， ∵OC⊥AB于D，AB=300， ∴BD=DA=AB=150， ∵CD=45， 得OD=r-45． ∵Rt△BOD中，根据勾股定理有BO2=BD2+DO2， 即r2=1502+（r-45）2， 解得r=272.5． 答：这段弯路的半径为272.5 m． 【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________． （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率． 【小问1详解】 解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为； 【小问2详解】 如图，画树状图如下： 所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个， ∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：． 【点睛】本题考查简单随机事件的概率计算，利用列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件． 20. ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D． 求证：AC是O的切线． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论． 【详解】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA， ∵AB与O相切于点D， ∴AB⊥OD， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE=OD，即OE是O的半径， ∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE， ∴AC是O的切线。 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键. 21. 为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元． （1）求2022~2024年购买图书资金的年平均增长率； （2）按此年增长率，计算2025年用于购买图书的费用． 【答案】（1） （2）8640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为，增长率的定义列式，求解即可， （2）根据增长率的定义及2024年的费用，列式计算即可． 【小问1详解】 解：设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：由题意，得（元）． 答：按此年增长率，2025年用于购买图书的费用为8640元． 五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形；证明见解析； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【小问1详解】 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 23. 如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）采用待定系数法，将点和点坐标直接代入抛物线，即可求得抛物线的解析式． （2）过线段的中点，且与平行的直线上的点与点，点连线组成的三角形的面积都等于，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案． 【小问1详解】 解：因为抛物线经过点 和点两点，所以 ， 解得 ， 所以抛物线解析式为：． 【小问2详解】 解：如图，设线段的中点为，可知点的坐标为，过点作与平行的直线，假设与抛物线交于点， （在的左边），（在图中未能显示）． 设直线的函数解析式为． 因为直线经过点和，所以 ， 解得， 所以，直线的函数解析式为：． 又， 可设直线的函数解析式为， 因为直线经过点 ，所以 ． 解得． 所以，直线的函数解析式为． 根据题意可知， ． 又， 所以，直线上任意一点与点，点连线组成的的面积都满足． 所以，直线与抛物线的交点，即为所求，可得 ， 化简，得 ， 解得， 所以，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：存在，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、一元一次方程等，灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第一学期四会市教学质量监测 九年级数学试题 说明： 1.本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 2.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、姓名、试室号、座位号、考生号．用2B铅笔把对应的考生号的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5.考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 如图，是的直径，是上一点．若，则（ ） A B. C. D. 2. 将抛物线向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是　　 A. 圆 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 等腰三角形 7. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 9. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 10. 已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. （为实数） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 二次函数常数项为_______． 12. 一个圆锥的底面半径是2，则圆锥侧面展开图的扇形的弧长_______． 13. 已知关于的－元二次方程的一个根为，则的值为______． 14. 如图，等腰直角三角形中，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为____． 15. 如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为___________． 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 17. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球的运动时间(单位：)之间的关系式是()．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 18. 如图，一条公路转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，AB=300m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=45m．求这段弯路的半径． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________． （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明） 20. ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D． 求证：AC是O的切线． 21. 为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元． （1）求2022~2024年购买图书资金的年平均增长率； （2）按此年增长率，计算2025年用于购买图书的费用． 五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 23. 如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$