精品解析：重庆市长寿川维中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

川维中学2024-2025学年度下期第一次定时训练 八年级数学试题 （数学试题卷共6页，三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 2．答第1至10题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答第11至25题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中二次根式的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 下列语句中，正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为任意实数，则 D. 若为任意实数，则 5. 如图，在数轴上点表示的数为，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 在中，它的三边分别为、、，条件：①；②；③；④，中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的表面爬行到点，则爬行的最短路程是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A. B. C. D. 9. 如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是边上的动点，过点作于点，于点，则的长是（　　） A. B. 6 C. D. 5 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：___________． 12. 比较大小：__________（填“”“”或“”） 13. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为________． 14. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点，点表示的数为，设点所表示的数为，则___________． 15. 在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东方向走了m到达B点，然后再沿北偏西方向走了到达目地C点，求A、C两地之间的距离 _____． 16. 如图，在长方形ABCD中，DC＝6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处，若△ABF的面积为24cm2，那么折叠的△ADE的面积为_____． 17. 如图，在矩形中，，动点 P满足，则点 P到A、B两点距离之和的最小值为________． 18. 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简：_____； （2）若，求的取值范围：______． 三、解答题（19题16分每小题4分，20-24各题10分，25题12分，共78分） 19. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知．求下列各式的值． （1）； （2）． 21. 已知，求值． 22. 如图所示，在四边形中，，，，， （1）求的长； （2）求四边形的面积． 23. 某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． （1）求长； （2）若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 24. 若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为．请解答下列问题： （1）的“阳光区间”是___________；的“阳光区间”是___________； （2）若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； （3）实数满足关系式： ，求的算术平方根的“阳光区间”． 25. 如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求线段的长． （2）为何值时，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 川维中学2024-2025学年度下期第一次定时训练 八年级数学试题 （数学试题卷共6页，三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 2．答第1至10题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答第11至25题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把每一个二次根式化为最简二次根式，然后找出与2被开方数相同的二次根式． 【详解】解：=2； A、=3，被开方数是2；故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，被开方数是30；故本选项不符合题意； C、=4被开方数是3；故本选项不符合题意； D、=3，被开方数是6；故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 3. 下列式子中二次根式的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义即可得出答案． 【详解】解：根据二次根式的定义，是二次根式的有：，，，共个， 故选：B． 4. 下列语句中，正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为任意实数，则 D. 若为任意实数，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，，据此即可求解． 【详解】A. 若，则，故该选项正确，符合题意； B. 若，则， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C. 若为任意实数，则，故该选项不正确，不符合题意； D. 若为任意实数，则，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在数轴上点表示的数为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．首先利用勾股定理求出，然后得到点表示的数． 【详解】解：在直角三角形中，根据勾股定理得， ， ， 故点表示的数为， 故选：D． 6. 在中，它的三边分别为、、，条件：①；②；③；④，中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理，三角形的内角和定理是解题的关键．根据三角形的内角和定理，勾股定理逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故②不符合题意； ∵， ∴最大的角为， ∴不是直角三角形，故③不符合题意； ∵， 设， 此时， ∴是直角三角形，故④符合题意； 能确定是直角三角形的条件有2个． 故选：B． 7. 如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的表面爬行到点，则爬行的最短路程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：底面周长为，则半圆弧长为， 画展开图形如下： 由题意得：，， 根据勾股定理得： ． 故选：A． 8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 9. 如图，四边形中，，，，，且，则四边形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的长，运用勾股定理可求出AC的长，在△ADC中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD的面积为Rt△ACD与Rt△ABC的面积之差． 【详解】解：连接AC， ∵ ∴AC=5cm， ∵CD=12cm，DA=13cm， ∴△ADC为直角三角形， ∴ 故四边形ABCD的面积为24cm2． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出△ACD的形状是解答此题的关键． 10. 如图，在中，是边上的动点，过点作于点，于点，则的长是（　　） A. B. 6 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是将三角形的面积转化为两个三角形的面积之和． 过A点作于F，连接，根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理可得的长，由图形得，由面积公式代入数值计算即可得出答案． 【详解】解：如图，过A点作于F，连接， ∵， ∴为等腰三角形， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， 即， 整理得：， 故选：A． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据计算，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 比较大小：__________（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】首先把这两个无理数分别化为和，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数大小的比较，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键． 13. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为________． 【答案】12或 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理；熟练掌握勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．先设的第三边长为x，由于4是直角边还是斜边不能确定，故应分4是斜边或x为斜边两种情况讨论． 【详解】解：设的第三边长为x，分两种情况： ①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边， 由勾股定理得： ， 此时这个三角形的周长； ②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边， 由勾股定理得： ， 此时这个三角形的周长； 综上所述：此三角形的周长为12或． 故答案为12或． 14. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点，点表示的数为，设点所表示的数为，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，以及二次根式的加减运算，涉及数轴上的点表示的数，解题的关键是求出m的值．根据从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为，得点B所表示的数为，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为， ∴点B所表示的数为， ∴ ． 故答案为：． 15. 在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东方向走了m到达B点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C点，求A、C两地之间的距离 _____． 【答案】1000m##1000米 【解析】 【分析】过B点作直线，根据平行线的性质，平角的定义，勾股定理即可得到结论； 【详解】解：如图，过B点作直线， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∵，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，平角的定义等知识．作出辅助线求出为是解题的关键． 16. 如图，在长方形ABCD中，DC＝6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为24cm2，那么折叠的△ADE的面积为_____． 【答案】cm2 【解析】 【分析】根据三角形的面积求得BF的长，再根据勾股定理求得AF的长，即AD的长，设DE=x,则EC=6-x,EF=x,根据勾股定理列出方程求解x，进而求出△AED的面积. 【详解】∵△ABF的面积为24cm2，DC=AB=6cm, ∴BF=8cm ∴AF= ∴AD=BC=AF=10cm， ∴CF=BC-BF=2cm， 设DE=x,则EC=6-x,EF=x, 在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2=DE2 即(6-x)2+22=x2,解得x= ∴S△ADE== cm2 【点睛】此题主要考查折叠的性质、矩形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理列出方程. 17. 如图，在矩形中，，动点 P满足，则点 P到A、B两点距离之和最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，轴对称的性质，勾股定理．明确线段和最小的情况是解题的关键． 如图，作于，则，由，可得，即在距离为2的直线上运动，如图，作关于直线的对称点，连接，，由轴对称的性质可得，，，由，可知当三点共线时，最小，为，根据勾股定理求即可． 【详解】解：如图，作于， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴在距离为2的直线上运动， 如图，作关于直线的对称点，连接，， 由轴对称的性质可得，，， ∴， ∴当三点共线时，最小，为， 由勾股定理得，， 故答案为：． 18. 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简：_____； （2）若，求的取值范围：______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了化简二次根式，绝对值，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先将化简为，然后分类讨论：当时，当时，当时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴，即， ， ∴原式 ； （2）， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴x的取值范围是． 三、解答题（19题16分每小题4分，20-24各题10分，25题12分，共78分） 19. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算方法是解题的关键． （1）根据二次根式的加减法计算即可； （2）根据二次根式的乘除法和减法计算即可； （3）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简合并即可； （4）先利用完全平方公式和平方差公式运算法则运算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 已知．求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式加法法则、乘法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减法法则分别求出、，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案． 【小问1详解】 解： ，， ，， ； 小问2详解】 解：，， ∴，， ． 21. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值和二次根式的混合运算，正确对分式进行化简是解题的关键．先将括号内通分，将除法变为乘法，再进行化简，最后将a和b的值代入计算即可． 【详解】解：原式 将代入得， 原式． 22. 如图所示，在四边形中，，，，， （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形内角和定理、四边形的面积、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识．作辅助线，运用含角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． （1）通过四边形内角和定理，得出．延长交的延长线于点，构造出，，通过，求得，，从而在中，得出，，即可求出的长； （2）连接，将四边形分成两个直角三角形，分别求出和的面积，即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：延长交的延长线于点，如图1， ，， 根据四边形内角和为， ， ， 在中，， ， ， ， ，， 又， ， 在中，，设， ，， ，， ． 故答案：． 【小问2详解】 连接，如图2，将四边形分成两部分， 在中，， 在中，， ． 故答案为：． 23. 某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】（1）的长为； （2）元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ， 答：的长为； 【小问2详解】 解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 24. 若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为．请解答下列问题： （1）的“阳光区间”是___________；的“阳光区间”是___________； （2）若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； （3）实数满足关系式： ，求的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】（1）， （2）或3 （3） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、不等式、解方程等知识点，解题的关键是理解题目中“阳光区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“阳光区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“阳光区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴的“阳光区间”是，的“阳光区间”是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵无理数的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或3； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“阳光区间”是． 25. 如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求线段的长． （2）为何值时，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由题意可求出，，再根据勾股定理求解即可； （2）由等腰三角形的定义结合勾股定理可列出关于t的等式，解之即可； （3）分类讨论：①当时，②当时和③当时分别求解即可． 【小问1详解】 解：出发2秒后，，， ∴； 【小问2详解】 解：当是等腰三角形时，只存在， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：分类讨论：①当时，如图， 则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴, ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， 解得：； ③当时，过点C作于点E，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 综上可知当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，勾股定理，一元一次方程的实际应用，等积法的应用等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$