清单01 两个计数原理及排列组合（考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）高二数学下学期人教B版

清单01 两个计数原理及排列组合 清单01 计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步． 清单02 排列 ①排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ②排列数、排列数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，其中，，且. 清单03 组合 ①组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ②组合数、组合数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 公式：，其中，且 规定： ③排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 （关键是看选出的元素是否与顺序有关,若有关系,则是排列问题，若无关系，则是组合问题） ④组合数的性质 性质1：； 性质2：. 清单04 分类问题 问题 方法 “在”与“不在”的有限制条件的排列问题 既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先. 相邻问题 “捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题 “插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中 定序问题 先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正面考虑比较复杂的问题 “间接法”，反面入手 平均分组问题 一般先分堆，再除以. 不平均分组问题 先分堆，其中有组个数一样，再除以 相同元素的“分配”问题 “隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 【考点题型一】两个计数原理综合（） 【例1】已知直线的斜率为正，且a，b，，则符合上述条件的不同的直线条数为（    ） A．40 B．20 C．17 D．15 【变式1-1】已知集合，且，则集合，，所有可能的情况种数为（   ） A．216 B．200 C．27 D．25 【变式1-2】今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有 种 【变式1-3】25人排成5×5方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？ 【变式1-4】从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为（    ） A．56 B．54 C．53 D．52 【考点题型二】排列数计算（） 【例2】（1）求值: （2）求不等式：的解集． 【变式2-1】下列等式中不成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】计算： (1)； (2)解方程． 【变式2-3】（1）已知，那么 ； （2）已知，那么 ； （3）已知，那么 ． 【变式2-4】证明下列等式． (1)； (2)． 【考点题型三】组合数的计算及性质应用（） 【例3】已知，则的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．2或6 【变式3-1】求等式中的值. 【变式3-2】的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（1）解方程：； （2）计算：； （3）计算. 【变式3-4】若，求m. 【考点题型四】捆绑法和插空法（） 【例4】五名同学元旦期间去华侨城湿地公园参观，结束后在门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有 种. 【变式4-1】某校文艺汇演上有一个合晿节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（   ） A．194 B．240 C．388 D．480 【变式4-2】现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16天票房突破100亿；21天登顶全球动画电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式 ．（用数字作答） 【变式4-4】某中学艺术节第二章节目中有个节目已排，现在要紧急插入个节目，并要求这个节目不相邻，并且原来的个节目顺序不变，则排列的种数为 【考点题型五】特殊元素法（） 【例5】由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（    ）种 A．540 B．684 C．756 D．792 【变式5-1】用这5个数组数，可以组成（   ）个无重复数字的三位偶数． A．24 B．30 C．36 D．48 【变式5-2】某班某次班会准备从甲、乙2名女同学及其他5名男同学中安排5名同学依次发言．若甲、乙同时参与，且前3名发言的同学中有女同学，则不同的安排方法有（   ） A．840种 B．960种 C．1080种 D．1200种 【变式5-3】个人站成一排，其中甲站排头或排尾的条件下，乙、丙不相邻的概率为 . 【变式5-4】为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访.期间工作的任务有四项，每项任务至少一人参加，每个人只参加一项任务，但两名女记者不参加A任务，则不同的安排方案数共有 . 【考点题型六】间接法（） 【例6】某冷饮店有种瓶装饮品可供选择，现有位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了种饮料的购买方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式6-1】从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（    ） A．15 B．40 C．55 D．70 【变式6-2】（多选）某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，且每个盒子最多只能装3个球，则不同的放法有（    ） A．60种 B．64种 C．78种 D．81种 【变式6-4】甲口袋中有标号为、、的三张卡片，乙口袋中有标号为、、、的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有 种（用数字作答） 【考点题型七】部分定序问题（） 【例7】在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有 种不同的插法． 【变式7-1】在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）种 A．72 B．36 C．12 D．6 【变式7-2】某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有 种不同的停放方式． 【变式7-3】如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示） 【变式7-4】六名同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有 ． 【考点题型八】分组分配问题（） 【例8】北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．15 B．90 C．270 D．540 【变式8-1】某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（    ） A．36种 B．48种 C．56种 D．72种 【变式8-2】某市为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有 ． 【变式8-3】有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有 种(用数字作答)． 【变式8-4】已知安排3名男生和2名女生参加A，B，C三项不同的公益活动，每人只能参加1项公益活动，每项公益活动至少有1人参加． (1)求不同安排方案的种数（用数字作答）； (2)若每项活动都必须安排1名男生，求不同安排方案的种数（用数字作答）； (3)若公益活动A需要1人，公益活动B和C都需要2人，求不同安排方案的种数（用数字作答）． 【考点题型九】隔板法（） 【例9】求方程的非负整数解的个数. 【变式9-1】将9个相同的小球放入3个不同的盒子中共有多少种方法（每个盒子中至少放入一个小球）（　　） A．28 B．56 C．36 D．84 【变式9-2】将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 . 【变式9-3】关于的方程（其中，且）的解共有 组．（用数字作答） 【变式9-4】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？ 【考点题型十】涂色问题（） 【例10】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（   ）    A．2520种 B．3360种 C．3570种 D．4410种 【变式10-1】给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．216种 B．180种 C．192种 D．168种 【变式10-2】如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A．540 B．600 C．660 D．720 【变式10-3】如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 . 【变式10-4】国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会．第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）．现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色．若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有 种．    2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 两个计数原理及排列组合 清单01 计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步． 清单02 排列 ①排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ②排列数、排列数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，其中，，且. 清单03 组合 ①组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ②组合数、组合数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 公式：，其中，且 规定： ③排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 （关键是看选出的元素是否与顺序有关,若有关系,则是排列问题，若无关系，则是组合问题） ④组合数的性质 性质1：； 性质2：. 清单04 分类问题 问题 方法 “在”与“不在”的有限制条件的排列问题 既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先. 相邻问题 “捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题 “插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中 定序问题 先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正面考虑比较复杂的问题 “间接法”，反面入手 平均分组问题 一般先分堆，再除以. 不平均分组问题 先分堆，其中有组个数一样，再除以 相同元素的“分配”问题 “隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 【考点题型一】两个计数原理综合（） 【例1】已知直线的斜率为正，且a，b，，则符合上述条件的不同的直线条数为（    ） A．40 B．20 C．17 D．15 【答案】C 【详解】因为直线的斜率为正，则， 当时，的取值有2种取法，的取值有2种取法，的取值有5种取法，共有种取法， 其中和和和表示同一条直线， 故符合条件的直线共有条． 当时，此时所得直线与时所得直线相同． 故选：C． 【变式1-1】已知集合，且，则集合，，所有可能的情况种数为（   ） A．216 B．200 C．27 D．25 【答案】B 【详解】解：设初始状态为， 现将放入三个集合， 有两种放法，放在集合或不放集合； 同，有两种放法； 对于，分两种情况：放在集合或不放集合； 当放在集合，可以不放集合与集合中，也可以放在其中一个集合，但不能同时放在集合中，共3种放法； 当不放在集合，必须放在集合或集合中，共2种放法； 故对于，共有5种放法； 同，共有5种放法； 由分步乖法计数原理得，共有种. 故选：B. 【变式1-2】今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有 种 【答案】243 【详解】由题意，每人都有3种选择，所以总共有， 故答案为：243 【变式1-3】25人排成5×5方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？ 【答案】 【详解】由题意知本题是一个计数原理的应用，从5列中选择三列； 从某一列中任选一个人甲有5种结果； 从另一列中选一个与甲不同行的人乙有4种结果； 从剩下的一列中选一个与甲和乙不同行的丙有3种结果， 根据分步计数原理知共有10×5×4×3=600选法． 【变式1-4】从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为（    ） A．56 B．54 C．53 D．52 【答案】D 【详解】在8个数中任取2个不同的数，且分别作为一个对数的底数和真数， 共有（个）对数值， 但在这56个对数值中，，，，， 即满足条件的对数值共有（个）． 故选：D 【考点题型二】排列数计算（） 【例2】（1）求值: （2）求不等式：的解集． 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）； （2）因为，所以，化简可得，解得，所以不等式解集为． 【变式2-1】下列等式中不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 【变式2-2】计算： (1)； (2)解方程． 【答案】(1)120; (2). 【详解】（1） （2）∵，∴=， 化简得，且， 解得（舍去）或， 所以方程的解为． 【变式2-3】（1）已知，那么 ； （2）已知，那么 ； （3）已知，那么 ． 【答案】 【详解】（1）由， 则， 即，解得. （2）由， 则，解得. （3）由， 则且， 解得或（舍）. 故答案为： ； ； 【变式2-4】证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 【考点题型三】组合数的计算及性质应用（） 【例3】已知，则的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．2或6 【答案】D 【详解】因为已知，由组合数的性质得到或， 解得或. 故选：D. 【变式3-1】求等式中的值. 【答案】9. 【详解】由，得，即，因此， 显然，且，即， 则， 整理得，解得， 所以. 【变式3-2】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 故选：C. 【变式3-3】（1）解方程：； （2）计算：； （3）计算. 【答案】（1）； （2）； （3）； 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以，故. （2）. （3） . 【变式3-4】若，求m. 【答案】或 【详解】依题意，得且，所以， 由，可得，即，解得， 又因为，所以或. 【考点题型四】捆绑法和插空法（） 【例4】五名同学元旦期间去华侨城湿地公园参观，结束后在门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有 种. 【答案】24 【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有种， 再与丙和丁外的1人排列有种， 再排丙和丁有种， 故共有种排法. 故答案为：24. 【变式4-1】某校文艺汇演上有一个合晿节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（   ） A．194 B．240 C．388 D．480 【答案】D 【详解】因为男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻， 所以先将男生甲与女生乙、男生丙与女生丁分别看作一个整体， 与剩下3名学生进行排列有种排法， 又男生甲与女生乙之间有种排法，男生丙与女生丁之间有种排法， 因此根据乘法原理得所求种数为， 故选：D 【变式4-2】现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方法一： 给定的数字是1，2，2，3，3，3，其中有一个1，两个2，三个3，总共有6个数字，因此总排列数为：. 符合条件的排列数（两个2恰好相邻的情况）： 将两个2视为一个整体（即“超级元素”），这样剩下的元素为1，3，3，3和这个“超级元素”，共5个元素. 其中三个3是重复的，因此符合条件的排列数为：，所以符合条件的排列数除以总排列数：. 方法二： 考虑两个2的位置组合，共有种可能的位置组合，其中相邻的位置对数为5种，概率为：， 因此，数字2，2恰好相邻的概率为. 故选：D. 【变式4-3】《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16天票房突破100亿；21天登顶全球动画电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式 ．（用数字作答） 【答案】84 【详解】由题知共分两种情况： 第一种情况：风、火灵珠选出一个，水、雷、土三种灵珠均被选出， 共有种法阵组合； 第二种情况：风、火灵珠均被选出，水、雷、土三种灵珠选出两个， 先从水、雷、土三种灵珠中选出两个进行排列，共有种方法， 再将风、火灵珠进行插空，共有种方法， 则共有种法阵组合， 所以共有种法阵组合. 故答案为：84 【变式4-4】某中学艺术节第二章节目中有个节目已排，现在要紧急插入个节目，并要求这个节目不相邻，并且原来的个节目顺序不变，则排列的种数为 【答案】20 【详解】在个节目中插入个节目，使得所插入的个节目不相邻，原来的个节目顺序不变的方法数为. 故答案为：. 【考点题型五】特殊元素法（） 【例5】由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（    ）种 A．540 B．684 C．756 D．792 【答案】B 【详解】先安排医生，再安排护士. 安排医生，方法数有种； 再安排护士，护士名，由于护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，故可分为和两类： 如果是，一共有种， 如果是，又分为若甲乙在人小组中，则有种； 若甲乙在人小组中，则有种， 最后将分好的三组医生、三组护士全排列安排到三个医疗点， 所以一共有种分配方法. 故选：B. 【变式5-1】用这5个数组数，可以组成（   ）个无重复数字的三位偶数． A．24 B．30 C．36 D．48 【答案】B 【详解】由个位数是否为0分类讨论： ①个位是0，则无重复数字的三位偶数有：个； ②个位不是0，则无重复数字的三位偶数有：个； 所以共有个. 故选：B. 【变式5-2】某班某次班会准备从甲、乙2名女同学及其他5名男同学中安排5名同学依次发言．若甲、乙同时参与，且前3名发言的同学中有女同学，则不同的安排方法有（   ） A．840种 B．960种 C．1080种 D．1200种 【答案】C 【详解】先从5名男同学中选3人，有种情况； 若前3名同学中，只有1名女同学，则先从3名男生中选2名，有种情况， 再从2名女生中选一名，有2种情况，再将前3人排成一列，有种情况， 最后排剩下2人，有种方法，则前3名同学中， 只有1名女同学的总情况数为：； 若前3名同学中，有2名女同学，则先从3名男生中选1名，有种情况， 再将前3人排成一列，有种情况，最后排剩下2人，有种方法， 则前3名同学中，有2名女同学的总情况数为：； 故不同的安排方法有. 故选：C 【变式5-3】个人站成一排，其中甲站排头或排尾的条件下，乙、丙不相邻的概率为 . 【答案】/0.6 【详解】由题知，甲站排头或排尾的方法有种， 甲站排头或排尾且乙、丙不相邻的方法有种， 所以甲站排头或排尾的条件下，乙、丙不相邻的概率为. 故答案为： 【变式5-4】为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访.期间工作的任务有四项，每项任务至少一人参加，每个人只参加一项任务，但两名女记者不参加A任务，则不同的安排方案数共有 . 【答案】126 【详解】两名女记者不参加A任务，由题意分两类情况： ①1男参加A任务，将3男选1人排在A任务，再将剩下4人选2人捆绑， 再排在其他3项任务，即（种）. ②2男参加A任务，将3男选2人排在A任务，再将剩下的3人排在其他3项任务， 即（种）， 所以选出符合条件的方案共有（种）. 故答案为：126 【考点题型六】间接法（） 【例6】某冷饮店有种瓶装饮品可供选择，现有位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了种饮料的购买方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【详解】先指定购买的种饮料，共种，要求这位同学只能购买这种饮料， 利用间接法，每位同学共有种选择，共种购买方法， 除去位同学所买的饮料都是同一种，共种情况， 由分步乘法计数原理可知，恰好购买了种饮料的购买方法种数为种. 故选：A. 【变式6-1】从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（    ） A．15 B．40 C．55 D．70 【答案】C 【详解】从8名学生中任选4名有种，没有甲乙的选法有种， 所以甲乙至少1人参加的不同的选法种数为. 故选：C 【变式6-2】（多选）某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】直接法： 若小品排在最后一位，有种不同的排法； 若小品排在第二到第六位之间，则相声可以排在除最后一位和小品占据以外的任何位置，有种不同的排法； 则共有种不同的排法，A正确； 间接法： 不管条件限制共有种不同的排法； 当小品在第一位或相声在最后一位时，有种不同的排法， 当小品在第一位且相声在最后一位时，有种情况； 故共有，D正确； 故选：AD. 【变式6-3】将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，且每个盒子最多只能装3个球，则不同的放法有（    ） A．60种 B．64种 C．78种 D．81种 【答案】C 【详解】不考虑每个盒子最多只能装3个球，有种放法. 若将4个球放入同一个盒子中，有3种放法. 故不同的放法有种. 故选：C. 【变式6-4】甲口袋中有标号为、、的三张卡片，乙口袋中有标号为、、、的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有 种（用数字作答） 【答案】 【详解】从甲、乙两个口袋中，每个口袋至少抽一张卡片，共抽取三张卡片， 不同的抽法种数为， 其中，抽取的三张卡片都是奇数的抽法种数为， 因此，抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法种数为. 故答案为：. 【考点题型七】部分定序问题（） 【例7】在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有 种不同的插法． 【答案】 【详解】由题意，不同的插法共有种. 故答案为：. 【变式7-1】在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）种 A．72 B．36 C．12 D．6 【答案】C 【详解】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡胸肉顺序一定， 所以不同的排序方法有种方法. 故选：C 【变式7-2】某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有 种不同的停放方式． 【答案】70 【详解】8个空位的排法有1种，出现了7个空，从中选3个，把三辆车排好的方法有： 种. 其中甲车在乙、丙两车之间的概率为：. 所以满足条件的排法种数为：种. 故答案为：70 【变式7-3】如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示） 【答案】60 【详解】依题意，6串香蕉任意收取共有种方法， 考虑在收取最右边一列时有种取法，收取中间一列时有种取法， 而从下往上收取只是其中的一种，故按照从下往上的收取方法，不同取法数是种. 故答案为：60. 【变式7-4】六名同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有 ． 【答案】360 【详解】根据题意，6人并排站成一排，有种情况， 而其中甲站在乙的左边与甲站在乙的右边是等可能的，则其情况数目是相等的， 则甲站在乙的左边的情况数目为． 故答案为：360. 【考点题型八】分组分配问题（） 【例8】北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．15 B．90 C．270 D．540 【答案】B 【详解】解法一：该游客第一天从6种美食中随机选择2种品尝，有种选法； 第二天从剩余的4种美食中随机选择2种品尝，有种选法； 第三天只能品尝最后剩余的2种美食，有种选法． 故该游客在这三天中选择美食的不同选法种数为； 解法二：先将6种美食平均分成3组，有种不同的分法， 该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有种不同的选法， 所以这三天他选择美食的不同选法种数为． 故选：B. 【变式8-1】某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（    ） A．36种 B．48种 C．56种 D．72种 【答案】A 【详解】先将甲、乙、丙、丁四个区分成三组，即任意选两个成为一组，剩余两个各自一组，共种， 再将分好的三组不同的区分配给三组工作人员，共有种分配方法； 因此共种. 故选：A 【变式8-2】某市为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有 ． 【答案】540 【详解】每人只能去一个地方，每地至少派一人，则有三种分配方案： ①按照1:1:4的比例，共种， ②按照2:2:2的比例，共种， ③按照1:2:3的比例，共种， 共540种. 故答案为：540. 【变式8-3】有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有 种(用数字作答)． 【答案】 【详解】甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法总数是， 而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是， 故不同的住宿安排共有种． 故答案为： 【变式8-4】已知安排3名男生和2名女生参加A，B，C三项不同的公益活动，每人只能参加1项公益活动，每项公益活动至少有1人参加． (1)求不同安排方案的种数（用数字作答）； (2)若每项活动都必须安排1名男生，求不同安排方案的种数（用数字作答）； (3)若公益活动A需要1人，公益活动B和C都需要2人，求不同安排方案的种数（用数字作答）． 【答案】(1)150 (2)54 (3)30 【详解】（1）先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排到三个项目，有种情况， 则不同安排方案的种数为． （2）先将3名男生分到三项公益活动，有种方案， 2名女生有种方案， 所以不同安排方案的种数为． （3）不同安排方案的种数为． 【考点题型九】隔板法（） 【例9】求方程的非负整数解的个数. 【答案】66 【详解】可将问题转化为把13个相同小球放入三个不同的箱子中， 由于箱子中的球可以为0，可知不满足隔板法的使用条件， 因此我们可以选择添加三个球，即给箱子中各添加一个球， 这样就将问题转化为把13个相同小球放入三个不同箱子中，且每个箱子中至少有一个球， 即将原问题转化为求的正整数解的个数， 因此可得方程的非负整数解的个数是. 所以方程的非负整数解的个数为. 【变式9-1】将9个相同的小球放入3个不同的盒子中共有多少种方法（每个盒子中至少放入一个小球）（　　） A．28 B．56 C．36 D．84 【答案】A 【详解】根据题意可知，采用隔板法， 9个相同的小球形成8个空，在8个空中插入2块隔板，形成3组小球，再放入3个不同的盒子， 共有种方法． 故选：A． 【变式9-2】将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 . 【答案】35 【详解】先把8个相同的小球排成一行，然后在8个小球之间的7个空隙中任选4个空隙各插入一块隔板， 每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式， 故每个盒子都不空的方法数共有种. 故答案为：35. 【变式9-3】关于的方程（其中，且）的解共有 组．（用数字作答） 【答案】 【详解】由，且，故， 则等价于， 即可将分为个之和，将这些分为三组，每一组至少一个， 即在个中间插入两个隔板，共有种. 故答案为：. 【变式9-4】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？ 【答案】 【详解】因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。 【考点题型十】涂色问题（） 【例10】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（   ）    A．2520种 B．3360种 C．3570种 D．4410种 【答案】D 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择. 综上所述，不同的涂色方案有种. 故选：D. 【变式10-1】给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．216种 B．180种 C．192种 D．168种 【答案】D 【详解】先对3，4，5染色，有种方法， 若2和3同色，则不同的染色方法有种， 若2和3不同色，则不同的染色方法有种， 综上，不同的染色方法有种． 故选：D. 【变式10-2】如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A．540 B．600 C．660 D．720 【答案】D 【详解】第一步涂陕西有5种选择，第二步涂湖北有4种选择，第三步涂安徽有4种选择，第四步涂江西有3种选择，第五步涂湖南有3种选择,即共有种涂色方案. 故选：D 【变式10-3】如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 . 【答案】48 【详解】求不同的涂色方法有两类办法：用4种颜色涂4个区域有种；若同色，用3种颜色，有种， 由分类加法计数原理，不同的涂色方法共有（种）. 故答案为：48 【变式10-4】国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会．第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）．现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色．若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有 种．    【答案】420 【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色， 若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色， 此时不同的涂色方案有种； 若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色， 余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种； 若5块区域只用5种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种； 综上，不同的涂色方案有：种. 故答案为：420 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$