清单08 导数的运算及几何意义（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高二数学下学期人教B版

清单08 导数的运算及几何意义 . 清单01 割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. . 清单02 导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. . 清单03 基本初等函数的导数公式及运算法则 基本初等函数 导函数 （为常数） 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 【考点题型一】导数的定义及变化率（） 【例1】已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】根据导数的定义可知， ， 故选：D 【变式1-1】物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】C 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 【变式1-2】已知函数在处的导数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故选：D. 【变式1-3】人的心率会因运动而变化，已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示(a，b，c为定义域的四等分点)，并且用的大小评价心率变化的快慢. ①在这段时间内，甲的心率变化 乙的心率变化；(填“大于”、“小于”、“等于”) ②在时刻，甲的心率变化 乙的心率变化.(填“大于”、“小于”、“等于”) 【答案】 大于 等于 【详解】在这段时间内，图象割线斜率的绝对值比图象割线斜率的绝对值大， 所以甲的心率变化大于乙的心率变化； 在时刻，图象切线斜率和图象切线斜率相同， 所以甲的心率变化等于乙的心率变化. 故答案为：大于；等于 【变式1-4】函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】C 【详解】由题意有，，所以，即， 故选：C. 【考点题型二】导数的运算（） 【例2】若函数，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】由， ， 令，可得，得， 所以， 所以， 故选：A 【变式2-1】已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】求导得，所以， 故选：A. 【变式2-2】已知函数满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为，则， 令，则，解得. 故选：B. 【变式2-3】函数的导数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以， 故选：B 【变式2-4】已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以； 因为，所以，即， 又，所以，所以， 所以． 故选：D 【考点题型三】在点P处的切线（） 【例3】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，故， 故曲线在点处的切线方程为， 故选：B. 【变式3-1】若在处的切线为，直线的倾斜角为，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以， 故答案为：. 【变式3-2】已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值为（） A． B．1 C．-1 D． 【答案】D 【详解】将切线方程整理为 ，其斜率为，因此. 切点在切线上，将代入切线方程： 所以 故选：D. 【变式3-3】已知函数图像在点处的切线方程是，则 ． 【答案】 【详解】因为函数图像在点处的切线方程是， 则函数图像在点处的切线的斜率为 故答案为：. 【变式3-4】奇函数在处的切线方程为，则它在处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】奇函数过点，则它亦过点．因为奇函数图象关于原点中心对称， 所以在处的切线斜率与它在处的切线斜率相等． 所以它在处的切线方程为． 故答案为： 【考点题型四】过点P处的切线（） 【例4】过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 【变式4-1】过点作曲线：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】设， 由题意可得切线的斜率， 所以切线方程为， 代入点可得 因为切点在曲线上，所以，代入上式可得， ，化简可得， 又，所以， 同理 所以直线方程为. 故答案为： 【变式4-2】过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 设切点为， 则切线斜率， 即切线方程为， 又切线过点， 则， 整理可得， 解得或或， 则切线斜率为或或， 故选：D． 【变式4-3】过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】设的切点分别为， 由题意可得，， 所以在处的切线为，在处的切线为， 又因为两条切线过原点，所以，解得， 所以直线斜率的乘积为， 故选：B 【变式4-4】已知，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若，求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：由函数，其中，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 可得，且，即， 解得. （2）解：由（1）知，，可得， 设切点为，则切线的斜率，故切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 解得或，所以切点为或， 此时，曲线过点的切线方程为或. 【考点题型五】切线平行、垂直问题（） 【例5】函数在点处的切线为. (1)若与直线平行，求实数的值； (2)若与直线垂直，求切线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得:，所以在点处的切线斜率为， 因为切线与直线平行，所以，解得； （2）由（1）可知，切线斜率为，因为切线与直线垂直， 所以，解得， 所以切点为，斜率为， 所以切线方程为，即. 【变式5-1】曲线过点的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【详解】易知直线的斜率为，则切线斜率； 又，设切点坐标为，易知， 则， 又点和切点的斜率为； 联立，解得. 故答案为： 【变式5-2】设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，故， 由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以， 故选：C 【变式5-3】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为曲线，所以 所以在点处的切线斜率为， 直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以. 故选：B. 【变式5-4】已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【答案】(1) (2). 【详解】（1），，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. 【考点题型六】公切线问题（） 【例6】已知和有公共切线，切点分别为，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若点，则始终为钝角 D． 【答案】D 【详解】设公切线的斜率为， 由得，又切点为，则，， 所以切线方程为，即， 又得，切点为，则，， 所以切线方程为，即， 又直线是和的公切线， 所以，整理得，， 当时，经验证，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，， 则， 当时，；当时，， 又，所以，所以始终为钝角，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D. 【变式6-1】已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即， 设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即 ∴，解得，或，， 则直线的方程：或．所以满足条件的直线有2条． 故选：C. 【变式6-2】已知，则与的公切线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【详解】根据题意，设直线l与相切于点，与相切于点， 对于，有，则直线l的斜率， 则直线l的方程为，即， 对于，有，则直线l的斜率，则直线l的方程为，即， 则 可得，即或， 则切线方程为或，故与的公切线有2条． 故选：C. 【变式6-3】已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则 ． 【答案】 【详解】由已知，，又，所以切线方程为， 又，设上切点坐标为， 则，，由得，， 所以， 故答案为：． 【变式6-4】点P在曲线上，且曲线在点P处的切线与曲线相切，求点P的坐标． 【答案】或.. 【详解】设，则，， 所以曲线在点P处的切线为，即， 而此直线与曲线相切，所以切线与曲线只有一个公共点， 由得， 则，解得，则， 所以点P的坐标为或.. 【考点题型七】切线的条数问题（） 【例7】若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 【变式7-1】（多选）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有两条，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】设切点为， 由， 得， 则过切点的切线方程为：， 把代入，得， 即， 令， 则， 则当时，， 当时，， 的增区间为与，减区间为， 做出草图如下： 因为过点且与曲线相切的直线有两条，则或， 则或， 故选：AC. 【变式7-2】过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则 . 【答案】 【详解】由题意得， 过点作曲线的切线，设切点坐标为， 则，即， 由于，故， 因为过点作曲线的切线有且只有两条， 所以有两个解，且，即或， 所以，， 所以. 故答案为： 【变式7-3】若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点为，则，∴，则， 化简得：①，则， ∵过点可以作曲线的两条切线，∴方程①有两个不同正解，∴，∴. 故选：B． 【变式7-4】已知曲线，若有且只有一条直线同时与，都相切，则 ． 【答案】1 【详解】设与相切于，与相切于点，由，得，则与相切于点的切线方程为：，即， 由，，则与相切于点的切线方程为：，即，， 因为两切线重合，所以，①，②，由①得 ，代入②得，，化简得， ，明显可见，，时等式成立. 故答案为：1 【考点题型八】利用导数的几何意义求最值（） 【例8】若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 【变式8-1】已知点P在曲线上，点Q在直线 (其中e为自然对数的底数)上，则PQ长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】设与直线平行的直线的方程为， ∴当直线与曲线相切，且点Q为切点时，，两点间的距离最小， 设切点， ，所以， ，，， 点，直线的方程为，即 ， 两点间距离的最小值为平行线和间的距离， 两点间距离的最小值为. 故答案为：. 【变式8-2】设． (1)求曲线在点的切线方程． (2)设点在曲线上，点在直线上，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，则，所以，， 所以，曲线在点的切线方程为，即. （2）根据题意，将直线往靠近曲线的方向平移， 当平移到直线与曲线相切时，切点与直线间的距离最近， 设切线方程为， 由（1）可知，当切线斜率为时，切点坐标为，此时切线方程为， 此时，从点向直线作垂线，垂足为，此时取最小值， 即，所以的最小值为. 【变式8-3】已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得， ∴，∴， 又，故，， 可知函数的解析式为． （2）由（1）可知， 函数图象上的点到直线的距离的最小值，满足点到直线的距离， 可得． 【变式8-4】已知实数满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，又， 表示点与曲线上的点之间的距离； 点的轨迹为，表示直线上的点与曲线上的点之间的距离； 令，则， 令，即，解得：或（舍）， 又， 的最小值即为点到直线的距离，的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题求解最小值的关键是将所求式子进行变形后，根据其几何意义，将问题转化为直线上的点与曲线上的点之间的距离的最小值的求解问题，从而利用求解切线的方式来求得最小值. 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单08 导数的运算及几何意义 . 清单01 割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. . 清单02 导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. . 清单03 基本初等函数的导数公式及运算法则 基本初等函数 导函数 （为常数） 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 【考点题型一】导数的定义及变化率（） 【例1】已知，则（    ） A． B． C． D．2 【变式1-1】物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【变式1-2】已知函数在处的导数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】人的心率会因运动而变化，已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示(a，b，c为定义域的四等分点)，并且用的大小评价心率变化的快慢. ①在这段时间内，甲的心率变化 乙的心率变化；(填“大于”、“小于”、“等于”) ②在时刻，甲的心率变化 乙的心率变化.(填“大于”、“小于”、“等于”) 【变式1-4】函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【考点题型二】导数的运算（） 【例2】若函数，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2-1】已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．1 【变式2-2】已知函数满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-3】函数的导数（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【考点题型三】在点P处的切线（） 【例3】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若在处的切线为，直线的倾斜角为，则 . 【变式3-2】已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值为（） A． B．1 C．-1 D． 【变式3-3】已知函数图像在点处的切线方程是，则 ． 【变式3-4】奇函数在处的切线方程为，则它在处的切线方程为 ． 【考点题型四】过点P处的切线（） 【例4】过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】过点作曲线：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【变式4-2】过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【变式4-4】已知，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若，求曲线过点的切线方程. 【考点题型五】切线平行、垂直问题（） 【例5】函数在点处的切线为. (1)若与直线平行，求实数的值； (2)若与直线垂直，求切线的方程. 【变式5-1】曲线过点的切线与直线垂直，则 . 【变式5-2】设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式5-4】已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【考点题型六】公切线问题（） 【例6】已知和有公共切线，切点分别为，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若点，则始终为钝角 D． 【变式6-1】已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】已知，则与的公切线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【变式6-3】已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则 ． 【变式6-4】点P在曲线上，且曲线在点P处的切线与曲线相切，求点P的坐标． 【考点题型七】切线的条数问题（） 【例7】若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有两条，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则 . 【变式7-3】若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】已知曲线，若有且只有一条直线同时与，都相切，则 ． 【考点题型八】利用导数的几何意义求最值（） 【例8】若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知点P在曲线上，点Q在直线 (其中e为自然对数的底数)上，则PQ长度的最小值为 ． 【变式8-2】设． (1)求曲线在点的切线方程． (2)设点在曲线上，点在直线上，求的最小值. 【变式8-3】已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值． 【变式8-4】已知实数满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$