清单07 数列求通项与求和（考点清单，知识导图+9个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高二数学下学期人教B版

清单07 数列求通项与求和 清单01 求通项公式 一、累加法：形如且 当时. 二、累乘法：形如且 当时,.注意:不一定满足上述形式,所以需要检验. 三、取倒法：形如分式 两边同时取倒数即可 四、同除法：形如且或形如整式 第一种：两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） 第二种：两边同时除以 五、待定系数法 ①形如且 方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ② 方法：这种类型一般是等式两边取对数后得：，再进行求解。 六、前n项和与 用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 注：个别时候会消，然后得到与之间的关系，然后先求得的表达式 七、“和”型和“积”型 “和”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； “积”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； 清单02 数列求和 一、倒序相加法 如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 二、分组求和法 （1）把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 若数列的通项公式为，且为等差或等比数列，可采用分组分别求和法求数列的前n项和． （2）若数列的通项公式为奇偶分段数列型或者绝对值分段数列型，可采用分组求和法求数列的前n项和，注意对n进行分类讨论 （3）一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 三、裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6） 四、错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． ②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式. 【考点题型一】累加累乘求通项公式（） 【例1】已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【变式1-1】我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前8项和为（    ） A．120 B．220 C．240 D．256 【变式1-2】已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知{an}满足，，则的值为（    ） A．48 B．96 C．120 D．130 【变式1-4】已知等比数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且，求的前项和． 【考点题型二】待定系数法求通项公式（） 【例2】已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等比数列 B． C．若，则为等差数列 D． 【变式2-4】在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 【考点题型三】由Sn与an的关系求通项公式（消Sn）（） 【例3】若正项数列的前项和为，且，则（    ） A．20 B．100 C．200 D．210 【变式3-1】已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 . 【变式3-2】设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）已知数列的前n项和，则（   ） A． B．是等差数列 C．的最大值是2 D．的最大值是 【变式3-4】已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 【考点题型四】由Sn与an的关系求通项公式（消an）（） 【例4】已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足． (1)求的值； (2)求数列的通项公式． 【变式4-1】已知数列的各项均为正数，其前项和为，若，且，则数列的通项公式为 ． 【变式4-2】设数列的前项和为，已知，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【变式4-3】记等差数列的前项和为，且，则 ． 【变式4-4】已知为数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【考点题型五】分组求和法（） 【例5】已知等比数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【变式5-1】已知数列满足，且，，则 ；的前100项和为 ． 【变式5-2】已知是等差数列的前项和，.数列满足且. (1)分别求出数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式5-3】已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【变式5-4】已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，． (1)求，的通项公式； (2)已知数列的前n项和为，且． ①证明：数列是等比数列； ②设数列满足，求的前n项和． 【考点题型六】并项求和法（） 【例6】已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【变式6-1】已知数列满足，，记，则数列的前100项的和为（   ） A． B．25 C． D．50 【变式6-2】记首项为1的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式6-3】已知是公差为的等差数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 【变式6-4】公差不为0的等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【考点题型七】裂项相消法（） 【例7】已知数列满足，若，则数列的前16项和为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知等差数列的前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【变式7-2】已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【变式7-3】已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式7-4】已知数列和满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. 【考点题型八】错位相减法（） 【例8】已知数列的首项，的前项和为且满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【变式8-1】已知等差数列的前项和满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式8-2】已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【变式8-3】已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【变式8-4】设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，． (1)求，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【考点题型九】不等式的恒成立问题（） 【例9】记等差数列的前n项和为，数列的前n项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)求； (3)若成立，求实数k的最小值． 【变式9-1】已知正项数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若任意，使得成立，求的取值范围． 【变式9-2】已知数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式9-3】已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围. 【变式9-4】记数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式. (2)若数列满足，其前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 数列求通项与求和 清单01 求通项公式 一、累加法：形如且 当时. 二、累乘法：形如且 当时,.注意:不一定满足上述形式,所以需要检验. 三、取倒法：形如分式 两边同时取倒数即可 四、同除法：形如且或形如整式 第一种：两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） 第二种：两边同时除以 五、待定系数法 ①形如且 方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ② 方法：这种类型一般是等式两边取对数后得：，再进行求解。 六、前n项和与 用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 注：个别时候会消，然后得到与之间的关系，然后先求得的表达式 七、“和”型和“积”型 “和”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； “积”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； 清单02 数列求和 一、倒序相加法 如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 二、分组求和法 （1）把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 若数列的通项公式为，且为等差或等比数列，可采用分组分别求和法求数列的前n项和． （2）若数列的通项公式为奇偶分段数列型或者绝对值分段数列型，可采用分组求和法求数列的前n项和，注意对n进行分类讨论 （3）一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 三、倒序相加法 如果一个数列的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的． 四、裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6） 五、错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． ②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式. 【考点题型一】累加累乘求通项公式（） 【例1】已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】当时，有，故， 则有，． 上述个式子累乘得． 因为，所以， 而当时，，也满足上式， 故数列的通项公式为． 故答案为：. 【变式1-1】我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前8项和为（    ） A．120 B．220 C．240 D．256 【答案】A 【详解】由题意可知数列的前4项为1，3，6，10，即，，，， 因为，所以，， 所以等差数列的公差为， 所以， 所以， 所以，，，， 所以上面个式子相加得 ， 所以， 所以， 故选：A 【变式1-2】已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以当时，，，…，， 累加可得， 因为，所以，当时，，满足上式， 所以， 故选：B． 【变式1-3】已知{an}满足，，则的值为（    ） A．48 B．96 C．120 D．130 【答案】B 【详解】因为， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以， 于是当时，， 即， 所以， 故选：B 【变式1-4】已知等比数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由已知可得，解得， 所以； （2）由（1）知， 所以， 所以 ， 所以 . 【考点题型二】待定系数法求通项公式（） 【例2】已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 【变式2-1】已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，，则， 而，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，， 因此，所以． 故选：C 【变式2-2】（多选）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 【变式2-3】（多选）数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等比数列 B． C．若，则为等差数列 D． 【答案】AC 【详解】数列中，，显然，则， 于是数列是公差为3，首项为1的等差数列，， 对于A，，，为等比数列，A正确； 对于BD，，BD错误； 对于C，， 则，为等差数列，C正确. 故选：AC 【变式2-4】在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】令， 则， 由条件得，解得， 即， 故数列是首项为，公比为4的等比数列， 从而，故. 故答案为：. 【考点题型三】由Sn与an的关系求通项公式（消Sn）（） 【例3】若正项数列的前项和为，且，则（    ） A．20 B．100 C．200 D．210 【答案】D 【详解】解法一：将代入，得，解得. 由，得，两式相减得， 即，所以或. 若，则由，得，与为正项数列矛盾. 故有，则， 则是以1为首项、1为公差的等差数列，故. 则.（另解：将代入中得） 解法二：将代入，得，解得， 当时，，得（由为正项数列取舍）， 当时，，得， 故猜想，当时，，满足， 故，，故. 故选：D. 【变式3-1】已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 . 【答案】 【详解】因为是首项为1、公差为1的等差数列，故， 而，故， 故，而，故，符合该式， 故， 故，所以， 所以， 故， 故答案为： 【变式3-2】设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列的前项和为，， 当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，整理可得， 等式两边同时除以可得， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 故，所以， 故，，故，A错B对； 由题意可得， 所以，CD都错. 故选：B. 【变式3-3】（多选）已知数列的前n项和，则（   ） A． B．是等差数列 C．的最大值是2 D．的最大值是 【答案】ACD 【详解】A，当时，， 当时，，不满足上式，故，故A正确； B，由A可知，显然，所以不是等差数列，故B错误； C，，故当或6时，有最大值2，C正确； D，， 根据对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，且，， 所以的最大值是，D正确， 故选：ACD 【变式3-4】已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】已知 ①. 当时， ②. 用①式减去②式可得： ，解得. 当时，，将代入可得，满足上式. 数列的通项公式为. 故答案为：. 【考点题型四】由Sn与an的关系求通项公式（消an）（） 【例4】已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足． (1)求的值； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）， ． （2）由，得， 故． ， 即， 则， 所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列， 所以， ， 又，满足上式，． 当时，， 又适合上式，． 【变式4-1】已知数列的各项均为正数，其前项和为，若，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】因为， 因为，所以，所以，因为， 所以，． 所以当时，， 又由，符合，故． 故答案为： 【点睛】给出 与 的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an． 【变式4-2】设数列的前项和为，已知，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 即，因此； 因此， 可得， 所以. 故选：B 【变式4-3】记等差数列的前项和为，且，则 ． 【答案】 【详解】由代入已知可得：， 可得是公差为2的等差数列，因为，所以， 即， 所以， 故答案为：. 【变式4-4】已知为数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：因为， 所以. 又因为，所以， 所以， 所以是公差为1的等差数列. 则，所以. 当时，， 当时，满足上式， 所以. （2）证明：由题意及（1），得， 所以，① ，② ①-②得， 整理得. 又， 所以，得证. 【考点题型五】分组求和法（） 【例5】已知等比数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公比为， 由题得 解得 所以. （2）由（1）可得该数列为， 则 . 【变式5-1】已知数列满足，且，，则 ；的前100项和为 ． 【答案】 101 5000 【详解】因为，且，，所以的奇、偶项分别成等差数列． 奇数项以为首项，2为公差，偶数项以3为首项，2为公差， 所以，所以， 前100项和为. 故答案为：101，5000. 【变式5-2】已知是等差数列的前项和，.数列满足且. (1)分别求出数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；； (2). 【详解】（1）因为数列是等差数列，又，即，化简得，解得， 所以； 数列满足，即，所以是公比为2的等比数列， 又，即，所以，解得，所以； （2）由（1）得，， 所以              . 【变式5-3】已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，. 当时，由，得， 则. 因为，所以. （2）由（1）可得 当为偶数时，， 则， 则， 则 ， 则. 当为奇数时，. 故 【变式5-4】已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，． (1)求，的通项公式； (2)已知数列的前n项和为，且． ①证明：数列是等比数列； ②设数列满足，求的前n项和． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；② 【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为， 由，，，， 可得，，解得：（负的舍去）， 则，； （2）①当时，，即， 当时，联立， 作差可得，即， 所以，由可知，， 所以，即是以2为首项，2为公比的等比数列； ②由①可得，则，， 所以 ． 【考点题型六】并项求和法（） 【例6】已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为是与的等差中项，所以， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以， 所以数列是公差为1，首项为的等差数列； （2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列， 所以， 所以，当时，， 当时，， 所以, 所以， 【变式6-1】已知数列满足，，记，则数列的前100项的和为（   ） A． B．25 C． D．50 【答案】B 【详解】由题意得，，，，，…，所以数列的周期为2， 所以数列的前100项的和为． 故选：B 【变式6-2】记首项为1的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）∵， ∴， 两式相减得：， 即， ∴，∴， ∴数列是以1为首项，以0为公差的等差数列， ∴，∴. 当时，满足上式，∴. （2）由（1）知， ∴， ∴， 又 即数列是以为首项，为公差的等差数列. ∴. 【变式6-3】已知是公差为的等差数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，即，即， 又，解得，所以． （2）由（1）可得， 由可得，即，解得或， 因为，故正整数的最小值为． （3）因为， 对任意的，， 故 . 【变式6-4】公差不为0的等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，, 因为，所以可解得，即. （2）因为， 所以， 因为 当为偶数时， ； 当为奇数时， ． 综上所述：. 【考点题型七】裂项相消法（） 【例7】已知数列满足，若，则数列的前16项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①， 当时，， 当时，②， ①-②得，所以， 显然也满足上式，所以， 所以， 记数列的前项和为， 则 故选：A 【变式7-1】已知等差数列的前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以 . 【变式7-2】已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列， 设数列的公差为，则，故， 所以，故. （2）因为， 所以 ，故原不等式成立. 【变式7-3】已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 可得时，， 解得， 时，，又， 两式相减可得， 即有， 数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以； （2）数列满足， 所以． 【变式7-4】已知数列和满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）① 当时，，当时，② ①－②，可得，所以 又满足，故. 对于数列 法一 由数列，同除得 ， 即， 又 故数列是首项为2的常数列，故通项公式为. 法二 ， 累加得：，又所以 当时，符合上式.所以 （2）令， 所以 因为，故 【考点题型八】错位相减法（） 【例8】已知数列的首项，的前项和为且满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为，所以， 又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列. （2）由（1）可得，所以， 当时， 所以， 当时也成立，所以，所以， 因，① ，② ②-①得，③ 则，④ ③-④得 所以. 【变式8-1】已知等差数列的前项和满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题知，， 所以，解得， 所以． （2）因为，∴， ∴，① ∴，② 得，           ∴． 【变式8-2】已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，可得， 则，所以， 又， 所以是首项为，公比为的等比数列. 所以，则， 当时，， 当时，，时也适合， 所以. （2）因为， 所以①， 则②， 所以①②得， 则， 所以. 因为，所以. 【变式8-3】已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，，， 所以， 即， 又，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知， 所以. （3）由（2）得， 设，其前n项和为， 则， ， 两式相减得， 所以， 所以. 【变式8-4】设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，． (1)求，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由题意知，解得或（舍去）， 所以， 则，所以. （2）由（1）知． 因为， 所以， 两式相减得 ， 故． 【考点题型九】不等式的恒成立问题（） 【例9】记等差数列的前n项和为，数列的前n项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)求； (3)若成立，求实数k的最小值． 【答案】(1) (2) (3)2 【详解】（1）设数列的公差为， 所以，又，所以， 所以， 即； （2）由（1）有，所以， 所以， 所以； （3）由（1）（2）有，令， 所以， 由，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以实数k的最小值为2. 【变式9-1】已知正项数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若任意，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由，得， 两式相减得，即． 因为，所以，即． 当时，，解得或（舍去）， 所以是首项为7，公差为3的等差数列，故， 因为，① 所以当时，，② ①-②得，也满足． 故的通项公式为，的通项公式为． （2）因为， 所以， 当时，取得最小值． 因为对任意，恒成立，所以， 整理得，解得． 【变式9-2】已知数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，成立， 所以 （2）由（1）得， 所以， 则， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 当时，， 所以当时，取最小值为42，所以， 所以实数的取值范围为. 【变式9-3】已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在数列中，，当时，， 而，不满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，不等式， 依题意，，不等式恒成立，令， ，由，得；由，得； 由，得， 因此，则当或时，，， 所以实数的取值范围是. 【变式9-4】记数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式. (2)若数列满足，其前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1），则，两个式子相减，化简得（），即（）， 当时，有，即， 又，所以. 综上，可知是首项，公比为2的等比数列， 故的通项公式为. （2）（ⅰ）由（1）得， 则， 可得， 所以， 所以. （ⅱ）对任意恒成立， 即，整理得恒成立. 令，则， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，即的最小值为， 综上，，即实数的取值范围是. 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$