第17章 三角形易错训练与压轴训练（11易错+9压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第17章 三角形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　确定第三边的取值范围 1 易错题型二　三角形三边关系的应用 3 易错题型三　三角形的分类 5 易错题型四　与三角形高有关的计算 5 易错题型五　根据三角形的中线求面积 5 易错题型六　三角形内角和的证明 5 易错题型七　三角形内角和的计算 5 易错题型八　全等三角形的性质 5 易错题型九　全等三角形的判定 5 易错题型十　灵活选用判定方法证全等 5 易错题型十一　全等三角形的模型问题 8 压轴题型一　计算三角形的高压轴题 9 压轴题型二　根据三角形的中线求面积压轴 14 压轴题型三　与平行线有关的三角形内角和问题 22 压轴题型四　与角平分线有关的三角形内角和问题 28 压轴题型五　全等三角形的判定与性质压轴 46 压轴题型六　旋转模型 46 压轴题型七　倍长中线模型 46 压轴题型八　一线三等角模型 36 压轴题型九　全等三角形的综合问题 46 02 易错题型 易错题型一　确定第三边的取值范围 例题： 1．若长度为的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（    ） A．2 B．5 C．10 D．12 巩固训练 2．现有长度分别是和的三根木棒，如果要将木棒首尾顺次相接形成一个三角形木架，那么x的值不能取（   ） A．15 B．30 C．50 D．75 3．实践活动课上，老师组织大家用小棒摆三角形．已知三根小棒的长分别是，，，若它们能构成三角形，则正整数的值可以为 ．（写出1个即可） 4．已知的三边长分别是，，． (1)求的取值范围； (2)若三角形的周长是大于的正整数，求的值； 易错题型二　三角形三边关系的应用 例题： 5．彭老师在课堂上组织学生用木棍摆三角形，木棍的长度有和四种规格，数量若干，小明同学已经取了和的两根木棍，那么第三根木棍不可能取 规格的．（   ） A． B． C． D． 巩固训练 6．一根木棍长12，若把这个木棍截三段，用这三段木棍搭出一个三角形，则应把木棍截成的三段长分别是 ．（木棍长都是整数，写出一组即可） 7．设三边长分别为，则 ． 8．阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ． ． ，， ，， ，． ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的最大边长c的值． 易错题型三　三角形的分类 例题： 9．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   巩固训练 10．（三角形的性质）在三角形中，三个内角是、、，若，那么这个三角形一定是（   ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 11．设、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形的形状为 ． 12．把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置． (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 易错题型四　与三角形高有关的计算 例题： 13．如图， 在中， ， ， 于点 ， 且， 若点 在边上移动，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 巩固训练 14．如图，在中，是边上的中线，是边上的高线，已知，的面积是6，则的长 ． 15．如图，在中，，垂足分别为，，，则的边上的高为线段 ，边上的高为线段 ；若，则为 ． 16．如图，在中，为边上一点，，垂足分别为点．试说明：． 易错题型五　根据三角形的中线求面积 例题： 17．在中， ，， ，点是中点，点在上，且，，相交于点，则四边形的面积为 ． 巩固训练 18．如图，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．若的面积等于面积的一半，则 s． 19．（1）如图1，在中，若是边上的中线，则 ；如图2，在中，若 ，则 （2）如图3，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法． 连接，由，得， ， 同理，可得． 设 ，则 ， 设 ， 由题意，得 ， 可列方程组 ，解得 ． ∴ （3）如图4， ，若 ，求 ． 20．如图，在中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为，设运动的时间为． (1)当________时，把的周长分成相等的两部分； (2)当t为何值时，把的面积分成相等的两部分？ (3)当P在上运动，t为何值时，的面积为？ 易错题型六　三角形内角和的证明 例题： 21．我们在小学就已经知道三角形内角和等于度，是通过度量或剪拼得出这一结论的，但是，由于测量和剪拼常常有误差，这种验证不是数学证明，不能完全让人信服．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．请完成下面证明过程． 已知：如图任意画一个． 求证：． 证明： 巩固训练 22．在三角形这一章的学习中我们知道，“三角形的内角和是”这个结论的证明方法有很多． 如下图，已知三角形，求证：．    分析：通过画平行线，将、、作等角代换，使各角之和恰为一个平角，依辅助线不同而得多种证法． 证法一：如下图，过点作直线． 因为， 所以________， ________________________________． 因为， 所以．    证法二：如下图，延长到，过点作，    证法三：如下图，    (1)请补全证法一中的证明过程． (2)将证法二补充完整，并写出说理过程． (3)如证法三图，过线段上任一点点、除外，作，这种添加辅助线的方法也能证明请完成说理过程此题不需要写括号部分的理论依据．证法三：如图，过线段上任一点点、除外，作． 23．【探究】（1）请把下面证明步骤括号里的内容补充完整．    如图1，点D，E，F分别是三角形的边上的点，．求证：． 证明：， （①） ， （②） ． 【归纳】在四边形中，如果，，则． 【运用】（2）如图2，过三角形内的一点P，分别画的平行线与三角形的两边交于M、N点；画的平行线与三角形的两边交于G、H点；画的平行线与三角形的两边交于E、F点．请你运用上面归纳的结论，说明三角形的内角和为（即：） 【拓展】（3）如图3，受以上思路的启发，你能再寻找一种方法说明三角形内角和为吗？请你试一试． 24．阅读下列材料，回答问题． 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于． 我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如下图两种方法．    欣欣同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于．证明过程如下： 已知：如图，． 求证：． 证明：如图，过点作 ∵ ∴（______________________） 同理 ∵（________________） ∴（________________）    (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全欣欣同学证明过程中所缺的根据； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成．    易错题型七　三角形内角和的计算 例题： 25．如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③． 巩固训练 26．如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ． 27．如图，在中，与的平分线交于点P，若，则 ． 28．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点，则 ． 易错题型八　全等三角形的性质 例题： 29．如图，，，．点P在线段上，点Q在线段上．若与全等，则的长为 ． 巩固训练 30．如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点D（不与点重合），使得与全等，则这样的三角形有 个． 31．如下图，和关于直线对称，与的交点F在直线上．    (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 32．如图，，．，点 在线段上以 的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段上由点 向点 运动．它们运动的时间为 ．设点 的运动速度为 ，若使得与全等，求 的值． 易错题型九　全等三角形的判定 例题： 33．如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)求证：． 巩固训练 34．如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，证明：． 35．如图（），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（），将图（）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 36．如图1，在中，为上一点，且和的平分线、交于点与交于点． (1)求的度数； (2)连接，交于点，若，如图2．求证：． 易错题型十　灵活选用判定方法证全等 例题： 37．根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 巩固训练 38．按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号） 39．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，将其中的第 块带去玻璃店，就能配出一块与原来形状大小一样的三角形． 40．【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 易错题型十一　全等三角形的模型问题 例题： 41．阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中的绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 巩固训练 42．如图，中，，以为边向外作等边，把绕着点按顺时针方向旋转到的位置，若，， (1)求证：、、三点共线； (2)求的度数和的长． 43．小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到点E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决请回答： (1)小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） (2)请你帮助小明完成取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题； (3)如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：． 44．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 03 压轴题型 压轴题型一　计算三角形的高压轴题 例题： 1．如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 2．已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 4．设的面积为． (1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） (2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） (3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 压轴题型二　根据三角形的中线求面积压轴 例题： 5．设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 6．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 7．设的面积为1，如图①，将边、分别2等分，、相交于点O，的面积记为；如图②，将边、分别3等分，、相交于点O，的面积记为；……，依此类推，则 ． 8．【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 压轴题型三　与平行线有关的三角形内角和问题 例题： 9．如图，，是直线上一点，是直线上一点． 问题提出 （1）如图1，是直线上一点，是线段上一点，连接，若，，则 问题探究 （2）如图2，，平分，平分，请计算的度数． 问题解决 （3）如图3，平分，延长到点，且平分，若，请你探究与之间的关系，并说明理由（用含的式子表示）． 巩固训练 10．已知，点P是平面内一点，过点P作射线与相交于点B． (1)如图1，若点P为直线上一点，，则的度数为 ； (2)如图2，若点P为直线之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明：； (3)如图3，若点P、H是直线上的点，连接并延长交的角平分线于点Q，射线交于点G，当时，试猜想与之间的关系，请直接写出你的答案． 11．在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 12．李强将一个含有角的三角板，，放置在互相平行的直线和所在的平面内，请探究一下问题： (1)将三角板如图放置，交于点，交于点，分别交、于点、 ①写出与的数量关系 ；                   ②写出与的数量关系 ； (2)如图，为上一点，连点，若，试探究与之间的关系，并说明理由. (3)旋转三角板至如图所示位置，为上一点，连，若，则= .    压轴题型四　与角平分线有关的三角形内角和问题 例题： 13．综合与探究 问题情境：数学课上李老师在三角形中添加了一些线段，让同学们探究角之间的数量关系.已知，在中，，是的角平分线，点是边上的点，.请探究与之间的数量关系. 特例探究：（1）勤奋小组采用从特殊到一般的方法对这个问题进行分析： ①如图1，若，求此时和的度数； ②勤奋小组发现无论是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，这两个角之间的关系始终不变.请写出与之间的数量关系，并根据图2证明你的结论； 深入探究：（2）善思小组受到启发，进一步探究：如图3，中，，.作的外角的平分线，与的延长线交于点，点是线段延长线上的点，.请在图3中补全图形，并直接写出此时与之间的数量关系. 巩固训练 14．【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则___________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出的度数． ． 15．如图，在中，，，过点作边上的高，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若平分，交于点，求的度数． 16．下面是有关三角形内角、外角平分线的探究，阅读后请按要求作答： (1)如图1，、分别是和的平分线且相交于点，若，则__________； (2)如图2，平分，平分，和交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，，分别是外角和的平分线且相交于点，直接写出与之间的数量关系． 压轴题型五　全等三角形的判定与性质压轴 例题： 17．如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，两线相交于点F． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，连接， ①求证：是的平分线， ②若，，求的长度． 巩固训练 18．（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 19．如图1，在中，点为上一点，过点分别作于点，于点，若． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，过点作于点，交于点，若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，判断和的数量关系，并说明理由． 20．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，点在内部，点在外部，当点A、D、E在同一条直线上，此时与相交于点，连接． ①判断与的关系，并说明理由； ②若，求线段的长． 压轴题型六　旋转模型 例题： 21．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到（旋转角为），直线分别与直线，交于点，． (1)线段与线段的数量关系为__________； (2)如图1，当时，请猜想线段与的数量关系并证明结论； (3)如图2，当为任意角度时（），（2）中的结论是否依然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 巩固训练 22．【课本再现】（1）如图1，，都是等边三角形．与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 【探究应用】（2）如图2，绕着点逆时针旋转得到，连接，，，． ①下列说法正确的是_____；（多选题，填序号即可） A．，的形状都是等腰直角三角形 B．， C． D．的面积与的面积相等 ②如图3，点是的中点，猜想与之间的数量关系，并证明． 23．已知等腰和等腰中，，． (1)如图（1），①若，，在等腰可绕点A旋转过程中，线段的最大值为______； ②若，当B、D、E三点共线时，则的度数为______； (2)如图（2），若，且C与D重合，．当的大小在范围内之间任意改变，的度数是否随之改变？请说明理由； (3)在（2）的条件下，F是延长线上一点，且，连接，如图3，试探究之间的关系，并证明． 压轴题型七　倍长中线模型 例题： 24．我们规定，有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图：，，回答下列问题：    (1)证明：和是兄弟三角形 (2)取的中点，连接，试证明．（小王同学根据要求的结论，想起老师上课讲的“中线倍长”的辅助线的构造方法）． (3)求证：． 巩固训练 25．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证：．    智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴  ∴ 在中，（依据一） ∴．    任务一：上述证明过程中的“依据一”是指：____________________； 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；    任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．    26．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ； （3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 27．如图（1），已知，，且，将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．    (1)求证：； (2)在绕C点旋转的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； (3)在（2）的条件下，求证：． 压轴题型八　一线三等角模型 例题： 28．综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想 （1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究 （2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决 （3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 巩固训练 29．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 30．综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______________． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______________． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 31．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到.进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；    [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 压轴题型九　全等三角形的综合问题 32．在中，，点为上一点，， (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点分别为上一点，，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，，，求线段的长． 巩固训练 33．如图，在中，，，直线经过点，于点，于点． (1)如图（1），当、两点在直线的同侧时，请直接写出线段、和的数量关系为______； (2)如图（2），当、两点在直线的两侧时，请写出线段、和的数量关系．并说明理由： (3)如图（3），在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，使，连接，．若的面积为16，的面积为6，求的长． 34．如图1，在等腰中，，，， (1)求证； (2)如图2，过点A作于点G，交于点F，过F作交于点P，交于点H． ①猜想与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． 35．在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． (1)如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 三角形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　确定第三边的取值范围 1 易错题型二　三角形三边关系的应用 3 易错题型三　三角形的分类 5 易错题型四　与三角形高有关的计算 5 易错题型五　根据三角形的中线求面积 5 易错题型六　三角形内角和的证明 5 易错题型七　三角形内角和的计算 5 易错题型八　全等三角形的性质 5 易错题型九　全等三角形的判定 5 易错题型十　灵活选用判定方法证全等 5 易错题型十一　全等三角形的模型问题 8 压轴题型一　计算三角形的高压轴题 9 压轴题型二　根据三角形的中线求面积压轴 14 压轴题型三　与平行线有关的三角形内角和问题 22 压轴题型四　与角平分线有关的三角形内角和问题 28 压轴题型五　全等三角形的判定与性质压轴 46 压轴题型六　旋转模型 46 压轴题型七　倍长中线模型 46 压轴题型八　一线三等角模型 36 压轴题型九　全等三角形的综合问题 46 02 易错题型 易错题型一　确定第三边的取值范围 例题： 1．若长度为的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（    ） A．2 B．5 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：∵长度为的三条线段能组成一个三角形， ∴，即， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 巩固训练 2．现有长度分别是和的三根木棒，如果要将木棒首尾顺次相接形成一个三角形木架，那么x的值不能取（   ） A．15 B．30 C．50 D．75 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出x的范围，判断即可． 【详解】解：由题意，得 ，即， ∴么x的值不能取75． 故选D． 3．实践活动课上，老师组织大家用小棒摆三角形．已知三根小棒的长分别是，，，若它们能构成三角形，则正整数的值可以为 ．（写出1个即可） 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查三角形的三边关系，一元一次不等式，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此列不等式即可． 【详解】解：∵，它们能构成三角形， ∴， 解得：， 故答案为：（不唯一）． 4．已知的三边长分别是，，． (1)求的取值范围； (2)若三角形的周长是大于的正整数，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边关系； （1）根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式求解即可； （2）根据题意，确定的取值范围，根据周长大于，进而求解的值． 【详解】（1）解：根据题意得： 的取值范围为：； （2）解： 、、、、 ∵三角形的周长是大于的正整数， ∴当时，三角形的周长为； 的值是； 易错题型二　三角形三边关系的应用 例题： 5．彭老师在课堂上组织学生用木棍摆三角形，木棍的长度有和四种规格，数量若干，小明同学已经取了和的两根木棍，那么第三根木棍不可能取 规格的．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，掌握构成三角形三边数量关系是解题的关键． 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解． 【详解】解：小明同学已经取了和的两根木棍， ∵，， ∴第三边大于，小于， ∴不可能取， 故选：A ． 巩固训练 6．一根木棍长12，若把这个木棍截三段，用这三段木棍搭出一个三角形，则应把木棍截成的三段长分别是 ．（木棍长都是整数，写出一组即可） 【答案】3，4，5（不唯一） 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据木棍截成的三段长符合三角形的三边关系即可． 【详解】解：一根木棍长12，把这个木棍截三段，用这三段木棍搭出一个三角形，则把木棍截成的三段长分别是3，4，5； 故答案为：3，4，5（答案不唯一） 7．设三边长分别为，则 ． 【答案】/ 【分析】考查了三角形三边关系，整式的加减；三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴ 8．阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ． ． ，， ，， ，． ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的最大边长c的值． 【答案】(1) (2)的最大边c的值为4，5，6 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，三角形三边的关系，非负数的性质，负整数指数幂是解题的关键． （1）根据完全平方公式因式分解，然后根据非负数的性质得出x，y的值，然后代入计算即可； （2）根据完全平方公式运算法，然后根据非负数的性质得出，，然后根据三角形三边的关系求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，， ，， ； （2）解：， ， ， ，， ， a，b，c是的三边，且c是最大边， ， 又是正整数， 的最大边c的值为4，5，6． 易错题型三　三角形的分类 例题： 9．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 巩固训练 10．（三角形的性质）在三角形中，三个内角是、、，若，那么这个三角形一定是（   ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的性质， 根据三角形内角和为180度得出，在结合，即可得出，则可得出答案． 【详解】解：因为， 所以 所以， 所以这个三角形是直角三角形， 故选：B． 11．设、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形的形状为 ． 【答案】等腰三角形 【分析】本题考查了完全公式公式、平方差公式的应用，等式的性质，先整理，得出，结合、、是三角形的三边长，得出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则 ∵、、是三角形的三边长， ∴ ∴ ∴此三角形的形状为等腰三角形， 故答案为：等腰三角形 12．把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置． (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【详解】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 易错题型四　与三角形高有关的计算 例题： 13．如图， 在中， ， ， 于点 ， 且， 若点 在边上移动，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等面积法，垂线段最短，根据垂线段最短，得到时，最短，然后用等面积法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据垂线段最短，得到时，最短， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：． 巩固训练 14．如图，在中，是边上的中线，是边上的高线，已知，的面积是6，则的长 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线．根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：为的中线， ∴， ，即， ． 故答案为：6． 15．如图，在中，，垂足分别为，，，则的边上的高为线段 ，边上的高为线段 ；若，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线的定义；根据三角形高的定义以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：因为， 所以的边上的高为线段， 因为， 所以边上的高为线段， 因为 所以， 故答案为：，，． 16．如图，在中，为边上一点，，垂足分别为点．试说明：． 【答案】见解析 【分析】考查了三角形的面积，连接，根据的面积的面积的面积，以及，即可得到． 【详解】解：连结． ∵， ∴． ， ． 易错题型五　根据三角形的中线求面积 例题： 17．在中， ，， ，点是中点，点在上，且，，相交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】先求出，根据点F是的中点得，，设，则，，根据得，，设，则，，，进而得，由此得，然后求出，进而得y，从而求出四边形的面积． 此题主要考查了三角形的面积，理解等底（或同底）等高（或同高）的两个三角形的面积相等，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：连接， 在中，，，， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴设， ∴，， ∵， ∴，， 设，则，如图所示： ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 巩固训练 18．如图，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．若的面积等于面积的一半，则 s． 【答案】5.5或9.5 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答． 【详解】解：如图，当P在上， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴； 当P在上时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当t为5.5或9.5时，的面积等于面积的一半． 故答案为：5.5或9.5． 19．（1）如图1，在中，若是边上的中线，则 ；如图2，在中，若 ，则 （2）如图3，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法． 连接，由，得， ， 同理，可得． 设 ，则 ， 设 ， 由题意，得 ， 可列方程组 ，解得 ． ∴ （3）如图4， ，若 ，求 ． 【答案】（1）；；（2）；；（3）6 【分析】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，解二元一次方程组，熟练掌握这个结论是解题的关键． （1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，即可求解； （2）根据题意，列出方程组，解出方程组，可得即可得到结果； （3）连接，，若 ，得到，，，设，则，，可列方程组，即可得到结果． 【详解】解：（1）如图，过点A作于点H， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过点A作于点T， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）， 由得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接， ∵，， ∴，，， 设，则，， 可列方程为， 解得：， ∴． 20．如图，在中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为，设运动的时间为． (1)当________时，把的周长分成相等的两部分； (2)当t为何值时，把的面积分成相等的两部分？ (3)当P在上运动，t为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形的周长、面积的计算，明确点P的位置是解题的关键． （1）先求出的周长为，所以当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，再根据时间路程速度即可求解； （2）根据中线的性质可知，点P在中点时，把的面积分成相等的两部分，进而求解即可； （3）当P在上时，根据列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵的周长为， ∵把的周长分成相等的两部分， ∴， ∴当时，把的周长分成相等的两部分， 故答案为：； （2）当把的面积分成相等的两部分时， 点P为的中点， ∴点P运动的路程为， ∴， ∴当时，把的面积分成相等的两部分时； （3）当P在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：， ∴当时，的面积为． 易错题型六　三角形内角和的证明 例题： 21．我们在小学就已经知道三角形内角和等于度，是通过度量或剪拼得出这一结论的，但是，由于测量和剪拼常常有误差，这种验证不是数学证明，不能完全让人信服．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．请完成下面证明过程． 已知：如图任意画一个． 求证：． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握平行线的性质定理、判定定理．过点作直线，由平行线的性质可得，，再由平角的定义，通过等量代换可得． 【详解】证明：如图，过点作直线， ， ，， ， ，即三角形内角和等于． 巩固训练 22．在三角形这一章的学习中我们知道，“三角形的内角和是”这个结论的证明方法有很多． 如下图，已知三角形，求证：．    分析：通过画平行线，将、、作等角代换，使各角之和恰为一个平角，依辅助线不同而得多种证法． 证法一：如下图，过点作直线． 因为， 所以________， ________________________________． 因为， 所以．    证法二：如下图，延长到，过点作，    证法三：如下图，    (1)请补全证法一中的证明过程． (2)将证法二补充完整，并写出说理过程． (3)如证法三图，过线段上任一点点、除外，作，这种添加辅助线的方法也能证明请完成说理过程此题不需要写括号部分的理论依据．证法三：如图，过线段上任一点点、除外，作． 【答案】(1)， 两直线平行，内错角相等 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质： （1）根据两直线平行，内错角线段得到，，再根据平角的定义得到，则； （2）由两直线平行，内错角相等，同位角相等得到，再由平角的定义得到，则； （3）根据平行线的性质得到，，再由平角的定义得到，则． 【详解】（1）证明：如下图，过点作直线． 因为， 所以， 两直线平行，内错角相等． 因为， 所以．    （2）证明：如下图，延长到，过点作， ∵ ， ∴， ∵， ∴；    （3）证明：如图，过线段上任一点点、除外，作， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴．    23．【探究】（1）请把下面证明步骤括号里的内容补充完整．    如图1，点D，E，F分别是三角形的边上的点，．求证：． 证明：， （①） ， （②） ． 【归纳】在四边形中，如果，，则． 【运用】（2）如图2，过三角形内的一点P，分别画的平行线与三角形的两边交于M、N点；画的平行线与三角形的两边交于G、H点；画的平行线与三角形的两边交于E、F点．请你运用上面归纳的结论，说明三角形的内角和为（即：） 【拓展】（3）如图3，受以上思路的启发，你能再寻找一种方法说明三角形内角和为吗？请你试一试． 【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同位角相等；（2）证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，三角形内角和定理的证明，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互． （1）根据平行线的性质解答即可； （2）根据归纳可得，四边形对边平行，则对角相等即可证明； （3）延长到D，过点C作，根据平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：， （两直线平行，内错角相等） ， （两直线平行，同位角相等） ． （2）证明：如图2所示，，    由归纳的结论，可知，，， 又， ． （3）证明：如图3，延长到D，过点C作．   （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等）． ， ． 24．阅读下列材料，回答问题． 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于． 我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如下图两种方法．    欣欣同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于．证明过程如下： 已知：如图，． 求证：． 证明：如图，过点作 ∵ ∴（______________________） 同理 ∵（________________） ∴（________________）    (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全欣欣同学证明过程中所缺的根据； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成．    【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平角定义；等量代换 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质，正确地作出辅助线，把三角形的三个内角转化一个平角是解决问题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得，，再根据平角定义得，然后根据等量代换可得出三角形内角和等于； （2）过点作，延长到，根据平行线的性质得，，再根据平角的定义得，进而可得出三角形内角和等于． 【详解】（1）证明：如图，过点作 ∵ ∴（两直线平行，内错角相等） 同理 ∵（平角定义） ∴（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平角定义；等量代换；    （2）如图，过点作，延长到 ∴， ∵ ∴    易错题型七　三角形内角和的计算 例题： 25．如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③． 【答案】①② 【分析】本题考查了与平行线有关的角平分线的计算，涉及了三角形的外角定理，根据，即可判断①；根据即可判断②；根据，、，即可判断③； 【详解】解：∵，    ，平分 ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴ ∵平分，平分 ∴ ∴ ∵ ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，故③错误； 故答案为：①② 巩固训练 26．如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ．， 是的角平分线， ． 在中，，， ， 故答案为：． 27．如图，在中，与的平分线交于点P，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由题意得到，再结合角平分线的定义，得出，最后利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：，， ， 与的平分线交于点P， ，， ， 故答案为：． 28．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点，则 ． 【答案】160 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和以及外角性质，先由三角形内角和得再结合角平分线的性质得，即，因为平分平分，则，即可作答． 【详解】在中，， 平分平分， ， 则， 平分平分， ， ， 故答案为：160． 易错题型八　全等三角形的性质 例题： 29．如图，，，．点P在线段上，点Q在线段上．若与全等，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能求出符合题意的所有情况是解题的关键；由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， 则， ∴； ②当时， 则， ∴ 综上，的长为或， 故答案为：或． 巩固训练 30．如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点D（不与点重合），使得与全等，则这样的三角形有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：如图，即为所求， ∴满足条件的点D的个数为3， 故答案为：3． 31．如下图，和关于直线对称，与的交点F在直线上．    (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据和关于直线对称，确定对称三角形，从而确定对称线段，利用轴对称的性质即可解决问题； （2）根据和关于直线对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意，得， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴． 又∵， ∴． 32．如图，，．，点 在线段上以 的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段上由点 向点 运动．它们运动的时间为 ．设点 的运动速度为 ，若使得与全等，求 的值． 【答案】或2 【分析】根据题意进行分类讨论：当时，当时，结合全等三角形的性质，即可解答． 本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等． 【详解】解：当时， ∵与全等， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 当时， ∵与全等， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 综上：x的值为或2． 易错题型九　全等三角形的判定 例题： 33．如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据定理证得，得到，即可证得结论； （2）证明得到，证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴． 巩固训练 34．如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的性质是解答的关键． （1）根据题意判定即可得到本题答案； （2）由（1）可得，再结合已知即可判定，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 35．如图（），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（），将图（）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，线段，理由见解析； (2)，或，． 【分析】（）由速度和时间求得，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得，进而可得， 即； （）分两种情况讨论：时， ， 和 时，，利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：与全等，线段，理由： 当时，，， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：若， ∴，， ， 解得； 若， ∴，， ， 解得， 综上所述，存在或使得与全等． 36．如图1，在中，为上一点，且和的平分线、交于点与交于点． (1)求的度数； (2)连接，交于点，若，如图2．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，根据 ，得出，根据 求出结果即可； （2）先证明 ，得出，再根据证明即可． 【详解】（1）解： 分别是 和 的平分线， ， 又 ， ， ． （2）证明： ， ， 由 （1）知 ， ， 平分 ， 在 和 中， ∴ ， ∴， 又 平分， ， 在 和中， ． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 易错题型十　灵活选用判定方法证全等 例题： 37．根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意； B．在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意； C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D．在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意． 故选：C． 巩固训练 38．按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②④ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理有以及直角三角形全等的判定定理还有． 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：①根据、、，不能画出三角形，不符合题意； ②根据，，可得，符合能画出唯一三角形，符合题意； ③根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意； ④根据，，符合能画出唯一三角形，符合题意； ⑤根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意． 故答案为：②④． 39．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，将其中的第 块带去玻璃店，就能配出一块与原来形状大小一样的三角形． 【答案】4 【分析】本题考查三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．根据三角形全等判定的条件可直接选出答案． 【详解】解：1、2、3块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第4块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故答案为：4． 40．【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）直接利用定理得出 ； （2）首先得出，则，进而得出，再求出； （3）①利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案； ②利用①中方法可得出当或 【详解】（1）解：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， 故答案为：； （2）证明：在和，且都是钝角，如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， 且都是钝角， 在和 在和 在和中 ； （3）解：①在和中，，且都是锐角，如图，和不全等； ②由①图可知，， ∴当时，就唯一确定了， 则． 当时， 即， 在和中， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方式解题的关键． 易错题型十一　全等三角形的模型问题 例题： 41．阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中的绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；， 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可； （2）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可，再根据三角形的三边关系即可求出的最大值． 【详解】解：（1）． 证明：绕点按顺时针方向旋转， 与是等边三角形， ，， ， ． （2）． 绕点按顺时针方向旋转的角度为， ， 与是等边三角形， ，， ， ． 根据上面的操作过程可知，由，当在上时即当为时 线段的长度最大，等于． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形的三边关系求最值． 巩固训练 42．如图，中，，以为边向外作等边，把绕着点按顺时针方向旋转到的位置，若，， (1)求证：、、三点共线； (2)求的度数和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、四边形的内角和定理． 根据旋转的性质可知，根据四边形的内角和定理可得，根据全等三角形对应角相等可得，所以可证、、三点共线； 根据旋转的性质可得是等边三角形，根据全等三角形的性质可知，，根据证、、三点共线可得． 【详解】（1）证明：由旋转知，，   ， 是等边三角形 ， ，   又， ， 、、三点共线； （2）解：由旋转知，， 是等边三角形， ，，   ， ，， ． 43．小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到点E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决请回答： (1)小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） (2)请你帮助小明完成取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题； (3)如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据定理解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，再由三角形的三边关系计算即可得出答案； （3）仿照（1）的作法，根据等腰三角形的判定定理证明结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴小明证明用到的判定定理是； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）证明：如图，延长到点，使，连接， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 44．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 (3)7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． （1）证明，得到，利用，即可得到； （2）证明，得到，利用，即可得到； （3）证明，推出即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵，， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴， ∴（1）中结论仍然成立； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 03 压轴题型 压轴题型一　计算三角形的高压轴题 例题： 1．如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解，由折叠的性质得到是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：． 巩固训练 2．已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，， 三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案． 【详解】解：设三边为，， 三条对应的高为，，， 可得：， 已知， 可得， 三边均为整数． 又个答案分别是10，12，14，16． 的边长可能是12． 故选：B． 3．如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 【答案】A 【分析】连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出，即可得出的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点， 设， ，，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 同理可得：， 是的中点， 同理可得：， ， ， 同理可得：， 四边形的面积为28， ， ， ， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键． 4．设的面积为． (1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） (2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） (3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关系分别分析得出是解题关键． （1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可； （2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可； （3）利用三角形面积之间关系得出其边长比，得出关于，的方程求出即可． 【详解】（1）如图, 连接， , ，， ， 同理可得出：， ， 故答案为: ； （2）如图，连接， ， 根据等高两三角形的面积比等于底之比， ， ， ， 同理可得出：， ∴； 故答案为: ； （3）如图，过点作于点， ， ， ，即， 同理 ， 设 ，， ，即； ，， ， 又 ， ， 故答案为: ． 压轴题型二　根据三角形的中线求面积压轴 例题： 5．设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律、三角形的面积，解题的关键是得出． 由题意求得，根据点分别是的中点，得，，从而得出，同理可得：，，，…， 归纳出，代入n值即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ， ∵点分别是的中点， ，， ， 同理可得：， ， ， …， ． ． 故选：D． 巩固训练 6．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积． 【详解】解：如图，连接、，设的面积为，    ， 的面积为，的面积为， 的面积为， , 的面积为，的面积为，的面积为， ， ，即的面积为2 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质是解题的关键． 7．设的面积为1，如图①，将边、分别2等分，、相交于点O，的面积记为；如图②，将边、分别3等分，、相交于点O，的面积记为；……，依此类推，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，从中找出规律． 利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得结果． 【详解】解：在图①中，连接，   ，， ，，， ，， ， ， 设，则 ， 解得； 在图②中，连接、、， 则，， 设，则 ， 解得； 在图③中，连、、、、， 则，， 设，则 ， 解得， ． 由可知，， ， 故答案为：． 8．【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）①证明见解析；② 【分析】（1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，即可证明； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即； ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图：    ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中位线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②15， 解：由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键 ． 压轴题型三　与平行线有关的三角形内角和问题 例题： 9．如图，，是直线上一点，是直线上一点． 问题提出 （1）如图1，是直线上一点，是线段上一点，连接，若，，则 问题探究 （2）如图2，，平分，平分，请计算的度数． 问题解决 （3）如图3，平分，延长到点，且平分，若，请你探究与之间的关系，并说明理由（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据，结合“三角形内角和为”，求出的度数，再计算得出的度数即可； （2）点向左作，点向左作，根据“两直线平行，内错角相等”，推出，，根据角平分线的定义，得出，计算得出的度数即可； （3）交于点，点向左作，根据“两直线平行，内错角相等”、角平分线的定义，结合“三角形内角和为”，得出、，整理得出与之间的关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，点向左作，点向左作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3），理由如下， 如图，交于点，点向左作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ， ∵，平分，延长到点，且平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 整理得：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握知识点、作平行辅助线推理是解题的关键． 巩固训练 10．已知，点P是平面内一点，过点P作射线与相交于点B． (1)如图1，若点P为直线上一点，，则的度数为 ； (2)如图2，若点P为直线之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明：； (3)如图3，若点P、H是直线上的点，连接并延长交的角平分线于点Q，射线交于点G，当时，试猜想与之间的关系，请直接写出你的答案． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等，解题的关键是作出适当的辅助线，学会利用参数解决问题． （1）运用平行线性质求解即可； （2）过点F作，过点P作，运用平行线性质、角平分线定义及三角形内角和定理等即可证得结论； （3）分两种情况：当点H在点P的左侧时，当点H在点P的右侧时，分别求得即可． 【详解】（1）， ， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）如图，过点F作，过点P作， ，， ， ， ，， 平分， ， 同理可得：， 设， ，， ，， ，， ， ， ， ； （3）或，理由如下： 当点H在点P的左侧时，如图， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ； 当点H在点P的右侧时，如图， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 综上所述，或． 11．在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)或； 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． （1）①如图1中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； ②过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； （2）作出图形，利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）①证明：如图1中，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②证明： 如图2， 过点作交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设交于，如图3， ∵， ∴， ∵，， ∴， 当点在的延长线上时，同法可证，如图4： 12．李强将一个含有角的三角板，，放置在互相平行的直线和所在的平面内，请探究一下问题： (1)将三角板如图放置，交于点，交于点，分别交、于点、 ①写出与的数量关系 ；                   ②写出与的数量关系 ； (2)如图，为上一点，连点，若，试探究与之间的关系，并说明理由. (3)旋转三角板至如图所示位置，为上一点，连，若，则= .    【答案】(1)①；②； (2)； (3) 【分析】（1）根据三角形的外角的性质得出，进而即可求解；②根据；，即可求解； （2）设，，，得出 （3）根据平行线的基本性质，角度的关系和已知条件即可求解． 【详解】（1）①； ； ； ； ； ； ； ； ②；； ； （2）设，，；   ； ； ； ； ； ， 与之间的关系为： ； （3）设，，，；   ； ； ， ， ； ； ； ； ； ； ． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 压轴题型四　与角平分线有关的三角形内角和问题 例题： 13．综合与探究 问题情境：数学课上李老师在三角形中添加了一些线段，让同学们探究角之间的数量关系.已知，在中，，是的角平分线，点是边上的点，.请探究与之间的数量关系. 特例探究：（1）勤奋小组采用从特殊到一般的方法对这个问题进行分析： ①如图1，若，求此时和的度数； ②勤奋小组发现无论是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，这两个角之间的关系始终不变.请写出与之间的数量关系，并根据图2证明你的结论； 深入探究：（2）善思小组受到启发，进一步探究：如图3，中，，.作的外角的平分线，与的延长线交于点，点是线段延长线上的点，.请在图3中补全图形，并直接写出此时与之间的数量关系. 【答案】（1）①75°；②；见解析；（2）补图见解析， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质， 对于（1）①，根据等腰三角形的性质得，再根据角平分线定义求出，然后根据三角形外角的性质得，可得答案； 对于②，先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得 ，再根据三角形内角和定理得，然后根据三角形外角的性质得，最后整理得出答案； 对于（2），先画出图形，根据题意得 ，再设，表示出，，及，即可表示，，最后根据x相等得出结论． 【详解】解：（1）①∵在中，, ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴； ②． 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴； （2）如图即为所求： 与之间的数量关系为：． ∵平分，， ∴． 设，则， ∴，， ∴，， 即， ∴． 巩固训练 14．【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则___________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出的度数． ． 【答案】（1），；（2）；（3）或或或． 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，明确角之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求；根据计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，再整理即可解答； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，然后计算求解即可； （3）由题意知，、、，当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，分①，②，③，④四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴，整理得，． 故答案为：，． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，、， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ①当时，即，解得：， ∴； ②当时，即，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，． 综上所述，的度数为或或或． 15．如图，在中，，，过点作边上的高，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若平分，交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形外角的性质是解题的关键．先根据三角形外角的性质求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，即可利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】（1）解： ，， ． （2）解：是边上的高， , ． 又平分，由（1）得， ， 又, ． 16．下面是有关三角形内角、外角平分线的探究，阅读后请按要求作答： (1)如图1，、分别是和的平分线且相交于点，若，则__________； (2)如图2，平分，平分，和交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，，分别是外角和的平分线且相交于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形外角的性质即可得出结论； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出与，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解： 、分别平分和， ，， ， , ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 平分，平分，， ，． 是的外角，是的外角， ∴， 又， 故答案为：； （3）解：与是的外角， ，， ，分别是外角和的平分线， ，． ， ， ， ， ，即． 压轴题型五　全等三角形的判定与性质压轴 例题： 17．如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，两线相交于点F． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，连接， ①求证：是的平分线， ②若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；②6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由又，，，可得，，即可求解； （3）①过点C作，，垂足分别为，，则， 由全等的性质可得，再由可得，得到，从而得出是的平分线，求得，推导得出，即可求解； ②在线段上取一点G，使，连接，由等边三角形的性质可得，，，，再证明，从而可得，再求解即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ； （2）解：如图，设交于点O， 由（1）可知，， ， 又，，， ， ； （3）①证明：过点C作，，垂足分别为，， 则， 由（1）可知， ， 又， ， ， 是的平分线， ， ， 是的平分线，， 解：②在线段上取一点G，使，连接， 由（2）可知，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，从而， 在和中， ， ， ， ，， ， 巩固训练 18．（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）先证明，，然后根据即可证明； （2）先证明，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）同（2）可证，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴； （2）成立，证明如下： ∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴，， ∴，， ∴． （3）同（2）可证， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴与的面积之和为8． 19．如图1，在中，点为上一点，过点分别作于点，于点，若． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，过点作于点，交于点，若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余以及等角的余角相等，得出，进而根据等角对等边，即可得出结论； （2）根据（1）可得，设，根据平角的定义得出，进而证明，根据平行线的性质得出，根据等边对等角以及三角形内角和定理得出，即可得出，从而得证； （3）在上取一点，使得，过点作于带你，交的延长线于点，连接，证明得出是等腰直角三角形，进而证明得出，等量代换得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：由（1）可得， 设， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 即 （3）解：如图所示，在上取一点，使得，过点作于带你，交的延长线于点，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 由（2）可得， ∴， 在中， ∴ ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴，，是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 即 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，三角形内角和定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，点在内部，点在外部，当点A、D、E在同一条直线上，此时与相交于点，连接． ①判断与的关系，并说明理由； ②若，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析； (2)①，，理由见解析；②6． 【分析】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形性质结合线段的和差即可得到结论； （2）①先证明，再证，可得，，再证明，从而得出，即可得出结论； ②由全等的性质可得，再证得，再由等腰三角形的判定可得，再证明，从而得出，再求解即可； 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，，理由如下 ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ∴，； ②， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 压轴题型六　旋转模型 例题： 21．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到（旋转角为），直线分别与直线，交于点，． (1)线段与线段的数量关系为__________； (2)如图1，当时，请猜想线段与的数量关系并证明结论； (3)如图2，当为任意角度时（），（2）中的结论是否依然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)成立，证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）先证明是等边三角形，进而证明，即可求解； （3）过点作，证明，进而证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到 ∴， ∴， 故答案为：． （2）在中，，， ∴ ∵， ∴，， 当时， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴； （3）成立，证明如下，如图所示 过点作 ∵， ∴ 又∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴， 在中， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 巩固训练 22．【课本再现】（1）如图1，，都是等边三角形．与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 【探究应用】（2）如图2，绕着点逆时针旋转得到，连接，，，． ①下列说法正确的是_____；（多选题，填序号即可） A．，的形状都是等腰直角三角形 B．， C． D．的面积与的面积相等 ②如图3，点是的中点，猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1），理由见详解；（2）①A，B，D；②，理由见详解 【分析】（1）根据，都是等边三角形，把绕点A逆时针旋转得到 即可； （2）①由绕着点A逆时针旋转得到，得，再由全等三角形的性质及直角三角形的性质判断各项即可；②延长至点，使，连接，延长交于I证明即可得解． 【详解】解：（1），理由如下： ，都是等边三角形， ，，， ，即， 把绕点逆时针旋转得到， ； （2）①绕着点A逆时针旋转得到， ， ，的形状都是等腰直角三角形， 故选项A正确； 如图设交于点，交于点，   绕着点A逆时针旋转得到， ， ， ， ， ，即， 故选项B正确； ， ， 故选项C错误； 如图过D作于Y，过B作于X，   ， 绕着点A逆时针旋转得到， ，，， ， ， ， ， 的面积与的面积相等， 故选项D正确， 故答案为：ABD； ②，理由如下： 延长至点，使，连接，延长交于I，   点M是BC的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加适当的辅助线是本题的关键． 23．已知等腰和等腰中，，． (1)如图（1），①若，，在等腰可绕点A旋转过程中，线段的最大值为______； ②若，当B、D、E三点共线时，则的度数为______； (2)如图（2），若，且C与D重合，．当的大小在范围内之间任意改变，的度数是否随之改变？请说明理由； (3)在（2）的条件下，F是延长线上一点，且，连接，如图3，试探究之间的关系，并证明． 【答案】(1)①10；②或 (2)的度数不变，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①连接，由，得，则线段的最大值为10，于是得到问题的答案；②分两种情况讨论，一是、、三点共线，且点在线段上，设交于点，由，，，得，，可证明，得，所以，则，即可求得；二是、、三点共线，且点在线段上，设交于点，则，，可证明，得，于是得到问题的答案； （2）由，得，，则，所以的度数不变． （3）在线段上截取，连接，可证明是等边三角形，得，，由，得，则，再证明垂直平分，则，所以是等边三角形，则，，可推导出，即可证明，得，所以． 【详解】（1）解：①如图（1），连接， ，， ， ， ， 线段的最大值为10， 故答案为：10． ②如图（1）①，、、三点共线，且点在线段上，设交于点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ； 如图（1）②，、、三点共线，且点在线段上，设交于点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为：或． （2）的度数不变， 理由：，，，且与重合， ， ，， ， ， 的度数不变． （3）， 证明：如图（3），在线段上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， 点、点都在的垂直平分线上， 垂直平分， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 压轴题型七　倍长中线模型 例题： 24．我们规定，有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图：，，回答下列问题：    (1)证明：和是兄弟三角形 (2)取的中点，连接，试证明．（小王同学根据要求的结论，想起老师上课讲的“中线倍长”的辅助线的构造方法）． (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）证明，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出；证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，根据平角定义得到，则，根据三角形内角和定理及垂直的定义即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴和是兄弟三角形； （2）延长至，使， ∵点为的中点， ∴， 在△BPE和△DPO中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴；    （3）如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，周角和平角的定义，中点的定义，全等三角形的判定与性质，平行线的定义和性质，三角形内角和定理，垂直的定义等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 巩固训练 25．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证：．    智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴  ∴ 在中，（依据一） ∴．    任务一：上述证明过程中的“依据一”是指：____________________； 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；    任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．    【答案】任务一：三角形任意两边之和大于第三边 任务二： 任务三： 【分析】任务一：根据证明，得出，由三角形三边关系得出答案； 任务二：延长至点，使，连接，证明，得出，由三角形三边关系可得出答案； 任务三：延长至点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】任务一： 证明：延长至，使， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，（三角形任意两边之和大于第三边）， ． 故答案为，三角形任意两边之和大于第三边； 任务二： 解：如图1，延长至点，使，连接，   是中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：； 任务三： 与的数量关系为． 理由如下：如图2，延长至点，使，连接，   是中线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，不等式的性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 26．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ； （3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4） 【分析】（1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答； （2）延长交延长线于点，证即可； （3）延长至点，使得，连接、、，证即可； （4）过点作交于点，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可． 【详解】（1）为边上的中线， ， 在和中     ， ， ， ， 即， ， ， ， 故答案为： （2）如下图，交延长线于点   ， （同旁内角互补，两直线平行）， ，， 为的中点 ， ， ，， 又， ，即， 在和中 ， （全等三角形的对应角相等），即平分 （3）延长至点，使得，连接、、    由（1）同理易知， ，， ，且， ， ，， ， ， ， ， （4）过点作交于点，由（3）可得，，，，   ， ， 和互余，， ， ， ， ， 又， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，画出辅助线推理论证是解题的关键． 27．如图（1），已知，，且，将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．    (1)求证：； (2)在绕C点旋转的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； (3)在（2）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）等量代换可得，根据全等三角形的判定可得； （2）延长到G，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质可得，，由（1）可知：，推得，根据等边对等角可得，即可求得； （3）根据等边对等角可得，推得，根据由（1）可知：，推得，求得，即可得到． 【详解】（1）∵，，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）延长到G，使得，连接，如图：    ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 压轴题型八　一线三等角模型 例题： 28．综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想 （1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究 （2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决 （3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）； （2）成立，证明见解析 （3），证明见解析 【分析】（1）证，得，即可得出结论； （2）证，得，即可得出结论； （3）过D作于点D，交直线于点F，证明，推出，得出，再证明，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）解：结论成立；理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）．理由如下， 如图，过D作于点D，交直线于点F， ∵，， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 巩固训练 29．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 30．综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______________． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______________． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）①；②3 （2）8 （3）16或40 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练分类讨论的思想是解题的关键． （1）①根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案，②同理①证明即可得到答案； （2）过作于E，证明即可得到答案； （3）分，两种情况讨论，根据直角等腰三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】（1）①解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）解：当作直角边，时，如图4-1所示，作高线，过作于F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴； 当作直角边，时，如图4-2所示，作高线，过作于 F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴； 综上所述：的面积是或． 31．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到.进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；    [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【答案】模型呈现：；模型应用：50；深入探究：见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K型”全等是解题的关键； [模型呈现]根据题意可直接进行求解； [模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； [深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解． 【详解】[模型呈现]解：， . 故答案为：； [模型应用]解：如图2中，                  图2 由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ； 故答案为：50； [深入探究]证明：如图3，过作于，过作于，          图3 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中 ， ， 即点是的中点． 压轴题型九　全等三角形的综合问题 32．在中，，点为上一点，， (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点分别为上一点，，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，，，求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据，设，则，由于在中，，从而得到，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）由已知得到，根据三角形的外角的性质可得，即可得出，根据等角对等边，即可得证； （3）在（2）的条件下，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据两个三角形全等的判定定理得到、，设，根据全等三角形的性质可得，，进而根据三角形的面积公式，得出，即可求解． 【详解】（1）解：，设，则， ∵， ， ， （2）证明：，， ， 是的一个外角， ， ， ； （3）解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴，则 在中， ∴ ∴， 又∵,， ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， 设 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 解得：（负值舍去） ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判断与性质、等腰三角形的判断与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及外角的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键． 巩固训练 33．如图，在中，，，直线经过点，于点，于点． (1)如图（1），当、两点在直线的同侧时，请直接写出线段、和的数量关系为______； (2)如图（2），当、两点在直线的两侧时，请写出线段、和的数量关系．并说明理由： (3)如图（3），在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，使，连接，．若的面积为16，的面积为6，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)1 【分析】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，直角三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）由于，于，则，根据等角的余角相等得到，证得，由全等三角形的性质得到，，即可得到结论； （2）根据等角的余角相等得到，证得，由全等三角形的性质得到，，则可得出； （3）如图3，过点作于，根据平行线的性质得，得是等腰直角三角形，设，，则，根据（2）中的结论和三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：如图1，线段，和的数量关系为：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：如图2，线段，和的数量关系为：，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （3）解：如图3，过点作于， ，， ，即， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，，则， 由（2）同理得：， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， 的面积为16，的面积为6， ，， ，， ，， ． 34．如图1，在等腰中，，，， (1)求证； (2)如图2，过点A作于点G，交于点F，过F作交于点P，交于点H． ①猜想与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据题干条件即可直接证得，从而证得； （2）①由（1）可知，从而可得，结合，可知，从而可得； ②过点C作交的延长线于点M，延长交于点N，先证，可得，，从而可证，可得，，从而可得，，即可推出． 【详解】（1）证明：由题可得： 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：①， 证明：∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②， 证明：如图，过点C作交的延长线于点M，延长交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法并找出全等的条件是解题的关键． 35．在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． (1)如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形及等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据题意补全图形即可；②延长至F，使得，连接，根据等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定得出，，再由全等三角形的性质求解即可； （2）分两种情况：当点P在直线右下方时，当点P在直线左下方时，方法同②相似，求证即可． 【详解】（1）解：①补全图形如下： ②延长至F，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）当点P在直线右下方时，如图所示： 延长至F，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴为等腰三角形，， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在直线左下方时，如图所示： 同理得：，，， ∴， 综上可得：或． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$