精品解析：天津市第七中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

天津七中2024-2025学年度高二下第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间[，+x]上的平均变化率为 A B. 1+ C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由平均变化率的运算公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可得平均变化率，故选D． 【点睛】本题主要考查了平均变化率的求得，其中解答熟记平均变化率的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2. 若曲线在点处的切线斜率为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的几何意义得，再根据导数的定义即可求解. 【详解】由导数几何意义得， 由导数定义可知：. 故选：C. 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数导数公式判断B,C选项，根据导数公式及运算律判断A,D选项即可. 【详解】,A错误; ,B正确; ,C错误; ,D错误. 故选:B. 4. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，代入即可求解. 【详解】∵，∴，∴，解得：. 故选：C. 5. 曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为 故选：A 6. 用这个数字，可以组成个没有重复数字的三位偶数（ ） A. 720 B. 648 C. 320 D. 328 【答案】D 【解析】 【分析】按个位数字为和不为分类讨论，利用分步计数原理即可求得没有重复数字的三位偶数的个数. 【详解】若个位数字为，十位和百位的排法种数为； 若个位数字不为，则确定个位数字有种方法， 确定百位数字有种方法，确定十位数字有种方法， 所以排法种数为. 所以可以组成个没有重复数字的三位偶数. 故选：D 7. 某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有（ ） A 51种 B. 45种 C. 48种 D. 42种 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，至少两人报名数学竞赛，所以可分为：两人报名数学竞赛和三人报名数学竞赛两种情况进行讨论． 【详解】解：若三人有两人报名数学竞赛，并且两人选报的学科都相同，则共有种情况， 若这两个人选报的另外的学科不同，则共有种情况， 若三个人全部都报名数学竞赛，则共有种情况， 所以不同的参赛方案有：种情况， 故选：A． 8. 的展开式中，项的系数为（ ） A. －23 B. 17 C. 20 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数. 【详解】的展开式的通项公式为.则 ①出，则出，该项为：； ②出，则出，该项为：； ③出，则出，该项为：； 综上所述：合并后的项的系数为17. 故选：B 【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识. 9. 已知函数，，对，，使得成立.下列结论正确的是（ ） A. ，使得 B. 函数的最大值为0 C. a的取值范围为 D. 过作的切线，有且只有一条 【答案】D 【解析】 【分析】利用单调性说明的解判断A，由导数求最值判断B，由，使得求解判断C，设切点坐标为，代入所过点坐标求，引入新函数，由导数确定方程只有一个解，从而判断D． 【详解】对于A，， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，故A错误; 对于B，由A的分析可知，当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值：，无最大值，故B错误; 对于C，由前面分析知， 由题可知：，使得 对于函数，， 当时，， 故无论a取什么值，均，使得， 则a的取值范围为R，故C错误; 对于D，不妨设切点为，， 切线方程为， 把代入可得：， 即： 令，， ， 因为对恒成立， 所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以只有一个零点0， 即只有时，成立， 故过作的切线，有且只有一条，故D正确. 故选：D 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 若的展开式中的系数为7，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，根据系数，即可求得参数值. 【详解】通项公式， 令，解得. 故可得，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式由项的系数求参数值，属简单题. 11. 将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有______种．（用数字作答） 【答案】50 【解析】 【分析】将问题分为甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人两类，进而结合排列组合知识进行分配即可求得答案. 【详解】由题意知将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生， 包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人， 当甲和乙两个屋子住4人、2人，共有种， 当甲和乙两个屋子住3人、3人，共有种， 根据分类计数原理得到共有（种）. 故答案为：50 12. 在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 【答案】252 【解析】 【分析】 根据展开式中所有二项式系数的和等于，求得．在展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项． 【详解】∵在的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ∴，解得， ∴中，， ∴当，即时，常数项为． 故答案为：252． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 13. 已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解. 【详解】由得， 由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为， 若在区间上单调递增，则，解得， 故答案为： 14. 已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种． 【答案】18 【解析】 【详解】可分两类：第一类，若A，E相同，D有2种种法，则有；第二类，若A，E不相同，D只有1种种法，则有；由分类计数原理可得所有种法种数为．应填答案． 点睛：解答本题的关键是搞清楚题设中的要求与约束条件，解答时，先运用分类计数原理，分别计算出其种植方法，再进行相加求出其结果，使得问题获解．本题的求解具有一定的难度，容易出现重或漏 的情况． 15. 已知函数，若对，，都有，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导可知在上单调递增，在上单调递减，设，则当时，恒成立，即恒成立，设，求其最大值后可求k的取值范围. 【详解】，则当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 不妨设，则，， 由已知，即， 令，则在上不存在减区间， 从而当时，恒成立，即恒成立， 令，则，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以，所以. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字． （1）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位奇数？ （3）可以组成多少个无重复数字的小于1 000的自然数？ （4）可以组成多少个无重复数字的大于3 000且小于5 421的四位数？ 【答案】（1）个； （2）个； （3）个； （4）个. 【解析】 【分析】（1）（2）根据分步乘法计数原理，即可分别求解百位，十位以及个数的选择相乘求解， （3）（4）根据分类加法计数原理，结合分步乘法即可求解. 【小问1详解】 分3步: ①先选百位数字有5种选法；②十位数字有5种选法； ③个位数字有4种选法； 由分步计数原理知所求三位数共有个 小问2详解】 分3步： ①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法； ②再选百位数字有4种选法； ③十位数字也有4种选法； 由分步计数原理知所求三位数共有个. 【小问3详解】 分3类： ①一位数，共有6个； ②两位数，先选十位数字，有种选法；再选个位数字也有种选法，共有个； ③三位数，先选百位数字，有种选法；再选十位数字也有种选法；再选个位数字，有种选法，共有个； 因此，比1 000小的自然数共有个． 【小问4详解】 分4类： ①千位数字为或时，后面三个数位上可随便选择，此时共有个； ②千位数字为，百位数字为之一时，共有个； ③千位数字为，百位数字是，十位数字为之一时，共有个； ④也满足条件； 故所求四位数共有个. 17. 已知在的展开式中，第6项为常数项． 求n的值； 求展开式的所有项的系数之和； 求展开式中所有的有理项． 【答案】（I）；（II）；（III）有理项分别为，；. 【解析】 【分析】在二项展开式的第六项的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值；在二项展开式中，令，可得展开式的所有项的系数之和； 二项式的展开式的通项公式为，令为整数，可求出的值，即可求得展开式中所有的有理项． 【详解】在的展开式中，第6项为 为常数项， ，． 在的展开式中， 令，可得展开式的所有项的系数之和为． 二项式的展开式的通项公式为， 令为整数，可得，5，8， 故有理项分别为， ；． 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 18. 设f(x)=lnx，g(x)=f(x)+f′(x). （1）求g(x)的单调区间和最小值； （2）讨论g(x)与g()的大小关系. 【答案】（1）g(x)单调递减区间为(0,1)；函数g(x)单调递增区间为[1,+∞)，最小值为1；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题设可得，讨论它的符号即可确定g(x)的单调区间，进而求g(x)的最小值； （2）利用作差法，并构造h(x)= 2lnx+- x(x>0)，应用导数研究单调性，讨论x的取值范围比较g(x)与g()的大小. 【详解】（1）(x>0)，则g(x)=lnx+(x>0). ∴，令g′(x)=0，得x=1. 当0 < x < 1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x > 1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增. ∴当x=1时，g(x)有极小值，也是最小值g(1)=1. 综上：g(x)单调递减区间为(0,1)；函数g(x)单调递增区间为[1,+∞)，最小值为1. （2）g(x)=lnx+(x>0)，= -lnx+x，令h(x)=g(x) -=2lnx+- x(x>0). ∴h′(x)=≤0，即h(x)在(0,+∞)上单调递减. 当x = 1时，h(1)=0，此时g(x)=. 当0 < x < 1时，h(1)>0，此时g(x)>. 当x > 1时，h(1)<0，此时g(x)<. 【点睛】关键点点睛： （1）利用导数研究函数的单调性，并求函数的最值； （2）通过作差，构造函数并应用导数研究单调性，进而根据不同的单调区间比较函数值的大小. 19. 已知 （1）当 时，求函数 的极值； （2）若关于x的方程 有两个不等实根，求a的取值范围； 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，判断函数单调性，求出极值； （2）题意转化为，有两个不同的零点，求导判断单调性，结合零点存在性定理判断. 【小问1详解】 当时，，， 则，令，得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 方程有两个不等实根， 令，，则函数有两个不同的零点， 则， 当时，，即在R上单调递增，不合题意； 当时，令，得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， ，即，得， 又，时，， 所以在和上各存在一个零点， 所以的取值范围为. 20. 已知函数 （1）当 时，求函数的单调区间； （2）若函数 在区间 上有1个零点，求实数k的取值范围； （3）若 在 上恒成立，求出正整数k的最大值； 【答案】（1）增区间，减区间 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）求导，判断导数的正负可得解； （2）求导，分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可求解实数的取值范围； （3）分类参数得出对恒成立，设函数，求导得函数单调性与极值，即可求解正整数的最大值. 【小问1详解】 当时，，， 则， 令，得，令，得， 所以的单调增区间为，减区间为. 【小问2详解】 由， 当时，由，得， 所以，在上是单调增函数，且图象不间断， 又，所以当时，， 所以函数在区间上没有零点，不合题意. 当时，令，得， 若，则，故在上是单调减函数， 若，则，故在上是单调增函数， 当时，， 又， 所以函数在区间上有1个零点，符合题意．      综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 由在上恒成立，即， 由，则，对上恒成立， 令，则， 设，则， 所以在是单调增函数， 又，， 所以存在唯一的实数，使得，  当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，又，即， ， ，又，， 所以的最大值为3， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津七中2024-2025学年度高二下第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间[，+x]上的平均变化率为 A. B. 1+ C. D. 2 2. 若曲线在点处的切线斜率为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 1 6. 用这个数字，可以组成个没有重复数字的三位偶数（ ） A. 720 B. 648 C. 320 D. 328 7. 某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有（ ） A. 51种 B. 45种 C. 48种 D. 42种 8. 的展开式中，项的系数为（ ） A. －23 B. 17 C. 20 D. 63 9. 已知函数，，对，，使得成立.下列结论正确的是（ ） A. ，使得 B. 函数的最大值为0 C. a的取值范围为 D. 过作的切线，有且只有一条 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 若的展开式中的系数为7，则实数______. 11. 将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有______种．（用数字作答） 12. 在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 13. 已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________. 14. 已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种． 15. 已知函数，若对，，都有，则k取值范围是________． 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字． （1）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位奇数？ （3）可以组成多少个无重复数字的小于1 000的自然数？ （4）可以组成多少个无重复数字的大于3 000且小于5 421的四位数？ 17. 已知在的展开式中，第6项为常数项． 求n的值； 求展开式的所有项的系数之和； 求展开式中所有的有理项． 18. 设f(x)=lnx，g(x)=f(x)+f′(x). （1）求g(x)单调区间和最小值； （2）讨论g(x)与g()的大小关系. 19 已知 （1）当 时，求函数 的极值； （2）若关于x方程 有两个不等实根，求a的取值范围； 20. 已知函数 （1）当 时，求函数的单调区间； （2）若函数 在区间 上有1个零点，求实数k的取值范围； （3）若 在 上恒成立，求出正整数k的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$