精品解析：天津市滨海新区天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

新区天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题 一、单选题：本题共10小题，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 在（x﹣2）5的展开式中，x2的系数为（　　） A. ﹣40 B. 40 C. ﹣80 D. 80 4. 若数列满足，则，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 在上的最大值是 D 当时，取得极小值 7. 从，，，，这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列是公比为q等比数列，若，且是与2的等差中项，则q的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 或1 D. 或2 9. 《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第16天织布量为13尺（市制长度单位），则1个月（按31天计）织布总量为（ ） A. 13 B. 26 C. 208 D. 403 10. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 11. 已知展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 二项式系数最大的项为第7项 C. 所有项的系数和为 D. 有理项共5项 12. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在取得极小值 B. 有一个零点 C. D. 在上单调递减 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 记为等比数列的前项和．若，则的公比为________． 14. 在数列中，，则__________. 15. 二项式的展开式中的系数为_____． 16. 甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有_________种． 17. 已知函数，则________. 18. 已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，公比大于0，且，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 20. 已知函数 （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值. 21. 设数列前项和为，且． (1)证明数列是等比数列，并求通项公式； (2)若，求数列的前项的和． 22. 函数，. （1）求函数的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新区天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题 一、单选题：本题共10小题，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再根据计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以 故选：A 2. 若，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用排列与组合数公式，进行化简计算即可. 【详解】解：， ， 化简得， 解得. 故选：. 3. 在（x﹣2）5的展开式中，x2的系数为（　　） A. ﹣40 B. 40 C. ﹣80 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意利用二项展开式的通项公式，求得x2的系数． 【详解】在（x﹣2）5的展开式中，含x2的项为， 故x2的系数为：﹣80． 故选：C. 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理求指定项的系数，属于基础题. 4. 若数列满足，则，则（ ） A B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求出的前5项，得到为周期数列，一个周期为4，故. 【详解】，，， ， 故为周期数列，一个周期为4，故. 故选：D 5. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复合函数的求导法则可判断各选项的正误. 【详解】选项A:正确； 选项B: 错误； 选项C：正确； 选项D：，正确； 故选：ACD 6. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 在上的最大值是 D. 当时，取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果． 【详解】解：根据导函数图象可知， 上先单调递减后单调递增，故错误； 在上，单调递增，故错误； 函数在上先单调递减，再单调递增，最后在上单调递减，故无法确定函数在上的最大值，故C错误； 在时单调递减，在时单调递增，在 时，取极小值，故对， 故选：． 7. 从，，，，这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理直接计算可得结果. 【详解】从1，3，5，7，9中任取三个数有种方法， 从2，4，6，8中任取两个数有种方法， 再把取出的5个数全排列共有种， 故一共可以组成数字不重复的五位数的个数是. 故选：C. 8. 已知数列是公比为q的等比数列，若，且是与2的等差中项，则q的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 或1 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质和基本量代换，解方程即可求出q. 【详解】由解得. 因为是与2的等差中项，所以. 把代入得：， 消去得：，解得. 故选：A． 9. 《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第16天织布量为13尺（市制长度单位），则1个月（按31天计）织布总量为（ ） A. 13 B. 26 C. 208 D. 403 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件判断出该织布量构成等差数列，然后利用等差数列的性质来计算31天的织布总量. 【详解】因为从第天开始，每天比前一天多织相同量布，所以每天的织布量构成一个等差数列.  在等差数列中，对于31项的等差数列，，所以. 已知第16天织布量尺.  根据等差数列求和公式，则天织布总量. 将代入可得：（尺）  个月（按31天计）织布总量为403尺. 故选：D. 10. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，参变分离求出函数的最小值代入，可得实数的取值范围． 【详解】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即恒成立，在上单调递增，时，， 故选：D 【点睛】本题考查利用导数解决函数的单调性问题，考查学生逻辑思维能力，属于基础题． 二、多选题：本题共2小题，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 11. 已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 二项式系数最大的项为第7项 C. 所有项的系数和为 D. 有理项共5项 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据展开式共有13项，故，得到所有奇数项的二项式系数和为；B选项，利用二项式系数的单调性和对称性得到B正确；C选项，赋值得到所有项的系数和；D选项，求出展开式通项公式，从而得到有理项个数. 【详解】A选项，的展开式共有13项，故， 所有奇数项的二项式系数和为，A错误； B选项，二项式系数最大的项为中间项，即第7项，B正确； C选项，中，令得， 故所有项的系数和为，C错误； D选项，展开式通项公式为，，， 当时，为整数，故有理项共5项，D正确. 故选：BD 12. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在取得极小值 B. 有一个零点 C. D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AD，求导可得函数单调性、极值，对于B，令即可判断，对于C，由函数单调性即可判断. 【详解】对于AD，由题意得：定义域为， ， 当时，；当时，． 所以的增区间是，减区间是， 所以当时，取得极大值，故选项A不正确，D正确； 对于B，令，故B正确； 对于C，在上单调递减，，所以，故选项C正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 记为等比数列的前项和．若，则的公比为________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比. 【详解】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为， 所以， 即，即，即， 解得. 故答案为： 14. 在数列中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由裂项法即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 15. 二项式的展开式中的系数为_____． 【答案】80 【解析】 【分析】由二项式展开式通项公式确定的系数. 【详解】解：由二项式的展开式的通项公式得： 令，解得， 即二项式的展开式中的系数为：， 故答案为 【点睛】本题考查了二项式展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题 16. 甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有_________种． 【答案】180 【解析】 【分析】先确定相同的门，再各自选门不同的课程，利用乘法原理可得结论. 【详解】根据题意，甲乙所选的课程有门相同， 有种情况. 故答案为：180. 【点睛】本题主要考查的是分步计数原理，关键是如何分步，考查学生的理解能力，是基础题. 17. 已知函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，通过赋值求出的值即可进一步求解. 【详解】， 所以，所以. 故答案为：. 18. 已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可. 【详解】因为函数，所以， 令，由题意得在上2个解，， 故，解得：； 故答案为：. 四、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，公比大于0，且，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2）前项和 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项和公差的值，即可求得和的通项公式； （2）先根据第（1）题的结论得到数列的通项公式，然后运用错位相减法求出前项和． 小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则． 故，解得，，则， ， 由题意，得，解得． ；． 【小问2详解】 由（1）知，．设其前项和为， ，① ，② ①②，得 ． ． 20. 已知函数 （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，再求出区间端点的函数值，比较即可得到函数的最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以函数的图象在点处的切线的斜率. 因为，所以函数的图象在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 因为， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为. 因为，，所以， 所以，所以函数在上的最大值为. 综上，，. 21. 设数列的前项和为，且． (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项的和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由可以得到，故可利用等比数列的定义证明为等比数列并求出其通项． （2）利用分组求和法和并项求和法求． 【详解】（1）∵ ①， 当时， ②． ①-②得，，又， ，∴， ∴当时，，因 所以，故，∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴. （2）. ∴ . 【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.又数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化. 22. 函数，. （1）求函数的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后分，两种情况，由导函数的正负可求得其单调区； （2）构造函数，，把不等式的恒成立转化为，求得，结合分析函数的单调性并确定最小值为，再利用函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得，， 当时，则，在上单增， 的递增区间为； 当时，令，则；令，则. 的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 当时，令，， 则，， 由题意，得. 因为， 令，则；令，则， 在上递减，在上递增， ， 故 在上递增， 又， ， 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$