精品解析：福建省福州市闽侯某校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

闽侯一中2024-2025学年第二学期第一次月考 高中一年数学科试卷 命题教师：余凌彦、张兴发 审核教师：黄沁芃、周孝文、潘榕 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，，，则与夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 的内角，，的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若在三角形中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，且，则下列选项正确的是（ ） A. 能作为平面内所有向量的一组基底 B. 是与夹角是锐角的充要条件 C. 向量与向量的夹角是 D. 向量在向量上投影向量坐标是 10. 在中，角的对边分别为，则（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若符合条件的有一个，则 C. 若，则 D. 若，则为等腰三角形 11. 如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（ ） A. 最大值为1 B. 最大值为1 C. 最大值是2 D. 最大值是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知，，则______. 13. 在中，，，，则外接圆面积________. 14. 已知梯形中，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明或演算步聚.） 15. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 16. 已知复数（，为虚数单位）. （1）若为纯虚数，求实数a的值； （2）若，且复数在复平面内所对应点位于第四象限，求a的取值范围. 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 18. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且． （1）求小岛与小岛之间的距离； （2）求四个小岛所形成的四边形的面积； （3）记为，为，求的值． 19. 已知的内角的对边为，且. （1）求； （2）若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 闽侯一中2024-2025学年第二学期第一次月考 高中一年数学科试卷 命题教师：余凌彦、张兴发 审核教师：黄沁芃、周孝文、潘榕 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简，利用复数的几何意义即可得解. 【详解】，则复数对应点为，在第四象限. 故选：D. 2. 已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由数量积的运算律结合夹角的计算代入即可. 【详解】设与的夹角为，， 由题意可知，，， 则，即，故，结合，解得. 故选：A 3. 的内角，，的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用正弦定理计算可得； 【详解】解：因为，由正弦定理， 即，解得. 故选：A 4. 若在三角形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由线性运算表示，，最后再表示即可. 【详解】因为，所以点是中点， 所以. 故选：B. 5. 已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合向量的数量积和模长的坐标计算，求解即可. 【详解】根据题意，可得，，则， 所以在向量上投影数量等于， 可得向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 6. 如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，.再利用正弦定理得，最后根据三角函数定义即可得到答案. 【详解】根据题意，可得，， 在中，. 在中，，，所以， 在中，由正弦定理得，即， 即，解得， 在中，，，所以. 故选：A. 7. 在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解， 所以，则，即，解得. 故选：C. 8. 在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【详解】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，且，则下列选项正确的是（ ） A. 能作为平面内所有向量的一组基底 B. 是与夹角是锐角的充要条件 C. 向量与向量的夹角是 D. 向量在向量上的投影向量坐标是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，求得向量，由不共线，可判定A正确；根据向量平行时，求得，可判定B错误；由向量的夹角公式，可判定C正确；根据投影向量的计算方法，可判定D错误. 【详解】因为，所以， 则，解得，所以， 可得不共线，故A正确； 因为向量，，由，解得； 又由当平行时，可得，解得，所以B错误； 由， 因为，故向量与向量夹角是，所以C正确； 有向量在向量上的投影向量为，所以D错误. 故选：AC. 10. 在中，角的对边分别为，则（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若符合条件的有一个，则 C. 若，则 D. 若，则为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据平面向量的模长以及数量积的运算律分析运算；对于B：利用正弦定理分析运算；对于C：利用正弦定理可判断；对于D：利用两角和差的正弦公式求解. 【详解】对于A：因为，即， 则，整理得， 所以，即为直角三角形，故A正确； 对于B：若，则， 若符合条件的有一个，则或，故B错误； 对于C：若，则由正弦定理可得，故C正确； 对于D：若，即, 展开整理得， ∵，∴或， ∴为直角三角形或等腰三角形，故D错误. 故选：AC 11. 如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（ ） A. 最大值为1 B. 最大值为1 C. 最大值是2 D. 最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得，且，,，再逐一分析各选项即可． 【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知，，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由数量积的坐标运算的定义直接计算即可得解. 【详解】由题得. 故答案为：3. 13. 在中，，，，则外接圆面积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据余弦定理求出长度，再利用正弦定理求出外接圆半径，最后根据圆的面积公式求出外接圆面积. 【详解】在中，已知，，，根据余弦定理可得： 因为为三角形的边长，所以. 由正弦定理可得：,则. 根据圆的面积公式，将代入可得：. 故答案为：. 14. 已知梯形中，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，根据题意得到 ，设，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为且，可得 ， 由两点在上运动，且，不妨设， 可得， 所以， 当时，取得最小值 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明或演算步聚.） 15. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意求得数量积，再求向量的模长即可； （2）根据向量垂直则数量积为零，结合（1）中所求，即可求得参数值. 【小问1详解】 根据题意，， 又. 【小问2详解】 根据题意， ，即，，解得. 16. 已知复数（，为虚数单位）. （1）若为纯虚数，求实数a的值； （2）若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数为纯虚数，列出方程组求解即可得的值； （2）由在复平面上对应的点在第四象限列出不等式组求解即可得的取值范围． 【小问1详解】 . 因为为纯虚数，，解得， 所以. 【小问2详解】 由， 由复数在复平面内所对应的点位于第四象限，得，解得． 的取值范围为． 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 18. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且． （1）求小岛与小岛之间的距离； （2）求四个小岛所形成的四边形的面积； （3）记为，为，求的值． 【答案】（1）2nmile； （2）18平方海里； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据同角的平方关系求出，结合余弦定理计算即可求解； （2）易知，则，利用余弦定理计算可得，结合三角形面积公式计算即可求解； （3）方法1：根据正弦定理和同角的平方关系可得，由诱导公式求出，结合和两角和的正弦公式计算即可求解. 方法2：利用余弦定理和同角的平方关系计算求得，结合和两角和的正弦公式计算即可求解. 【小问1详解】 ，且A为钝角，， 在中，由余弦定理可得， ，即， 解得：或（舍去）． 小岛A与小岛之间的距离为2nmile． 【小问2详解】 四点共圆，与互补，则 ． 在中，由余弦定理得：， ，得， 解得（舍去）或． （平方海里）， 四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里． 【小问3详解】 方法1：在中，由正弦定理得：，即，解． ，为锐角，则， 又， ， ． 方法2 在三角形中，；；； 由余弦定理可得：； ； 又， ， ． 19. 已知的内角的对边为，且. （1）求； （2）若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意及正弦定理和余弦定理可得的值，进而可得角的正切值； （2）①由中线的向量表示，两边平方，可得中线的最小值； ②由等面积法可得角平分线的表达式，再由基本不等式可得的最大值． 【小问1详解】 由正弦定理，得，即， 故，因为，所以， 所以，所以 【小问2详解】 ①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由于，所以 ， 当且仅当时，等号取得到，所以， 故的最小值为； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$