第06讲 反证法（1个知识点+2类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第06讲 反证法 （1个知识点+2类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①反证法证明中的假设； ②用反证法证明命题； 1.掌握反证法证明中的假设； 2.掌握用反证法证明命题； 知识点01：反证法 反证法，就是首先假定所要证明的命题不成立，然后再在这个假定下进行 逻辑推理，直至得出矛盾的结论，由此推翻假定，从而得出所要证明的结论是正确的，应用 反证法有如下三个步骤： （1）反设——假定原命题的结论不成立，即肯定原命题的反面； （2）归缪——根据反设，进行严密的推理，直到得出矛盾，即或与已知条件相矛盾，或与已知的公理、定理、定义、性质、公式等相矛盾，或与反设相矛盾；或自相矛盾，或甚至可 以与正常生活中的事实相矛盾，等等； （3）结论——肯定原命题正确. 【即学即练1】 1．用反证法证明，“在中，、对边是、．若，则．”第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立．∴ ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 题型01 反证法证明中的假设 1．用反证法证明命题“在中，，求证：”的第一步应先假设（    ） A． B． C． D． 2．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（   ） A．三角形中没有内角大于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中三个内角都大于 D．三角形中有两个内大于 3．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不大于”时，首先应假设这个三角形中（　　） A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角大于 D．有一个内角小于 4．“证明：若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设（   ） A． B． C． D． 5．用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应是（   ） A． B． C．或 D．且 6．牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一．我们用反证法证明命题“是无理数”时，应先假设 ． 7．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设直角三角形中 ． 8．求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． (1)你会选择哪一种证明方法？ (2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ 9．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角． 10．如图，设 A 是由n n 个有理数组成的n 行n 列的数表，其中aij （i ， j 1 ，2，3， ， n） 表示位于第i 行第 j 列的数，且aij 取值为 1 或1 ．对于数表 A 给出如下定义：记 xi 为数表 A 的第i 行各数之积，yj 为数表 A 的第 j 列各数之积．令 S （x1   x2   xn ） （ y1   y2   yn ） ，将S 称为数表 A 的“积和”． a11 a12 ．．． a1n a21 a22 ．．． a2n ．．． ．．． ．．． ．．． an1 an2 ．．． ann （1）当n 4 时，对如下数表 A ，求该数表的“积和” S 的值； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）是否存在一个3 3 的数表 A ，使得该数表的“积和” S 0 ？并说明理由； （3）当n 10 时，直接写出数表 A 的“积和” S 的所有可能的取值． 题型02 用反证法证明命题11．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 12．证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 13．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 14．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 . 15．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是 （填序号）． 16．如图，中，，，点D在上，点K在边上，连接、交于点P，连接，，，垂足为T，，那么以下结论： ①；②；③；④；中正确结论的序号是 ．    17．求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：．    以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是 ． 18．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 19．阅读正文并解答下列问题： 如图，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若，则在上取点D，连接，使． ∵， ∴； 在上取点E，使，则， 即：， ∴． 这与已知相矛盾， ∴假设不成立； ②若， … 综上，． (1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）； A．直接证明法；    B．反证法． (2)请你补充②中所缺失的部分． 20．对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 1．用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于”时，第一步应假设直角三角形（    ） A．两个较小的内角之和小于 B．两个较小的内角之和大于 C．两个较小的内角之和等于 D．两个较小的内角之和不等于 2．在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（    ） A． B． C． D． 3．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应先假设这个直角三角形中（  ） A．有一个锐角小于 B．每一个锐角都小于 C．有一个锐角大于 D．每一个锐角都大于 4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 5．下列说法中，①；②到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点；③说明“任何数的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是：；④“对顶角相等”的逆命题是真命题；⑤用反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设“这个三角形中最小角大于”．正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，应该先假设 ． 7．用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设 ． 8．命题“三角形的三个内角中至少有一个内角大于等于”是 （填“真命题”或“假命题”）． 9．用反证法证明命题：“如果，是整数，且能被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，应假设 ． 10．阅读下面关于“不是有理数”的证明过程，并填空： “不是有理数”，对于这一事实的证明，最早出现在亚里士多德（）的著作中，但他声明来源于毕达哥拉斯学派．欧几里得（）在《原本》中给出了证明． 证明：假设应是有理数，由于，所以必然有两个正整数a，b， 使，① 而且a，b互质（即没有1以外的公因数）． 等式①两边平方，得 ，即． 所以 ．② 上面式子的右边是偶数，所以左边也是偶数，因而b也是 ， 可设（k是正整数），代入②，得 ， 即． 所以a也是偶数，这说明a，b都是偶数，不是 ， 与假设相矛盾，即 有理数． 11．在中，．求证：．（用反证法证明） 12．阅读正文并解答下列问题： 如图，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若，则在上取点D，连接，使． ∵， ∴； 在上取点E，使，则， 即：， ∴． 这与已知相矛盾， ∴假设不成立； ②若， … 综上，． (1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）； A．直接证明法；    B．反证法． (2)请你补充②中所缺失的部分． 13．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 14．阅读下列文字，回答问题． 题目：在中，，若，所以． 证明：假设， ，， ， ，这与假设矛盾． ． 问题1：上面的证明方法用的是______． 问题2：上面的证明有错误，请予以纠正． 15．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．” 已知：，，是的内角． 求证：，，中至少有一个内角小于或等于． 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 反证法 （1个知识点+2类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①反证法证明中的假设； ②用反证法证明命题； 1.掌握反证法证明中的假设； 2.掌握用反证法证明命题； 知识点01：反证法 反证法，就是首先假定所要证明的命题不成立，然后再在这个假定下进行 逻辑推理，直至得出矛盾的结论，由此推翻假定，从而得出所要证明的结论是正确的，应用 反证法有如下三个步骤： （1）反设——假定原命题的结论不成立，即肯定原命题的反面； （2）归缪——根据反设，进行严密的推理，直到得出矛盾，即或与已知条件相矛盾，或与已知的公理、定理、定义、性质、公式等相矛盾，或与反设相矛盾；或自相矛盾，或甚至可 以与正常生活中的事实相矛盾，等等； （3）结论——肯定原命题正确. 【即学即练1】 1．用反证法证明，“在中，、对边是、．若，则．”第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反证法的步骤，直接选择即可． 【详解】解：根据反证法的步骤，得 第一步应假设不成立，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了反证法，熟知反证法的步骤是关键． 【即学即练2】 2．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立．∴ ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， 1、假设在中，， 2、由，得，即， 3、，这与三角形内角和为矛盾， 4、因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②． 故选：D． 题型01 反证法证明中的假设 1．用反证法证明命题“在中，，求证：”的第一步应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．根据反证法的方法进行第一步假设即可得到答案． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，，求证：”的第一步应先假设， 故选：A． 2．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（   ） A．三角形中没有内角大于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中三个内角都大于 D．三角形中有两个内大于 【答案】C 【分析】此题主要考查了反证法，根据反证法的步骤，然后进行判断即可，解题的关键是掌握反证法的步骤是：（）假设结论不成立；（）从假设出发推出矛盾；（）假设不成立，则结论成立． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于， 故选：C． 3．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不大于”时，首先应假设这个三角形中（　　） A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角大于 D．有一个内角小于 【答案】B 【分析】本考查反证法中的假设，根据反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不大于”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于； 故选B． 4．“证明：若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．根据反证法的步骤，直接得出答案即可． 【详解】用反证法证明若，则”时，应先假设． 故选B． 5．用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的要求解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应是或 ． 故选C． 6．牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一．我们用反证法证明命题“是无理数”时，应先假设 ． 【答案】是有理数 【分析】本题主要考查了反证法的应用，无理数，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤． 根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】我们用反证法证明命题“是无理数”时，应先假设是有理数． 故答案为：是有理数． 7．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设直角三角形中 ． 【答案】每个锐角都大于 【分析】此题考查了反证法，根据反证法的第一步是否定结论进行解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”， 第一步假设直角三角形中每个锐角都大于， 故答案为：每个锐角都大于45°． 8．求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． (1)你会选择哪一种证明方法？ (2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ 【答案】(1)反证法 (2)答案见解析 【分析】根据题意，画出图形，结合图形写出已知和求证，再运用反证法证明． 【详解】（1）解：反证法； （2）如下图，直线， 求证： 证明：假设与不平行，则直线与相交， 设它们的交点为P，于是经过点P就有两条直线都和直线平行， 这就与“经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾， 所以假设不能成立，故． 【点睛】本题考查了反证法，解题的关键是掌握反证法的步骤，假设命题的结论不成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可． 9．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角． 【答案】见解析 【分析】假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立． 【详解】证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°.根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°，则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立．所以等腰三角形的底角是锐角． 【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 10．如图，设 A 是由n n 个有理数组成的n 行n 列的数表，其中aij （i ， j 1 ，2，3， ， n） 表示位于第i 行第 j 列的数，且aij 取值为 1 或1 ．对于数表 A 给出如下定义：记 xi 为数表 A 的第i 行各数之积，yj 为数表 A 的第 j 列各数之积．令 S （x1   x2   xn ） （ y1   y2   yn ） ，将S 称为数表 A 的“积和”． a11 a12 ．．． a1n a21 a22 ．．． a2n ．．． ．．． ．．． ．．． an1 an2 ．．． ann （1）当n 4 时，对如下数表 A ，求该数表的“积和” S 的值； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）是否存在一个3 3 的数表 A ，使得该数表的“积和” S 0 ？并说明理由； （3）当n 10 时，直接写出数表 A 的“积和” S 的所有可能的取值． 【答案】（1）0；（2）不存在，理由见解析；（3），，，，，0，4，8，12，16，20 【分析】（1）由题意分别求出，，，，，，，即可求解； （2）假设存在，一个的数表，使得该数表的“积和” ，由题意可知、、、、、中只能有3个1或3个，再由这些数的乘积，与矛盾，即可说明不存在； （3）时，每行10个1，9个1，8个1，，1个1，0个1，这11中情况分别求出即可． 【详解】解：（1）由题意可知， ，，，， ，，，， ； （2）假设存在，一个的数表，使得该数表的“积和” ， 则， 、、、、、的值只能取1或， 、、、、、中只能有3个1或3个， 设的数表中9个数的乘积为， 则， ， 这与矛盾， 故假设不成立， 不存在一个的数表，使得该数表的“积和” ； （3）时，的可能取值，，，，，0，4，8，12，16，20． 【点睛】本题考查数字的规律；理解题意，能够根据1和的个数是决定的值的关键． 题型02 用反证法证明命题 11．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 根据反证法的步骤即可判断． 【详解】解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 所以，正确的步骤是③①②． 故选：D． 12．证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答． 【详解】解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 13．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此进行判断即可．也考查了等边对等角． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： ③假设在中，， ④由，得，即， ①∴，这与三角形内角和为矛盾， ②因此假设不成立，∴， ∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②． 故选：D． 14．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 . 【答案】③④①② 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于， 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾， 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 则四个步骤正确的顺序是③④①②， 故答案为：③④①②． 15．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据反证法，可证明①②④正确，通过举反例，可证明③错误． 【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以①正确； ②若三角形的三个内角最少有2个直角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以②正确； ③因为三角形的三个内角可以都等于，所以③错误； ④若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以④正确． 故答案为：③． 16．如图，中，，，点D在上，点K在边上，连接、交于点P，连接，，，垂足为T，，那么以下结论： ①；②；③；④；中正确结论的序号是 ．    【答案】①②④ 【分析】证明即可判断①正确；证明可判断②正确；作，证明可判断④正确；用反证法可判断③错误． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴，故②正确； ④作与点E，则，    ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ③假设正确，则， ∴， ∴， ∴． 作与点F． ∴， ∵， ∴， ∴， 这与矛盾， ∴不正确，故③错误． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及反证法，正确作出辅助线是解答本题的关键． 17．求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：．    以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是 ． 【答案】③①②⑤④ 【分析】反证法：先假设的结论的反面成立，再通过推论说明假设不成立，从而可得原来结论成立，根据反证法的步骤可得答案． 【详解】证明：③假设； ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． ④∴； 故答案为：③①②⑤④ 【点睛】本题考查的是反证法的含义，掌握反证法的步骤是解本题的关键． 18．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 【答案】；q是一个偶数；；p是一个偶数；p，q是互质的正整数 【分析】本题主要考查了用假设法证明，根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，等式两边平方得到，由是一个偶数，可得，q是一个偶数，可设（k是正整数），则，即可证明p也是偶数，这与p，q是互质的正整数的假设矛盾，由此即可证明结论． 【详解】解：完整证明过程如下： 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴q是一个偶数． 设（k是正整数）， ， ， 是一个偶数． ∴p是一个偶数． ∴p和q均为偶数． 这与p，q是互质的正整数的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 19．阅读正文并解答下列问题： 如图，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若，则在上取点D，连接，使． ∵， ∴； 在上取点E，使，则， 即：， ∴． 这与已知相矛盾， ∴假设不成立； ②若， … 综上，． (1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）； A．直接证明法；    B．反证法． (2)请你补充②中所缺失的部分． 【答案】(1)B (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，反证法： （1）根据证明过程即可得到答案； （2）根据等角对等边可得，这与已知相矛盾，据此可得结论． 【详解】（1）解：由证明过程可知，上述证明过程采用的方法是反证法， 故选：B； （2）证明：若， ∴，这与已知相矛盾， 综上，． 20．对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 【答案】(1)和，进行一次上述操作后，都有一数是4的倍数； (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了反证法和有理数的四则运算： （1）根据定义进行判断即可； （2）奇数经过一次操作后一定会变为偶数，因此只需要证明偶数经过操作后有一数是4的倍数即可；若偶数为4的倍数，则问题得证，若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数），当（k为整数），则，经过操作后可变为，问题得证；当（k为整数），则经过操作后可得，对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数，则可推出要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，据此问题得证． 【详解】（1）解：∵，且52是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； ∵，且112是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； （2）解：∵奇数乘以3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数， ∴经过有限步后奇数一定会变为偶数， 若偶数为4的倍数，则问题得证， 若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数）， 当（k为整数），则， ，， ∴一定是4的倍数，故当m为偶数时，满足题意； 当（k为整数），则， ，，， ，， 对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数， 设（p为整数），则， ，，， 同理要使不是4的倍数，则p一定是奇数， 如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数， ∴假设不存在4的倍数，那么要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的， ∴假设不成立， ∴原结论正确． 1．用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于”时，第一步应假设直角三角形（    ） A．两个较小的内角之和小于 B．两个较小的内角之和大于 C．两个较小的内角之和等于 D．两个较小的内角之和不等于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于”时，第一步应假设直角三角形两个较小的内角之和不等于， 故选： D． 2．在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反证法的步骤，即①假设命题的结论不成立；②从这个结论出发，经过论证，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；③证明命题的结论一定成立． 直接利用反证法的第一步分析得出答案即可． 【详解】解：“已知，求证：”时，结论为且反证法第一步应先假设结论不成立 第一步应先假设， 故选：B． 3．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应先假设这个直角三角形中（  ） A．有一个锐角小于 B．每一个锐角都小于 C．有一个锐角大于 D．每一个锐角都大于 【答案】D 【分析】本题考查反证法．熟练掌握反证法的第一步，假设结论不成立，是解题的关键．用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时， 应先假设每一个锐角都大于． 故选：D． 4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 根据反证法的步骤即可判断． 【详解】解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 所以，正确的步骤是③①②． 故选：D． 5．下列说法中，①；②到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点；③说明“任何数的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是：；④“对顶角相等”的逆命题是真命题；⑤用反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设“这个三角形中最小角大于”．正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，命题及逆命题的真假判断、反证法，实数大小的比较，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据二次根式性质，实数大小的比较方法，角平分线的性质，命题及逆命题的真假判断、反证法逐项判断即可． 【详解】解：①∵，， 又∵， ∴，故①错误； ②到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点，故②错误； ③说明“任何数的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是：，故③正确； ④“对顶角相等”的逆命题是“两个相等的角是对顶角”，此命题是假命题，故④错误； ⑤用反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设“这个三角形中最小角大于”，故⑤正确； 综上分析可知：正确的有2个． 故选：B． 6．用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，应该先假设 ． 【答案】三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角 【分析】本题考查三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角和的性质． 使用反证法应先假设结论的反面成立；然后利用已知条件、假设以及已有定理进行推理，得到新结论与原有条件或者已有定理、定义等矛盾，究其矛盾原因，由于假设造成，故假设不成立，原结论成立． 【详解】使用反证法应先假设结论的反面成立，即“三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角”． 故答案为：三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角. 7．用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设 ． 【答案】 【分析】本题考查反证法定义．根据题意利用反证法定义即可得到本题答案． 【详解】解： 由题意得：应先假设：， 故答案为：． 8．命题“三角形的三个内角中至少有一个内角大于等于”是 （填“真命题”或“假命题”）． 【答案】真命题 【分析】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 【详解】解：假设三个内角都小于， ∴三个内角的和小于，， 这与三角形的三内角和为相矛盾． ∴假设不成立， ∴三角形的三个内角中至少有一个内角大于等于． 故答案为：真命题 9．用反证法证明命题：“如果，是整数，且能被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，应假设 ． 【答案】，都不能被整除 【分析】本题考查了用反证法证明命题，用反证法证明命题就是要假设这个命题的结论不成立，然后根据假设的这个结论进行推理得到命题的条件不成立即可 【详解】解：命题的结论是，中至少有一个能被整除， 用反证法证明这个命题时就要设这个结论不成立，即：，都不能被整除． 故答案为：，都不能被整除 ． 10．阅读下面关于“不是有理数”的证明过程，并填空： “不是有理数”，对于这一事实的证明，最早出现在亚里士多德（）的著作中，但他声明来源于毕达哥拉斯学派．欧几里得（）在《原本》中给出了证明． 证明：假设应是有理数，由于，所以必然有两个正整数a，b， 使，① 而且a，b互质（即没有1以外的公因数）． 等式①两边平方，得 ，即． 所以 ．② 上面式子的右边是偶数，所以左边也是偶数，因而b也是 ， 可设（k是正整数），代入②，得 ， 即． 所以a也是偶数，这说明a，b都是偶数，不是 ， 与假设相矛盾，即 有理数． 【答案】 偶数 互质数 不是 【分析】本题考查了反证法的知识点，熟知反证法的步骤和方法是解题的基础，等式的恒等变形、奇数、偶数和互质数的概念的理解和运用是解题的关键． 根据被除数等于商乘以除数可得；其它几问根据奇数、偶数、互质数的概念和反证法的要求填写即可． 【详解】解：∵， 故答案为：； ∵是偶数， ∴也是偶数，也是偶数． 故答案为：偶数； ∵a、b都是偶数， ∴a、b不是互质数． 故答案为：互质数； ∵假设“是有理数，”，在假设的基础上，经过推理得出的结论“a、b不是互质数”与“a、b是互质数”相矛盾， ∴假设“是有理数”不成立． ∴不是有理数． 故答案为：不是． 11．在中，．求证：．（用反证法证明） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．先假设，由等边对等角求得，推出，与三角形内角和定理等于相矛盾，即可证明假设不成立，推出结论成立． 【详解】解：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与三角形内角和定理等于相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 12．阅读正文并解答下列问题： 如图，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若，则在上取点D，连接，使． ∵， ∴； 在上取点E，使，则， 即：， ∴． 这与已知相矛盾， ∴假设不成立； ②若， … 综上，． (1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）； A．直接证明法；    B．反证法． (2)请你补充②中所缺失的部分． 【答案】(1)B (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，反证法： （1）根据证明过程即可得到答案； （2）根据等角对等边可得，这与已知相矛盾，据此可得结论． 【详解】（1）解：由证明过程可知，上述证明过程采用的方法是反证法， 故选：B； （2）证明：若， ∴，这与已知相矛盾， 综上，． 13．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 14．阅读下列文字，回答问题． 题目：在中，，若，所以． 证明：假设， ，， ， ，这与假设矛盾． ． 问题1：上面的证明方法用的是______． 问题2：上面的证明有错误，请予以纠正． 【答案】问题1：反证法；问题2：见解析 【分析】问题1：由假设可知本题的证明方法； 问题2：按照正确的方法写出过程即可． 【详解】问题1：由假设可知本题的额证明方法为反证法． 故答案为：反证法； 问题2：改正： 假设，则， 又， ，这与矛盾， 不成立， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及反证法，解此题关键要懂得反证法的步骤． 15．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．” 已知：，，是的内角． 求证：，，中至少有一个内角小于或等于． 【答案】见解析 【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 【详解】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于， ， 这与三角形的三内角和为相矛盾． 假设不成立， 三角形三内角中至少有一个内角小于或等于度． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 14 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$