4.5—4.6三角形的中位线 反证法-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

4.5—4.6三角形的中位线 反证法 一、三角形的中位线 1 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2 性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 3 推论： （1）根据中位线的性质，可以证明两条线段平行。 （2）根据中位线的性质，可以证明一条线段是另一条线段的一半或两倍。 4 应用：三角形的中位线在几何证明和计算中有着广泛的应用，如测量无法直接到达的两点间的距离等。 二、反证法 1 定义：在证明一个命题时，先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。 2 步骤： （1）根据命题的条件作出反设。 （2）由反设出发，经过推理得到矛盾。这里的矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知公理、定理、命题矛盾，还可以是自相矛盾。 （3）断定反设不成立，从而肯定原命题成立。 3 应用：反证法是一种间接证明命题的方法，当直接证明困难时，可以考虑使用反证法。 巩固课内例1:三角形中位线的性质 1．如图，直线，点A，B固定在直线上，C是直线上一动点．若E，F分别为的中点，下列各值中，不随点C的移动而改变的是（    ） ①线段的长；②的周长；③的面积；④的度数． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 判断出长为定值，到的距离为定值，再根据三角形的中位线与平行线的性质即可判断①③，根据运动得出不断发生变化、的大小不断发生变化，即可判断②④． 【详解】解：、为定点， 长为定值， 点，分别为，的中点， 是的中位线， 为定值，故①正确； 点，为直线上定点，直线， 到的距离为定值， 是的中位线， ， 到的距离为定值， 又为定值， 的面积为定值，故③正确； 当点移动时，的长发生变化， 则的长发生变化， 的周长发生变化，故②错误； 当点移动时，发生变化，则发生变化，故④错误； 故选：B． 2．如图，在中，，是边上的中线，是的中位线，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， 在中，，是边上的中线， ∴， 故答案为：． 3．如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形判定，平行四边形的判定的综合，掌握全等三角形判定，平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）根据点是的中点，可得，由“边角边”即可求证； （2）由推出，得到，根据中位线定理，结合四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由此即可求解． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 巩固课内例2:中点四边形 1．如图，在四边形中，和是对角线，、、、分别为边、、和的中点，连接、、和，若，，则四边形周长为（    ） A．10 B．14 C．24 D．28 【答案】B 【分析】本题主要考查了中点四边形和三角形中位线定理．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．利用三角形中位线定理推知，，然后由四边形的周长公式作答即可． 【详解】解析：解：、分别为边、的中点， 是的中位线， 同理，，， 四边形周长为： 故选：B． 2．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是的中点，要使四边形是正方形，对角线应满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】此题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定．根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，再根据正方形的判定即可求解． 【详解】解：添加的条件应为：且． 理由：∵E、F、G、H分别是的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，同理可得， 则且， ∴四边形为平行四边形， 又， ， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 故答案为：且． 3．阅读下列材料并完成相应的任务． 阅读思考：四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形ABCD中，设，AB与CD不平行，E，F分别为AD，BC的中点，则有结论：         图1               图2 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接AC，取AC的中点M，连接ME，MF． ∵点E，点M分别是AD和AC的中点， ∴，且． 同理：，且． ∵，∴． 在中，． 即． [自主探究]请将方法二的证明过程补充完整； 方法二：如图3，连接AF并延长至点G，使，连接CG，DG．            图3                      图4 [尝试应用] 如图4，在五边形ABCDE中， ， ， ，．若点F，G分别是边BC，DE的中点，则线段FG长的取值范围是________． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． [自主探究]证明，推出，在中，利用三角形中位线定理即可得解； [尝试应用]连接，作，利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求得，再利用四边形的中位线性质即可求解． 【详解】自主探究（方法2） 解：∵点F是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴ ，且， ∵， ∴， 在中，， ∴，即； [尝试应用]连接，作，垂足为， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵分别是边的中点， 由（1）得，即， ∴． 故答案为：． 巩固课内例3:举出反例 1．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（　　） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了反证法；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断． 【详解】解：A. ，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； B.，，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意； C.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； D.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； 故选：B． 2．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据实数的乘方法则，实数的大小比较法则解答即可． 解：当时，，而， 所以命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 3．判断下列命题是真命题还是假命题，请举出一个反例说明． （1）若 ab  ＝0，则 a ＋b ＝0； （2）如果 a是无理数，b是无理数，则 a＋b是无理数． 【答案】（1）假命题；（2）假命题． 【详解】试题分析：（1）非零数与0相乘得0，和不为0； （2）答案不唯一，如： a＝ ，b＝ 试题解析：解：（1）是假命题，若 a＝0，b＝4，ab＝0，但 a＋b≠0； （2）是假命题，若 a＝ ，b＝ ，它们都是无理数，但 a＋b＝2 是有理数． 巩固课内例4:格点多边形的计算 1．如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断格点多边形的面积，依次将计算出来，再找到等量关系． 【详解】观察图形可得 ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了新概念的理解，通过表格获取需要的信息，找到关于面积的等量关系． 2．各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 ． 【答案】6 【分析】根据题目要求，数出五边形内部格点的数量，五边形边上格点的数量，代入计算即可． 【详解】由图可知：五边形内部格点有4个，故 五边形边上格点有6个，故 ∴＝ 故答案为：6． 【点睛】本题考查了网格中不规则多边形的计算，按题目要求尽心计算即可． 3．【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 【答案】(1)3；1；6； (2)①；②18 【分析】本题主要考查了新定义问题、平面直角坐标系中利用网格求图形面积、解二元一次方程组．求平面直角坐标系中图形面积时，常用的方法是割补法，即在图形外补出一个规则图形或者将所求图形分割成若干规则小图形． （1）利用网格即可求出四边形的面积S，根据图形数出内部的格点数N，边界上的格点数L即可． （2）①分别把，，和，，代入，建立健全二元一次方程组，即可求出，的值． ②先把a、b值代入，得，再把，代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可得：， ， ； 故答案为：3；1；6． （2）解：①分别把，，和，，代入，得 ，解得：， ②由①知：， 当，时，则， 解得：． 类型一、反证法中的假设 1．用反证法证明“如果，那么”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查反证法，反证法首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．根据反证法的步骤解答． 【详解】解：用反证法证明“如果，那么”时，应假设， 故选：D． 2．用反证法证明“菱形的对角线互相垂直”是真命题时，第一步应先假设 ． 【答案】菱形的对角线不互相垂直 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【详解】解：反证法证明“菱形的对角线互相垂直”是真命题时，第一步应先假设菱形的对角线不互相垂直， 故答案为：菱形的对角线不互相垂直． 3．证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于． 【答案】证明见解析 【分析】当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 【详解】证明：要证明在三角形中，至少有一个内角大于或等于， 那么假设在一个三角形中没有一个角大于或等于60°，即都小于； 那么，这个三角形的三个内角之和就会小于； 这与定理“三角形的三个内角之和等于”相矛盾，原命题正确． 【点睛】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 类型二、三角形中位线中的实际距离 1．如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点为D，E， 测得， 则A，B之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【详解】解：∵D，E是的中点，即是的中位线， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 2．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴A、B分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：13． 3．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 类型一、三角形中位线的性质求长度 1．如图，在中，，平分，点E是边上的中点，连接，若，则的长为（　　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一以及中位线的判定与性质，先根据，平分，得出，结合点E是边上的中点，得出为的中位线，即可作答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是的中线， 即点D是的中点， 点E是边上的中点， 为的中位线， 故选：C 2．如图，在平行四边形中，为上一点，，平分，，分别是，的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、角平分线的性质．首先根据三角形中位线的性质可知，根据平行四边形的性质可知，根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证，根据等角对等边可得，从而可得． 【详解】解：，分别是，的中点，， ， 平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 3．我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论． 【实践探究】 （1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2） 【分析】（1）四边形是平行四边形得到，由翻折可证明是的中位线，则，即可证明； （2）过点E作于点H，则，，，由得到，则由勾股定理得，可得为等腰直角三角形，则，继而． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点为中点， ∴， 由翻折得：， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）过点E作于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由翻折得：， ∵， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，角直角三角形的性质，折叠的性质等知识点，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 类型二、三角形中位线的性质求角度 1．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”．根据题意可得是的中位线，是的中位线，推出，，结合，可得，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：点是对角线的中点，点、分别是、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， ， ， 故选：D． 2．如图，在中，，点分别是的中点，若点在线段上，且，则的度数为 【答案】/64度 【分析】根据三角形中位线定理，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 3．在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点． (1)求证：； (2)若，为的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键； （1）首先推导出，进而利用证得，进而得证； 首先推导出，进而推导出，，由折 叠的性质得出，进而得到． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中 ， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵是沿折叠得到， ∴， ∴； 类型三、用反证法证明命题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．经过证明为正确的真命题叫做公理 B．假命题不是命题 C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可 D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据公理的定义、假命题的定义、真假命题的证明方法进行逐一判断即可． 【详解】解；A、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理，故此选项错误； B、假命题是不正确的命题，故此选项错误； C、要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可，故此项正确； D、要证明一个命题是真命题，需要进行推论论证说明它正确，故此项错误； 故选：C． 2．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 . 【答案】③④①② 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于， 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾， 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 则四个步骤正确的顺序是③④①②， 故答案为：③④①②． 3．如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查反证法的证明方法，反证法的步骤：首先假设反论题正确，然后依据规则进行推理，若出现与已知条件不符或与公理定理相矛盾的情形，即可证明反论题不成立，原命题正确． 第一步先假设和互相平分，根据平行四边形的判定和性质得到，即，与已知矛盾，从而证明原命题正确． 【详解】证明：连接．假设和互相平分． 和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在中，点D、E分别在、上， 与不可能平行，与已知矛盾， 故假设不成立，和不可能互相平分．   类型一、三角形中位线的性质求周长 1．若三角形的三条中位线长分别为，，，则原三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解答的关键．根据三角形的中位线定理求出三角形的三条边长，即可求解． 【详解】解：三角形的三条中位线长分别为，，， 三角形的三条边长分别为，，， 原三角形的周长为， 故选：C． 2．如图，在中，，是的中点，则与的周长之差为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段中点定义、三角形周长等知识，根据是的中点，得到，再由三角形周长表示出与的周长，作差即可得到答案，数形结合，准确表示出三角形周长是解决问题的关键． 【详解】解：是的中点， ， 在中，， ，， ， 故答案为：． 3．如图，在中，是边上的高，E，F分别是边的中点，，，．求的周长． 【答案】的周长为12． 【分析】本题考查的直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理.由是边上的高，、分别是、的中点，可得，，，从而可得答案． 【详解】解：是边上的高，、分别是、的中点，，， ，， 、分别是、的中点，， ， ∴的周长为． 类型二、三角形中位线的性质求面积 1．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在中，分别取的中点，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形，若，则的面积是（    ） A．60 B．48 C．36 D．24 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质、矩形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：点，分别为，的中点， 是的中位线，， ， 在和中， ， ， ∴， 长方形的面积为：， 的面积是48， 故选：B． 2．如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 3．如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得，然后利用完全平方公式变形求值可得的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的中线，点是的中点， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． （2）解：由（1）已证：和互相平分， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 类型三、中位线的规律问题 1．依次连接周长为的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，，按这样的规律，第个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理及应用，规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长为，即可得到规律，从而可得第个等边三角形的周长． 【详解】解：如图所示： 、、分别为、、的中点， 、、都为的中位线， ，，， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长为， ， 第个等边三角形的周长为， 故选：B． 2．如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形中位线定理、图形的变化规律，根据三角形中位线定理、线段中点的定义求出四边形的各边长，从而得出边长，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵点，，分别为边的中点， ∴、都是的中位线， ∴，，，， ∴四边形的周长：， 同理可得：四边形的周长， 四边形的周长， 四边形的周长， …， ∴， 故答案为：． 3．解答题 (1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）] (2)如图2，在中，对角线交点为分别是的中点，分别是的中点，…，以此类推．若的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l； (3)借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？    【答案】(1)见解析 (2) (3)（无限接近于2） 【分析】（1）先作出图形，延长至F，使，然后根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，然后证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行且相等可得且，然后整理即可证明结论； （2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出四边形的周长等于周长的一半，然后依次表示出各四边形的周长，再相加即可解答； （3）根据规律，l的算式等于大正方形的面积减去最后剩下的一小部分的面积，然后写出结果即可解答． 【详解】（1）解：已知：在中，D、E分别是边的中点， 求证：且， 证明：如图，延长至F，使， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等），（全等三角形对应角相等）， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴且， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴且（平行四边形的对边平行且相等）， ∵， ∴且．    （2）解：∵分别是的中点， ∴， ∴四边形的周长1， 同理可得，四边形的周长， 四边形A3B3C3D3的周长， …， ∴四边形的周长之和． （3）解：由图可知，（无限接近于1）， 所以（无限接近于2）． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理的证明、平行四边形的判定与性质、数字规律等知识点，正确作辅助线构造出全等三角形的和平行四边形是解题的关键． 类型四、中位线的折叠问题 1．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在的直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；如图所示点在以为圆心为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，根据折叠的性质可知，即可求出． 【详解】解：如图所示点在以为圆心为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小， 根据折叠的性质，， ， ， 是边的中点，， ， ∵E是直角边的中点，D是斜边的中点，， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，中，，，，点、分别为、的中点，点为边上一动点，将沿着折叠，点的对应点为点，且点始终在直线的下方，连接，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理，三角形中位线，折叠，全等三角形的知识，解题的关键是根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理，求出，根据三角形的中位线的性质，求出，；分类讨论：当，为直角三角形，过点作交于点，根据等腰三角形三线合一，求出，根据勾股定理求出；当，为直角三角形，根据确定三角形的判定和性质，得，根据勾股定理，求出，即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴，， ∴， ∵沿着折叠，点的对应点为点， ∴，， 当时，为直角三角形，如图； ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作交于点， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，为直角三角形，如图， ∵，是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴不可能为直角． 综上所述，的长为或． 3．如图，在中，点分别是上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上．    (1)如图1，若点是的中点，求证：； (2)如图2，若，且点是的中点． ①判断线段、与之间存在的数量关系，并证明； ②若，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)① ，理由见解析；② 【分析】本题主要考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形的中位线的判定和性质，折叠的性质及勾股定理，解题的关键是结合图形，熟练运用相关的判定和性质求解； （1）由折叠及点是的中点得到，得到，利用三角形外角性质即可得到，继而得证； （2）①过点作交延长线于点，连接．证得到，由垂直平分线的性质得到，由勾股定理，得，继而得证； ②取的中点M，连接，则则由中位线定理得到，长，设，由勾股定理得长，设则，，求得，在利用三角形的面积公式即可得解 【详解】（1）∵点是的中点， ． 由折叠，得． ， ． 是的一个外角， ． ， ， ．    （2）①，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接． ． 点是的中点， ， ． ． 由折叠，得， ， ． 在Rt中，由勾股定理，得， ．    ②取的中点M，连接，则是的中位线， 则 ，    设，则 在由勾股定理得： 即 解得： 则， 设则 解得： 故的面积为． 类型五、中位线的旋转问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，，点B在x轴上，．点M是平面内的一点，．将线段绕点A按顺时针方向旋转一周，连接，取的中点N，连接，则线段长的最大值为（    ） A．2 B．12 C． D．8 【答案】D 【分析】此题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质、勾股定理等知识，取的中点C，连接，由勾股定理求出，由斜边中线的性质得到，由三角形中位线定理得，由得到，即可得到答案． 【详解】解：取的中点C，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵的中点N，的中点C， ∴， ∵， ∴， 即， ∴线段长的最大值为8， 故选：D 2．如图，线段，点为线段延长线上一点，将线段绕点旋转得到线段，连接为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，等腰三角形的性质，的直角三角形的性质．取的中点F，连接，，可以得到是的中位线，即，然后根据等边对等角和平行线的性质得到，进而得到点E在过点F且的射线上运动，即当时，长最小，根据的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：取的中点F，连接，， 则， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点E在过点F且的射线上运动，即当时，长最小， 即， 故答案为：． 3．在和中，，，． (1)如图①，当点D在内部时，求证：． (2)将绕点A旋转，当点D落在线段上时，若． ①如图②，连接，若，求线段的长； ②如图③，M，N分别为，的中点，连接，判断线段与的关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②， 【分析】（1）证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论； （2）①同理证明得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，，进而得到，结合已知可得，然后再利用等腰直角三角形的性质证得，在中，利用勾股定理求得即可求解； ②连接，取中点F，连接、，根据三角形的中位线的性质得到，，证明四边形为平行四边形得到，，再根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形，得到，，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①同（1），证明， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 解得，则； ②连接，取中点F，连接、， ∵M，N分别为，的中点， ∴为的中位线，， ∴，，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由①知，，， ∵点F是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 1．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不大于”时，首先应假设这个三角形中（　　） A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角大于 D．有一个内角小于 【答案】B 【分析】本考查反证法中的假设，根据反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不大于”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于； 故选B． 2．如图，要测量两点间距离，在点设桩，取的中点的中点，测得，则的距离为（   ） A．12m B．8m C．6m D．4m 【答案】B 【分析】主要考查了三角形中位线定理中的数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 先确定是的中位线，则． 【详解】解：∵取的中点的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，平分，，垂足为点D，M是边的中点，，，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形性质及判定，中位线性质及判定等．根据题意延长交于点，继而得到为等腰直角三角形，利用中位线判定定理得，继而得到本题答案． 【详解】解：延长交于点， ， ∵，平分，， ∴， ∴，， ∵M是边的中点， ∴为中位线， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设 ． 【答案】两条直线相交，有两个或两个以上交点 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 本题结合直线的位置关系考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【详解】解：用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设两条直线相交，有两个或两个以上交点， 故答案为：两条直线相交，有两个或两个以上交点． 5．如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，，则的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及三角形中位线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及三角形中位线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，根据中位线的性质可得，进而求解即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴， ∴的周长． 故答案为：18． 6．如图，在中，，为边上的中线，为的角平分线，过点B作于点F，连接，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．如图，延长交于，先证得得出，再由中位线定理即可得解． 【详解】解：如图，延长交于， 是角平分线，， ， ， ， ，， ， 又是中线， 是的中位线， ， 故答案为：． 7．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°” 证明：假设所求证的结论不成立，即 ∠A　　60°，∠B　　60°，∠C　　60°， 则∠A+∠B+∠C＞　　． 这与　　相矛盾． ∴　　不成立． ∴　　． 【答案】，，，，内角和为，假设，求证的命题正确． 【分析】 根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 【详解】 证明：假设所求证的结论不成立，即 ，，， 则． 这与内角和为相矛盾． ∴假设不成立． ∴求证的命题正确． 故答案为： 【点睛】 本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理， （1）由平行四边形的性质可得，然后证明出是的中位线，即可得到； （2）根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）证明：因为四边形是平行四边形， 所以 又因为E是的中点， 所以是的中位线， 所以； （2）解：由（1）是的中位线， 所以． 9．（1）如图1，，分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别为，，连接，延长，，与直线分别交于点，，那么线段与三边之间数量关系是__________（直接写出结果）． （2）如图2，若，分别是的内角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________． （3）如图3，若为的内角平分线，为的外角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是作辅助线构造全等三角形求解． （1）根据证明，推出，，同理，，然后根据中位线的性质即可得出答案； （2）延长，，与直线分别交于点，，与（1）类似可以证出答案； （3）延长，，与直线分别交于点，，与（1）方法类同即可证出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． （2）解：． 证明：如图2，延长，，与直线分别交于点，．    ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． （3）解： 如图3，延长，，与直线分别交于点，．    ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． 10．【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）连接，交于点O，易得为的中位线，根据平行四边形的性质，结合勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）延长交的延长线于点G，证明，得到，取的中点F，连接，证明，得到，进而得到，即可得证； （3）连接，取中点H，连接，根据三角形的中位线定理，推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，得到，进而得到，等边对等角求出，进而推出，即可得证． 【详解】解：（1）连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，延长交的延长线于点G， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 取的中点F，连接，则有，且， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，连接，取中点H，连接， ∵E，F分别为和中点， ∴和分别为和的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形的中位线，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5—4.6三角形的中位线 反证法 一、三角形的中位线 1 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2 性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 3 推论： （1）根据中位线的性质，可以证明两条线段平行。 （2）根据中位线的性质，可以证明一条线段是另一条线段的一半或两倍。 4 应用：三角形的中位线在几何证明和计算中有着广泛的应用，如测量无法直接到达的两点间的距离等。 二、反证法 1 定义：在证明一个命题时，先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。 2 步骤： （1）根据命题的条件作出反设。 （2）由反设出发，经过推理得到矛盾。这里的矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知公理、定理、命题矛盾，还可以是自相矛盾。 （3）断定反设不成立，从而肯定原命题成立。 3 应用：反证法是一种间接证明命题的方法，当直接证明困难时，可以考虑使用反证法。 巩固课内例1:三角形中位线的性质 1．如图，直线，点A，B固定在直线上，C是直线上一动点．若E，F分别为的中点，下列各值中，不随点C的移动而改变的是（    ） ①线段的长；②的周长；③的面积；④的度数． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2．如图，在中，，是边上的中线，是的中位线，若，则的长为 ． 3．如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 巩固课内例2:中点四边形 1．如图，在四边形中，和是对角线，、、、分别为边、、和的中点，连接、、和，若，，则四边形周长为（    ） A．10 B．14 C．24 D．28 2．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是的中点，要使四边形是正方形，对角线应满足的条件是 ． 3．阅读下列材料并完成相应的任务． 阅读思考：四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形ABCD中，设，AB与CD不平行，E，F分别为AD，BC的中点，则有结论：         图1               图2 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接AC，取AC的中点M，连接ME，MF． ∵点E，点M分别是AD和AC的中点， ∴，且． 同理：，且． ∵，∴． 在中，． 即． [自主探究]请将方法二的证明过程补充完整； 方法二：如图3，连接AF并延长至点G，使，连接CG，DG．            图3                      图4 [尝试应用] 如图4，在五边形ABCDE中， ， ， ，．若点F，G分别是边BC，DE的中点，则线段FG长的取值范围是________． 巩固课内例3:举出反例 1．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（　　） A． B．， C．， D．， 2．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的可以是 ． 3．判断下列命题是真命题还是假命题，请举出一个反例说明． （1）若 ab  ＝0，则 a ＋b ＝0； （2）如果 a是无理数，b是无理数，则 a＋b是无理数． 巩固课内例4:格点多边形的计算 1．如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（  ）    A． B． C． D． 2．各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 ． 3．【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 类型一、反证法中的假设 1．用反证法证明“如果，那么”时，应假设（   ） A． B． C． D． 2．用反证法证明“菱形的对角线互相垂直”是真命题时，第一步应先假设 ． 3．证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于． 类型二、三角形中位线中的实际距离 1．如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点为D，E， 测得， 则A，B之间的距离为（      ） A． B． C． D． 2．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是 ． 3．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 类型一、三角形中位线的性质求长度 1．如图，在中，，平分，点E是边上的中点，连接，若，则的长为（　　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，在平行四边形中，为上一点，，平分，，分别是，的中点，若，则的长为 ． 3．我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论． 【实践探究】 （1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长． 类型二、三角形中位线的性质求角度 1．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点分别是的中点，若点在线段上，且，则的度数为 3．在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点． (1)求证：； (2)若，为的中点，求的度数． 类型三、用反证法证明命题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．经过证明为正确的真命题叫做公理 B．假命题不是命题 C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可 D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可 2．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 . 3．如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 类型一、三角形中位线的性质求周长 1．若三角形的三条中位线长分别为，，，则原三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的中点，则与的周长之差为 ． 3．如图，在中，是边上的高，E，F分别是边的中点，，，．求的周长． 类型二、三角形中位线的性质求面积 1．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在中，分别取的中点，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形，若，则的面积是（    ） A．60 B．48 C．36 D．24 2．如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 3．如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 类型三、中位线的规律问题 1．依次连接周长为的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，，按这样的规律，第个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于 ．    3．解答题 (1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）] (2)如图2，在中，对角线交点为分别是的中点，分别是的中点，…，以此类推．若的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l； (3)借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？    类型四、中位线的折叠问题 1．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在的直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 2．如图，中，，，，点、分别为、的中点，点为边上一动点，将沿着折叠，点的对应点为点，且点始终在直线的下方，连接，当为直角三角形时，线段的长为 ． 3．如图，在中，点分别是上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上．    (1)如图1，若点是的中点，求证：； (2)如图2，若，且点是的中点． ①判断线段、与之间存在的数量关系，并证明； ②若，直接写出的面积． 类型五、中位线的旋转问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，，点B在x轴上，．点M是平面内的一点，．将线段绕点A按顺时针方向旋转一周，连接，取的中点N，连接，则线段长的最大值为（    ） A．2 B．12 C． D．8 2．如图，线段，点为线段延长线上一点，将线段绕点旋转得到线段，连接为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 3．在和中，，，． (1)如图①，当点D在内部时，求证：． (2)将绕点A旋转，当点D落在线段上时，若． ①如图②，连接，若，求线段的长； ②如图③，M，N分别为，的中点，连接，判断线段与的关系并说明理由． 1．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不大于”时，首先应假设这个三角形中（　　） A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角大于 D．有一个内角小于 2．如图，要测量两点间距离，在点设桩，取的中点的中点，测得，则的距离为（   ） A．12m B．8m C．6m D．4m 3．如图，在中，，平分，，垂足为点D，M是边的中点，，，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 4．用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设 ． 5．如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，，则的周长为 ． 6．如图，在中，，为边上的中线，为的角平分线，过点B作于点F，连接，则线段的长为 ． 7．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°” 证明：假设所求证的结论不成立，即 ∠A　　60°，∠B　　60°，∠C　　60°， 则∠A+∠B+∠C＞　　． 这与　　相矛盾． ∴　　不成立． ∴　　． 8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．（1）如图1，，分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别为，，连接，延长，，与直线分别交于点，，那么线段与三边之间数量关系是__________（直接写出结果）． （2）如图2，若，分别是的内角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________． （3）如图3，若为的内角平分线，为的外角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________． 10．【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$