精品解析：内蒙古杭锦后旗奋斗中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

奋斗中学2024—2025学年第二学期高二年级第一次月考 数学试题 一､单选题（共8小题每题5分） 1. 已知下列四个命题，其中正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的求导公式及函数运算的求导法则逐项分析即可求解. 【详解】对于A，，故错误； 对于B，，正确； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 故选：B 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合解析式直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 3. 如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，则和的值分别为 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 根据切点在切线上，将代入切线方程可得，再根据导数的几何意义可得. 【详解】根据图象知，函数的图象与在点处的切线交于点， ，为函数的图象在点处的切线的斜率， . 故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题. 4. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性，将问题转化为在区间上恒成立求参数范围的问题；再分离参数，则问题得解. 【详解】因为在区间上单调递增， 故在区间上恒成立. 即在区间恒成立. 故. 故选：. 【点睛】本题考查利用导数由函数的单调性求参数的范围，属基础题. 5. 若直线：是曲线的切线，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设切点，结合导数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 设切点，则， 故切线方程为，即， 又因切线为，所以，即，因此. 故选：A. 6. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数与极值的关系求出有两个不同零点的a的取值范围作答. 【详解】函数定义域为R，求导得， 依题意，函数在R上有两个不同的零点， 令，求导得，显然函数在R上单调递增， 当时，恒成立，函数在R上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意， 当时，由得，当时，，当时，， 函数，即在上单调递减，在上单调递增，， 当时，，而的取值集合为， 因此在上取值集合为， 当时，令，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，，因此， 令，，令，当时，恒有， 即函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 当时，，因此当时，， 取，当时，，， 而函数在上的取值集合为，因此在上取值集合为， 于是得函数在R上有两个不同的零点，当且仅当，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】故为奇函数，， 故函数单调递增，故故解集为. 故选：B. 二､多选题（共3小题每题6分） 8. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是的一个极大值 B. 是的极大值点 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数的图象位置判断原函数的单调性，以及导数的几何意义即可判断. 【详解】由题意可知，当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则当时，取得极大值，当时，取得极小值， 所以是的极大值点，3是的极小值点，故B错误，A，C正确； 因为，所以曲线在处切线的斜率小于零，故D正确. 故选：ACD. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可判断ABD，再根据导数的几何意义求切线方程，判断C. 【详解】，， A.当时，，所以在单调递增，故A正确； B.，得，当，，单调递减， 当，，单调递增，所以当时，取得最小值， 且当时，，当时，，所以函数只有1个零点1，故B错误； C.，，所以曲线在点处的切线方程为，即，故C正确； D.由B选项的判断可知，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数有两个极值点，则（ ） A. 或 B. C. 存在实数，使得 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】A，B选项，两个极值点问题，转化为导函数两个异号零点问题；通过复合函数换元，将导函数转化为对勾函数或二次函数，利用对勾函数和二次函数的图象与性质快速的求解； C选项，解法1：先利用整体代入法，消，再利用单调性证明；解法2：利用为极小值点，通过证明； D选项，利用消元，转化为，利用单调性证明； 【详解】易知， 令，则. 令，则.设， 由对勾函数的图象可知： 当时，与的图象有两个交点， 因为，故不成立，故A错误； 设，则①， 设为①式的两根，则，即②， ③. 由③式可知，所以，则， 故B正确； 解法1：由②式可知， 令， 则， 则在上单调递减，所以， 故，所以不存在实数使得，故C错误； 解法2：，，， 可得为区间的极小值点，则必有，故C错误； 由③式可知，所以， 要证 ， 仅需证明成立. 令，则. 则在上单调递增，所以， 故，故D正确. 故选：BD. 三､填空题（共3小题每题5分） 11. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据无极值的条件，利用判别式解得的取值范围. 【详解】由得， 因为函数在上无极值， 所以在上无变号零点， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 12. 设曲线在处的切线与直线垂直，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，以及两直线垂直的关系，求实数的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以，即. 故答案为： 13. 已知函数是奇函数，当时，，则函数在处的切线方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出切线的斜率，再求出切线的方程. 【详解】当时，，所以， 因为函数是奇函数，所以对称点处的导数相同， 所以， 所以切线的斜率为0， 又因为， 所以切线方程为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：曲线在点处的切线方程为，这个结论要理解记住并熟练利用. 四､解答题 14. 已知在处取得极大值16. （1）求的解析式； （2）求经过坐标原点且与曲线相切的切线方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由函数的极值点处导数为零和极值列方程组解出即可； （2）设切点坐标为，由导数的几何意义和点斜式得到切线方程，再由切线过原点求出即可； 【小问1详解】 解得 ， 经检验，函数在处取得极值. 【小问2详解】 设切点坐标为，， 则切线方程为. 切线的过原点，， 解得，所以斜率为12， 切线方程为. 15. 某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克． （1）求的解析式； （2）若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大． 【答案】（1）， （2）元千克 【解析】 【分析】（1）依题意可得当时，，当时，，即可得到关于、的方程组，解得即可； （2）设每日销售该商品获利元，即可得到的解析式，再利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而得解. 【小问1详解】 由题意可知，当时，， 当时，， 即，解得， 所以，， 【小问2详解】 设每日销售该商品获利元，则 ， 则， 令，得或舍去， 所以时，，为增函数， 时，，为减函数， 所以时，取得最大值， ， 所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大． 16. 设函数 （1）讨论的单调性； （2）求在区间的最大值和最小值． 【答案】（1）函数在上单调递增；在上单调递减； （2）在区间上的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式求出函数的单调递增区间，解不等式求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又. 令，解得或；令，解得. 所以函数在上单调递增；在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增. 所以当时，函数取得最小值， 又，， 而， 所以当时，函数取得最大值为：. 即在区间上的最大值为，最小值为. 17. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程. （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，对分类讨论，根据导函数的正负即可求解单调性. 【小问1详解】 由题设，则， 所以，，故切线方程为， 整理得. 【小问2详解】 由题设，且， 当时，当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，即在上单调递减；. 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证：当时，函数只有两个零点； （3）若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数为“函数”.当时，若函数是“函数”，求. 【答案】（1）当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为. （2）证明：令，得到， 当时，，方程无解，即无零点， 所以有零点，则零点只能在区间上， 当时，由，得到， 设，，则零点可以转化为的零点， 因为，设， 因为，则在上单调递增， 又，时，，则，使得， 当时，，当，， 即在上递减，在上递增， 又，所以，又由于时，， 故在内存在唯一零点， 又时，，故在内存在唯一零点， 所以当时，只有两个零点，故当时，函数只有两个零点. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性间的关系，分类讨论求的单调区间即可； （2）根据条件，将的零点问题化成的零点问题，再结合条件，利用函数的单调性即可证明结果； （3）利用“函数”的定义，结合导数的几何意义得，然后结合是方程的根，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，即可求解. 【小问1详解】 易知函数定义域为，因为，则， 当时，，所以在区间上单调递减， 当时，由，得到，即，得到， 又易知为增函数， 所以当时，，即在区间单调递增， 当时，，即在区间单调递减， 综上得：当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，函数是“函数”，且， 设函数与直线切点， 又，则，故， 由，得到，又， 所以， 因为，所以是方程的根， 设，，易知，且是增函数， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以是方程的根，且唯一， 所以. 【点睛】关键点点晴：本题的关键是第三问的处理，先需要读懂新定义，然后根据新定义找到所满足的关系式，利用导数的工具，零点存在定理，进一步确定的取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奋斗中学2024—2025学年第二学期高二年级第一次月考 数学试题 一､单选题（共8小题每题5分） 1. 已知下列四个命题，其中正确的是（ ）. A. B. C. D. 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，则和的值分别为 A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线：是曲线的切线，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共3小题每题6分） 8. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是的一个极大值 B. 是的极大值点 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 的最小值为 10. 已知函数有两个极值点，则（ ） A. 或 B. C. 存在实数，使得 D. 三､填空题（共3小题每题5分） 11. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为__________. 12. 设曲线在处的切线与直线垂直，则____________. 13. 已知函数是奇函数，当时，，则函数在处的切线方程为_____． 四､解答题 14. 已知在处取得极大值16. （1）求的解析式； （2）求经过坐标原点且与曲线相切的切线方程. 15. 某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克． （1）求的解析式； （2）若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大． 16. 设函数 （1）讨论的单调性； （2）求在区间的最大值和最小值． 17. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程. （2）讨论的单调性. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证：当时，函数只有两个零点； （3）若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数为“函数”.当时，若函数是“函数”，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $