精品解析：北京市一零一集团2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷

北京一零一中2024-2025学年度第二学期初三练习数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 3. 我国神舟十九号在2024年10月30号成功发射，新华网进行全程直播，超过5120000多人次在线观看，5120000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ） A. 75° B. 105° C. 135° D. 155° 5. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 半径为，圆心角为的扇形的面积等于（ ） A. B. C. D. 7. 若，都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为．给出以下结论： ①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形； ②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形； ③Ⅲ中最小内角是，最大的内角是； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是_______________． 10. 请你写出一个函数，使它的图象经过点A（1，2），这个函数的表达式可以是_________. 11. 把多项式a3－2a2+a分解因式的结果是_____． 12. 分式方程的解为____________． 13. 某餐厅供应单价为10元、18元、25元三种价格的抓饭，如图是该餐厅某月销售抓饭情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该餐厅销售抓饭的平均单价为________元． 14. 如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，点B是的中点．如果∠ABC=60°，那么∠ADB=_____． 15. 如图，在 中， ，，以 为圆心， 长为半径画弧，分别交 ， 于 ， 两点，并连接 ， ，则的度数为_____． 16. “绿波控制系统”就是通过信号控制技术，让车辆在指定的速度下，避免或减少通过多个路口的红灯等待，从而实现道路通行效率最大化的交通信号控制系统．以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数对比： 指标 优化前 优化后 备注 行程总时间 分钟 12分钟 行程总时间红灯等待时间行驶时间， 如：若汽车经过一路段的行程总时间为20分钟，红灯等待时间共计2分钟，则行驶时间为18分钟． 红灯等待次数 7次 1次 单次红灯平均等待时长 为优化前的 行驶速度 500米/分钟 800米/分钟 行驶速度总路程行驶时间 设“绿波控制系统”优化前的单次红灯平均等待时长为t分钟，则t的值为__________． 三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~24题每小题6分，第25题5分，第26~28题每小题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在 中，点 为线段 的中点，延长交 的延长线于点 ，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接 ．若，求 的长． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与函数的图象在处相交． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数 的值，直接写出m的取值范围． 23. 国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们选择时参考的重要指标．某汽车杂志根据当前汽车行业常用的两种续航里程测试标准（标准M和标准N），对市面上常见的9种车型进行了续航里程实测，并与这些厂家公布的工信部续航里程进行了对比，下面是部分信息： a．标准M下的实测续航里程数据为： 324.8，355.8，378.2，385，404.2，407.9，441.2，445，463.2（单位：km） b．标准N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图（图1）： 图1：标准N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图 c．标准N下实测续航里程频数分布直方图，为方便记录，将续航里程设为x（单位：km），数据分为A~F六组（图2）． d．不同标准下实测续航里程统计表（单位：km） 标准M下实测续航里程 标准N下实测续航里程 平均数 400.6 333.5 中位数 a b 方差 根据信息回答以下问题： （1）补全图2； （2）不同标准下实测续航里程统计表中a＝______，在A~F六组数据中，b所在的组是______（只填写A~F中的相应代号即可）；比较与的大小关系为：______（填“＞”，“＝”或“＜”）； （3）在选购纯电动汽车时，实测续航里程与工信部续航里程的比值（简称“续航里程达成比”）越高越好，但续航里程达成比受到实测时各种实际条件的限制只能达到一定比例，小宇打算为家里选购纯电动汽车，如果在标准N下，他希望购买续航里程达成比不低于，并且实测续航里程不低于的车型，那么共有______种车型可供其选择． 24. 如图， 中， ，以 为直径的⊙ 交 于点D，E为 边的中点，连接 ． （1）求证： 与 相切； （2）若，，求 的长． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1： 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈 ． 图2是其侧面示意图．已知支架 长为3米，且垂直于地面 ，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径是 的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着 移动，以保证太阳光线与 始终垂直． 素材2： 某地区某天下午不同时间的太阳高度角a（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3： 小东坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小东坐的位置记为点Q． 任务1： 14点时影子的长度为______米，此时伞面与支架 所夹的锐角为______°，自动手柄D与地面的距离为______米． 任务2： 若使小东在这天整露营休息时不被太阳光照射到，设他所坐的位置Q到支架 的距离为m米，则m的取值范围是______． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，点在图象上，并且． （1）判断抛物线的开口方向是______（填“向上”或“向下”），并说明理由； （2）若点也在抛物线上，且满足，求t的取值范围． 27. 在 中， ，，将线段 绕点B逆时针旋转得到线段 ，连接 交 边于点E，连接 并作的平分线交 于点F，交 于点G． （1）在图1中补全图形； （2）用等式表示线段与 的数量关系并证明： （3）若，当点E是 边中点时，直接写出 的长． 28. 在平面直角坐标系中， 的半径为 ，给定直线 与点，对于不在直线 上的点 给出如下定义：作点 关于直线 的对称点，若点位于 上或 内，且点 到定点的距离 为所有符合条件的 中的最大值或最小值，则称点 为点关于直线 与 的“反射极值点”，对应最大值的点称为“反射极大值点”，对应最小值的点称为“反射极小值点”． （1）已知直线． 点，在点中，点 关于直线与 的“反射极值点”是______； 若点 为直线上的动点，且点 到其关于直线与 的“反射极大值点”与“反射极小值点”的距离之比为 ，直接写出点 的坐标； （2）已知点，直线 恒过定点，记点关于直线 与⊙ 的“反射极大值点”为，“反射极小值点”为，当直线 绕点旋转时，直接写出与的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中2024-2025学年度第二学期初三练习数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：由中心对称图形的定义可知：选项不是中心对称图形，选项是中心对称图形． 故选项为： 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a，b在数轴上的位置可直接判断A；根据在数轴上的位置结合加法和乘法法则可判断B和C；根据绝对值的意义可判断D． 【详解】解：A．∵由数轴可知，故不正确； B．∵，∴，故不正确； C．∵，∴，故不正确； D．由数轴可知，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，以及有理数的加法和乘法法则，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 3. 我国神舟十九号在2024年10月30号成功发射，新华网进行全程直播，超过5120000多人次在线观看，5120000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解： 故选：B． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ） A. 75° B. 105° C. 135° D. 155° 【答案】B 【解析】 【详解】∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∴∠3=180°−60°−45°=75°， ∵a∥b， ∴∠2=180°−∠3=105°， 故选B. 5. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种， 小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为， 故选：C． 6. 半径为，圆心角为的扇形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式 即可求出面积． 【详解】扇形的面积为： 故选：B 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是本题的关键． 7. 若，都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由函数解析式得反比例函数图象分布在一、三象限，在每个象限内， 随的增大而减小，据此即可判断求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，在每个象限内， 随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 8. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为．给出以下结论： ①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形； ②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形； ③Ⅲ中最小内角是，最大的内角是； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；证明和都是等边三角形，则，即可证明Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形，故②正确；由，，，即可得到∴Ⅲ中最小内角是，最大的内角是，故③说法错误；证明，得，故④说法正确． 【详解】解：如图所示：     ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确； ∵，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形，故②正确； ∵，，， ∴， ∴Ⅲ中最小内角是，最大的内角是， 故③说法错误； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴，故④说法正确； 故选D． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案：为． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 10. 请你写出一个函数，使它的图象经过点A（1，2），这个函数的表达式可以是_________. 【答案】y＝2x 【解析】 【分析】设该函数表达式为y＝kx（k≠0），根据待定系数法即可求出k值，此题得解. 【详解】解：设该函数表达式为y＝kx（k≠0）， 代入点A（1，2）得：2＝k， ∴该函数表达式为y＝2x. 故答案为y＝2x. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据点A的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键. 11. 把多项式a3－2a2+a分解因式的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题目，一般来说，将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 12. 分式方程的解为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解知识点，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解，最后要检验所得的根是否为增根。 通过交叉相乘将分式方程化为整式方程，然后求解整式方程，最后检验所得的根。 【详解】 检验：当时，， 所以是原分式方程的解。 故答案为： 13. 某餐厅供应单价为10元、18元、25元三种价格的抓饭，如图是该餐厅某月销售抓饭情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该餐厅销售抓饭的平均单价为________元． 【答案】17． 【解析】 【详解】试题解析：25×20%+10×30%+18×50%=17； 答：该餐厅销售抓饭的平均单价为17元． 考点：扇形统计图． 14. 如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，点B是的中点．如果∠ABC=60°，那么∠ADB=_____． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠ADC的度数，进而解答即可． 【详解】∵点A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ABC=60°， ∴∠ADC=120°， ∵点B是的中点． ∴∠ADB=60°， 故答案是：60°. 【点睛】考查圆内接四边形，关键是根据圆内接四边形的性质得出∠ADC的度数． 15. 如图，在 中， ，，以 为圆心，长为半径画弧，分别交 ， 于， 两点，并连接 ， ，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据 ，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后即可求出∠BDE的度数．解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵以 为圆心，长为半径画弧，分别交 ， 于， 两点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 即的度数为． 故答案为：． 16. “绿波控制系统”就是通过信号控制技术，让车辆在指定的速度下，避免或减少通过多个路口的红灯等待，从而实现道路通行效率最大化的交通信号控制系统．以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数对比： 指标 优化前 优化后 备注 行程总时间 分钟 12分钟 行程总时间红灯等待时间行驶时间， 如：若汽车经过一路段的行程总时间为20分钟，红灯等待时间共计2分钟，则行驶时间为18分钟． 红灯等待次数 7次 1次 单次红灯平均等待时长 为优化前的 行驶速度 500米/分钟 800米/分钟 行驶速度总路程行驶时间 设“绿波控制系统”优化前的单次红灯平均等待时长为t分钟，则t的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程得，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∴ 的值为1． 故答案为：1． 三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~24题每小题6分，第25题5分，第26~28题每小题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，理解特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质是解答关键． 根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质来计算求解． 【详解】计算： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据一元一次不等式组解集确定的原则求出其公共解集．解题的关键是掌握一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】，13 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， ∴原式 ． 20. 如图，在 中，点为线段的中点，延长交 的延长线于点 ，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接 ．若，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明四边形是平行四边形，再根据得到结论即可； （2）过点作于点，由矩形的性质得到，证明为的中位线，求出 ，再根据勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 证明：为的中点， ， 四边形 是平行四边形， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， 为的中位线， ， 四边形 是平行四边形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式和解法是关键． （1）根据根的判别式的范围即可证明结论； （2）解一元二次方程得到，根据和该方程的两个实数根的差为2，得到，即可求出m的值． 【小问1详解】 证明：， ∴该方程总有两个实数根： 【小问2详解】 解：， ， 或， ， ， ， ∵该方程的两个实数根的差为2， ， 解得． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与函数的图象在处相交． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数 的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数和不等式的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． （ ）一次函数的图象经过点，得，根据一次函数的图象与函数的图象在处相交，再把点代入求出k的值，进而可得出结论； （ ）当时，，把点代入，得，然后根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 把代入得：， ∴点在的图象上， ∵一次函数的图象与函数的图象在处相交， ∴一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴这个一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， 当时，， ∴把点代入， ∴， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数 的值， ∴． 23. 国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们选择时参考的重要指标．某汽车杂志根据当前汽车行业常用的两种续航里程测试标准（标准M和标准N），对市面上常见的9种车型进行了续航里程实测，并与这些厂家公布的工信部续航里程进行了对比，下面是部分信息： a．标准M下的实测续航里程数据为： 324.8，355.8，378.2，385，404.2，407.9，441.2，445，463.2（单位：km） b．标准N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图（图1）： 图1：标准N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图 c．标准N下实测续航里程频数分布直方图，为方便记录，将续航里程设为x（单位：km），数据分为A~F六组（图2）． d．不同标准下实测续航里程统计表（单位：km） 标准M下实测续航里程 标准N下实测续航里程 平均数 400.6 333.5 中位数 a b 方差 根据信息回答以下问题： （1）补全图2； （2）不同标准下实测续航里程统计表中a＝______，在A~F六组数据中，b所在的组是______（只填写A~F中的相应代号即可）；比较与的大小关系为：______（填“＞”，“＝”或“＜”）； （3）在选购纯电动汽车时，实测续航里程与工信部续航里程的比值（简称“续航里程达成比”）越高越好，但续航里程达成比受到实测时各种实际条件的限制只能达到一定比例，小宇打算为家里选购纯电动汽车，如果在标准N下，他希望购买续航里程达成比不低于 ，并且实测续航里程不低于的车型，那么共有______种车型可供其选择． 【答案】（1） 补图如图所示： （2）404.2； ； （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题目中的信息，可以得到 组和组的频数，从而可以将图2补充完整： （2）根据题目中的信息，可以得到的值，在哪一组，和的大小情况， （3）根据题意，可以将相应的车型选出来． 【小问1详解】 解：根据图1和图2，六组数据中的范围， 由数据可得，在 组范围内的有3个数据，在组范围内的有1个数据； 【小问2详解】 解：根据中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据即为中位数， ， 由题意可得，在之间即 组； 由题意可知，标准 下实测续航里程的波动小于标准下实测续航里程的波动， ， 故答案为：404.2； ； ． 【小问3详解】 解：） 续航里程达成比为， 画出的直线，再直线上方的点符合要求，如图所示： 可知，共有3种车型可供其选择， 故答案为：3． 【点睛】本题考查频数分布直方图，频数分布表，求中位数，求方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24. 如图， 中， ，以 为直径的⊙交 于点D，E为边的中点，连接 ． （1）求证： 与 相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接、．欲证明 与 相切，只需证得 即可； （2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”易求，则；然后通过解直角 求得、由勾股定理求得；最后通过的对应边成比例求得． 【小问1详解】 证明：连接，， ， ． 是直径， ， ． 为的中点， ， ， ， 即． ， ． 于点． 又是半径， 为 的切线． 【小问2详解】 解：，点 为的中点， ． ， ． 在直角 中，， ． 在直角 中，由勾股定理得到． ∵，， ∴， ，即， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，切线的判定定理的运用、相似三角形的判定与性质及解直角三角形，解答时正确添加辅助线是关键． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1： 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈 ． 图2是其侧面示意图．已知支架 长为3米，且垂直于地面，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径是 的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着 移动，以保证太阳光线与 始终垂直． 素材2： 某地区某天下午不同时间的太阳高度角a（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3： 小东坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小东坐的位置记为点Q． 任务1： 14点时影子的长度为______米，此时伞面与支架 所夹的锐角为______°，自动手柄D与地面的距离为______米． 任务2： 若使小东在这天整露营休息时不被太阳光照射到，设他所坐的位置Q到支架 的距离为m米，则m的取值范围是______． 【答案】任务1：，60，2.5；任务2： 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，则米，再运用解直角三角形的相关性质得，根据角的关系得出，再证明是等边三角形，即可作答． （2）先作图，同理证明四边形是矩形，算出，得出、、是等腰直角三角形，结合勾股定理列式计算，再根据线段的和差关系得，然后还有考虑当点Q与点G重合时，此时也不会被晒到，即可作答． 【详解】解：（1）过点G作，过点作直线，如图所示： ∵14点时，太阳高度角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径是 的4倍． ∴（米）， 则， ∴（米）， 则， 故， 同理得， 则； ∵（米）， ∴是等边三角形， ∴（米）， 故答案为：，60，2.5； （2）如图所示：过点G作，过点作直线，过点作交于一点T ∵15点时，太阳高度角 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径是 的4倍． ∴（米）， 则， ∴（米）， 则， 故， 同理得， 则； ∵（米）， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴（米）， 则， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴（米）， ∵小东在这天整露营休息时不被太阳光照射到， ∴米， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴； 当点Q与点G重合时，此时也不会被晒到， ∴ 当设他所坐的位置Q到支架 的距离为m米， 则m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，点在图象上，并且． （1）判断抛物线的开口方向是______（填“向上”或“向下”），并说明理由； （2）若点也在抛物线上，且满足，求t的取值范围． 【答案】（1）向上，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次不等式，不等式的性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）把分别代入得到得：，，由得，即可求解； （2），，则，由，得到，那么；同理，得到，解得或，综上即可求解． 【小问1详解】 解：开口向上，理由如下： 设， 把分别代入 得：， 又 ∴抛物线开口向上， 故答案为：向上； 【小问2详解】 解：∵当时， ， 在抛物线上 又， 设 则， 同理 ， ， ∴或， 或 综上所述，t的取值范围为． 27. 在 中， ，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段 ，连接交边于点E，连接 并作的平分线交 于点F，交于点G． （1）在图1中补全图形； （2）用等式表示线段 与的数量关系并证明： （3）若，当点E是边中点时，直接写出 的长． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）连接根据等腰三角形的性质和角的和差即可求出；再根据等腰直角三角形的判定和性质得出，可证明是直角，进而证明，根据相似三角形的性质求解即可； （3）过点 作，则，通过证明，再利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： 【小问2详解】 解：，证明如下： 连接， ，，， ，，，， ， ， ， ， ， ， ，，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点 作，则， ， ， ， 为的中点，， ， ，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中， 的半径为 ，给定直线 与点，对于不在直线 上的点 给出如下定义：作点 关于直线 的对称点，若点位于 上或 内，且点 到定点的距离 为所有符合条件的 中的最大值或最小值，则称点 为点关于直线 与 的“反射极值点”，对应最大值的点称为“反射极大值点”，对应最小值的点称为“反射极小值点”． （1）已知直线． 点，在点中，点关于直线与 的“反射极值点”是______； 若点 为直线上的动点，且点 到其关于直线与 的“反射极大值点”与“反射极小值点”的距离之比为 ，直接写出点 的坐标； （2）已知点，直线 恒过定点，记点关于直线 与⊙的“反射极大值点”为，“反射极小值点”为，当直线 绕点旋转时，直接写出与的取值范围． 【答案】（1），；或； （2），． 【解析】 【分析】（1）由定义可知，点位于 上或 内，点 与点关于直线 的对称，则点 在 关于直线 对称的圆上或圆内； ①由轴对称可知，则上或内所有的点关于直线的对称点都在 内，上或内所有的点中到定点的距离最大值或最小值的点，即为直线与的交点，可知点关于直线与 的“反射极值点”的横坐标是2，且在上，进而可判断答案； ②设点 的坐标为，连接交于点， ，可知，点为“反射极小值点”，点 为“反射极大值点”，由题意可知，即，可知，得，则，再利用勾股定理列出方程即可求解； （2）作点关于直线 的对称点，在直线 上，可知点在以为圆心，2为半径的上，以为圆心，的半径为1，连接交，点为“反射极大值点”，点为“反射极小值点”，可知当在点 时，点在内，则“反射极小值点”与重合，此时，由三角形三边关系再根据，，即可求解． 【小问1详解】 解：由定义可知，点位于 上或 内，点 与点关于直线 的对称， 则点 在 关于直线 对称的圆上或圆内， ①∵直线， 令，则，令，则， ∴，，则， 作点关于直线的对称点，由对称可知，，则四边形为正方形， ∴，以为圆心，的半径为1， 则上或内所有的点关于直线的对称点都在 内， 上或内所有的点中到定点的距离最大值或最小值的点，即为直线与的交点， ∵， ∴直线上的点横坐标为2， 即：点关于直线与 的“反射极值点”的横坐标是2，且在上， ∴符合条件的点有：，； 故答案为：，； ②设点 的坐标为，连接交于点， ， 可知，点为“反射极小值点”，点 为“反射极大值点”， 由题意可知，即， ∵， ∴，则， 由勾股定理得：， 解得：或， 故点 的坐标为：或； 【小问2详解】 作点关于直线 的对称点，在直线 上， ∴， ∴点在以为圆心，2为半径的上， 以为圆心，的半径为1， 连接交，点为“反射极大值点”，点为“反射极小值点”， ∵， ∴， 令 交于 ，， 当在点 时，点在内，则“反射极小值点”与重合，此时， 由三角形三边关系可知：，即， ∵，， ∴，． 【点睛】本题考查直角坐标系与点的坐标，轴对称，一次函数，勾股定理，点与圆的位置关系，动态的理解图形，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $