精品解析：山东省菏泽市菏泽经济技术开发区2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

九年级数学试题 2025．3 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 在数轴上表示下列各数的点中，距离原点最近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在数轴上表示的数的绝对值越小，距离原点越近，进行判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴距离原点最近的是． 故选C． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，实数的大小比较．掌握数轴上表示的数的绝对值越小，距离原点越近是解题关键． 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B 3. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据384000用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是指从上面往下面看到的图形进行分析，作答即可． 【详解】解：依题意，该几何体的俯视图是， 故选：C． 5. 若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，由得，再结合“有解”这个条件得，解得．本题主要考查了由不等式组解集的情况求参数，以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴由得， ∴由得， 关于的不等式组有解， ∴， 解得：， 故选：B． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B．，故本选项符合题意； C．，故本选项不合题意； D．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意． 故选：B． 7. 一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是，，，，卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之和为正数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，以及概率公式，解题的关键在于正确掌握相关知识．根据题意列出表格，得到所有的情况数与数字之和为正数的情况数，再结合概率公式求解，即可解题． 【详解】解：根据题意列表如下： 2 1 0 2 3 2 1 1 3 1 0 0 2 1 1 0 由表格可知，总共有12种情况，两张卡片上数字之和为正数的情况有8种， 所以抽取的两张卡片上数字之和为正数的概率是． 故选：C． 8. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴, ∴． 故选：A． 9. 已知有理数a，b，下列命题中是真命题的有（ ） ①如果，那么或； ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果，那么的符号与a的符号相同； ⑤如果，那么． A. ①②④ B. ②③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判定，解题的关键是掌握有理数加法、乘法、乘方法则，有理数大小的比较，难度一般． 根据有理数加法、乘法、乘方法则，有理数大小的比较，逐个判断即可． 【详解】解：①如果，那么或，正确，故①是真命题； ②如果，那么或，原命题错误，故②假命题； ③如果，那么，正确，故③是真命题； ④如果，那么的符号与a的符号相同，正确，故④是真命题； ⑤如果，那么，如果，那么，原命题错误，故⑤假命题； ∴是真命题的有①③④． 故选：C． 10. 某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（ ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，先求出A商品每件售价，再设购买A商品x件，购买B商品y件，然后分打折前购买的总金额不超过600元和打折前购买的总金额超过600元两种情况，根据打折后的金额推出打折前的金额，进而建立方程求出x、y的值，再逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵A商品每件进价40元，利润率为， ∴A商品每件售价为元， 设购买A商品x件，购买B商品y件， 当打折前购买的总金额不超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品5件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品2件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当打折前购买的总金额超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品6件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品3件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； ∴如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元， ∵， ∴购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ∴①②③的说法都正确， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 12. 若是一元二次方程的两个根，则的值为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，将化为，分别求出、，再代入求值即可． 【详解】解：∵α、β是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5． 13. 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，可得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将反比例函数的图像绕着坐标原点顺时针旋转，旋转后的图像与轴交于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】作出点A旋转前的对应点B，根据旋转的性质可得，，过点B作轴于点C，根据得出，根据勾股定理求出，即可得出点B的坐标，再用待定系数法求解即可． 【详解】解：设点A旋转前的对应点为点B，则， ∵， ∴， ∴， 过点B作轴于点C， ∵， ∴，则， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， 把代入得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，求反比例函数解析式，解题的关键是掌握旋转前后对应点到旋转中心连线相等，所成的夹角等于旋转角，勾股定理，以及用待定系数法求解函数表达式的方法． 15. 我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率． 刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；请写出圆内接正二十四边形的周长________，计算________．（参考数据：，） 【答案】 ①. 48Rsin7.5° ②. 3.12 【解析】 【分析】根据圆的内接正二十四边形的每条边所对应的圆心角是15°，可知：正二十四边形的周长为：，进而可求出π的近似值. 【详解】∵圆的内接正二十四边形的每条边所对应的圆心角是15°， ∴正二十四边形的周长为：， ∴， 故答案是：48Rsin7.5°，3.12. 【点睛】本题主要考查圆的内接正多边形的性质以及三角形函数的应用，根据题意，在直角三角形中应用正弦三角函数，是解题的关键. 三、解答题（共8小题，共75分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）先化简，再求值：，其中． （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，实数的运算，分母有理化，求特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键： （1）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可； （2）先分母有理化，求特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2） ． 17. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是_______ （2）求证： （3）若，，，求的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【小问1详解】 解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： 【小问2详解】 证明：四边形为平行四边形 【小问3详解】 解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 18. 如图，点是直线上的点，如果直线平分，轴于，轴于． （1）求的值； （2）如果反比例函数的图像与分别交于点，求证：； （3）在（2）的条件下，如果四边形的面积是面积的，求反比例函数的解析式． 【答案】（1）1 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用、角平分线的性质定理、勾股定理、坐标与图形等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先根据角平分线的性质定理以及点坐标，可得，进而可得，然后将其代入，即可求得的值； （2）根据题意作出图像，结合题意可得，进而可得，即可证明结论； （3）首先求得是面积，进而可得，结合，求得，进而解得，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵直线平分，轴于，轴于， ∴， 又∵， ∴， ∴， 将点代入， 可得，解得； 【小问2详解】 如下图， ∵反比例函数的图像与分别交于点， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ∵，轴于，轴于， ∴， ∴， ∵四边形的面积是面积的， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即有，解得， ∴反比例函数的解析式为． 19. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点到地面的距离； （2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）点到地面的距离为； （2）顶部线段的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点， 在中 答：点到地面的距离为 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为 ， ， 平行线间的距离处处相等 ， ∵， 在中 答：顶部线段的长为 20. “天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课，为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级共800名学生参加了以“格物效知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解七年级学生的科普知识掌握情况，调查小组从七年级共选取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： a．50名学生竞赛成绩的频数分布表： 成绩 频数 6 15 17 9 b．50名学生的说赛成绩的频数分布直方图； c．竞赛成绩在这一组的成绩是： 80、81、83、83、83、84、84、85、86、86、86、87、87、87、88、88、89． d．小东的竞赛成续为83分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的数值______； （2）补全频数分布直方图； （3）小东的竞赛成绩是否超过样本中一半学生的成绩？ （4）学校将把获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计七年级学生的获奖人数． 【答案】（1）3 （2）见解析 （3）小东的成绩超过样本中一半学生的成绩 （4）192人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，求中位数： （1）根据题目中得出的信息进行解答即可； （2）根据解析（1）中m的值补全频数分布直方图即可； （3）求出50名学生成绩的中位数，然后进行解答即可； （4）用全校总人数乘以样本中88分及以上的学生所占百分比即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图，如图所示： 【小问3详解】 解：将选取的50名学生的竞赛成绩从小到大进行排序，排在第25的是80分，第26的是81分， ∴选取的50名学生的竞赛成绩的中位数是（分）， ∵小东竞赛成绩为83分，， ∴小东的成绩超过样本中一半学生的成绩； 【小问4详解】 解：（人）， 答：七年级学生的获奖人数为192人． 21. 如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数； （2）找出图中所有与相等的线段，并证明； （3）若，，求的周长． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）30 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 22. 【研究发现】 如图1，在中，，矩形的三个顶点D，E，F分别边，，上，若，，求矩形的面积． 小颖同学发现可以采用如下方法进行求解： 如图2，以，为边构造矩形，分别延长，交，于点M，N， 根据矩形性质，可得，，， ∴， 即． ∵，∴…… （1）填空：矩形的面积为______； 【问题解决】 《九章算术》卷九记载：今有邑方二百步，各中开门．出东门十五步有木．问出南门几何步而见木？大意为：如图3，正方形小城的边长为200步，各边中点处开一城门．从东门中点A向正东方向走出15步处有树B，问从南门D点向正南方向走出多少步恰能见到树B？ （2）请你求出的长． 【延伸探究】 《海岛算经》第一个问题的大意是：如图4，要测量海岛上一座山峰A的高度，在地面M，N两处分别立有高30尺的标杆和，两杆之间的距离尺，B，M，N三点成一线；从M处退行738尺到F，A，G，F三点成一线；从N处退行762尺到C，A，E，C三点也成一线；若点D在上，D，G，E三点也成一线，如何求出山峰A的高度呢？ （3）试计算线段的长． 【答案】（1）3750；（2）步；（3）步. 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用/矩形的性质和判定，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． （1）由矩形性质可得，，由此即可求出，即得答案； （2）证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质可求出的长． （3）由，可得，，进而可得，，根据数据列方程求解即可． 【详解】（1）如图2，以，为边构造矩形，分别延长，交，于点M，N， ∴四边形，，是矩形， ∴， 根据矩形性质，可得，，， ∴， 即． ∵， ∴， 故答案为； （2）解：，，步，步，， ， ， ， ， ，即， ， （3）解：由题意得，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， 解并检验得：， 答：山峰的高度的长为步． 23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（c为常数）． （1）若该函数经过点，求出该函数图象上的“三倍点”坐标； （2）在（1）的条件下，当时，求出该函数的最小值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，抛物线与轴交点个数由决定．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式，设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入抛物线解析式，即可确定“三倍点”坐标； （2）由（1）可知，分为①当即时，②当即时，分别求解即可； （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴抛物线解析式为， 设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入， 得， 整理得， 解得， ∴“三倍点”坐标为． 【小问2详解】 由（1）可知， 抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，对称轴是直线, ①当即时， ， ②当即时， 若即， 则， 若即， 则， ③当时， ， 综上，当时，， 当时，． 【小问3详解】 由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则，解得； 把代入得，代入得， ∴，解得； 把代入得，代入得， ∴，解得， 综上，的取值范围为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 2025．3 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 在数轴上表示下列各数的点中，距离原点最近的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是，，，，卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之和为正数的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知有理数a，b，下列命题中是真命题的有（ ） ①如果，那么或； ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果，那么的符号与a的符号相同； ⑤如果，那么． A. ①②④ B. ②③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤ 10. 某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（ ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 12. 若是一元二次方程的两个根，则的值为____． 13. 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为________． 14. 如图，将反比例函数的图像绕着坐标原点顺时针旋转，旋转后的图像与轴交于，若，则______． 15. 我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率． 刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；请写出圆内接正二十四边形的周长________，计算________．（参考数据：，） 三、解答题（共8小题，共75分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）先化简，再求值：，其中． （2）计算：． 17. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是_______ （2）求证： （3）若，，，求的面积． 18. 如图，点是直线上的点，如果直线平分，轴于，轴于． （1）求的值； （2）如果反比例函数的图像与分别交于点，求证：； （3）在（2）的条件下，如果四边形的面积是面积的，求反比例函数的解析式． 19. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点到地面的距离； （2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 20. “天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课，为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级共800名学生参加了以“格物效知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解七年级学生的科普知识掌握情况，调查小组从七年级共选取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： a．50名学生竞赛成绩的频数分布表： 成绩 频数 6 15 17 9 b．50名学生的说赛成绩的频数分布直方图； c．竞赛成绩在这一组的成绩是： 80、81、83、83、83、84、84、85、86、86、86、87、87、87、88、88、89． d．小东的竞赛成续为83分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的数值______； （2）补全频数分布直方图； （3）小东的竞赛成绩是否超过样本中一半学生的成绩？ （4）学校将把获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计七年级学生的获奖人数． 21. 如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数； （2）找出图中所有与相等的线段，并证明； （3）若，，求的周长． 22. 【研究发现】 如图1，在中，，矩形的三个顶点D，E，F分别边，，上，若，，求矩形的面积． 小颖同学发现可以采用如下方法进行求解： 如图2，以，为边构造矩形，分别延长，交，于点M，N， 根据矩形性质，可得，，， ∴， 即． ∵，∴…… （1）填空：矩形的面积为______； 【问题解决】 《九章算术》卷九记载：今有邑方二百步，各中开门．出东门十五步有木．问出南门几何步而见木？大意为：如图3，正方形小城的边长为200步，各边中点处开一城门．从东门中点A向正东方向走出15步处有树B，问从南门D点向正南方向走出多少步恰能见到树B？ （2）请你求出的长． 【延伸探究】 《海岛算经》第一个问题的大意是：如图4，要测量海岛上一座山峰A的高度，在地面M，N两处分别立有高30尺的标杆和，两杆之间的距离尺，B，M，N三点成一线；从M处退行738尺到F，A，G，F三点成一线；从N处退行762尺到C，A，E，C三点也成一线；若点D在上，D，G，E三点也成一线，如何求出山峰A的高度呢？ （3）试计算线段的长． 23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（c为常数）． （1）若该函数经过点，求出该函数图象上的“三倍点”坐标； （2）在（1）的条件下，当时，求出该函数的最小值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $