精品解析：山西省晋城市阳城县2026年九年级中考一模数学试卷

2026年中考模拟练习 数学试题（卷） （考试时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1.本试卷共三大题，23小题． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（　　） A. |﹣3| B. ﹣2 C. 0 D. π 2. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两名车工都加工尺寸是内径为10mm的套筒零件（如图）．从他们所生产的零件中各抽取5件，测得内径如下（单位：mm），从尺寸规格的平均数和方差的角度看．做得较好的是（ ） 甲 10.05 10.02 9.97 9.95 10.01 乙 9.99 10.01 10.00 9.98 10.02 A. 甲 B. 乙 C. 一样好 D. 无法判断 8. 如图，已知菱形的顶点，，点在轴的正半轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 在古代抽水工具的“族谱”里，如图，桔槔堪称元老．它巧妙运用杠杆原理，结构简单却实用非凡．当阻力与阻力臂一定时，动力（牛）与动力臂（米）满足反比例函数，当动力臂时，与之对应的与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 10. 如图，点A，B，C，D是上的四点，的半径为1，将劣弧分别沿直线翻折，劣弧恰好都经过点O，连接，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 12. 如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝_____°． 13. 如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，点D是劣弧AC上一点，若点E在直径AB另一侧的半圆上，且∠AED=27°，则∠BCD的度数为_______． 14. 当旅客在使用12306网站购买高铁票时，在票源充足的情况下，系统会按照乘客的意愿分配座位（一排中座位编号为A、B、C、D、F，如图所示），在票源紧张时，系统会随机分配座位．春节期间，两个好朋友打算购买从晋城到太原的车票，只剩下某一排的A、B、D、F四个座位可购买车票，这四个座位分配的概率一样，则两个好朋友坐到一起（相邻）的概率是______． 15. 如图，在中，，，，点D是的中点，点E在上，且，与交于点F，则线段的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与解方程组： （1）计算：． （2）解方程组：． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）过点C作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点D，连接，直接写出的面积． 18. 为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七，八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 a 8 众数 7 b 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中的______，______，______． （2）请认真阅读上述信息，回答下列问题： 小明认为两个年级抽取学生得分的平均数相等，因此两个年级的得分一样好．小东认为小明的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由（写出两条即可）． 19. 无人驾驶出租车用大模型进行算法决策和精准感知，打造更安全、更便宜、更高效的出行服务．某出租车公司计划购进一批次有人驾驶出租车和无人驾驶出租车、无人驾驶出租车的数量比有人驾驶出租车多40辆．一辆有人驾驶出租车的年成本是一辆无人驾驶出租车年成本的倍，若出租车公司经过预算，该批次所有无人驾驶出租车的年成本是600万元．所有有人驾驶出租车的年成本是900万元，则一辆无人驾驶出租车的年成本是多少万元？ 20. 如图1，某同学家的一面窗户上安装有遮阳棚，图2和图3是截面示意图，是遮阳棚，窗户为1.5米，该遮阳棚有伸缩功能．如图2，该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为，遮阳棚正好将进入窗户的阳光挡住；如图3，该同学在冬季某日的正午时刻测得太阳光与水平线的夹角为，将遮阳棚调整为原来的长度，变成时，遮阳棚正好完全不挡进入窗户的阳光，求夏季时遮阳棚的长度．（结果保留根号） 21. 如图1，三条互相平行的直线、、，作出一个等边三角形，满足三个顶点分别在三条平行线上．方法如下：在直线上取点，作直线，垂足为，以为边作等边三角形．作，与直线交于点，连接，在直线上取点，使得，连接，就可得到满足条件的等边三角形． （1）求证上述材料中作出的是等边三角形． （2）图2中，三条直线互相平行，进行尺规作图，作出一个等腰直角三角形，使其三个顶点分别在三条平行线上（不写作法．保留作图痕迹）． 22. 综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小刚发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小刚的初次投篮起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，把篮球当成一个点，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：初次投篮出手点高度米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；当篮球到达与篮筐中心点A相同的水平距离时，篮球的高度（n米）满足时，篮球就可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小刚在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题： （1）①求小刚初次投篮时抛物线的函数表达式． ②小刚初次投篮时______命中篮筐（填写：“能”或“不能”）． （2）该班数学兴趣小组同学对小刚的初次投篮数据进行研究后，让小刚同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，投篮出手点高度和初次投篮一样，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值． （3）在比赛过程中，小刚在离篮筐中心的水平距离5米处，调整投篮出手点高度，起跳投篮，如果此时在小刚前方0.5米处有一位防守球员，防守球员的防守高度至少要达到多少米，就可以保证小刚不能命中篮筐．（直接写出答案） 23. 综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师带领同学们利用矩形纸片开展活动．老师先提出一个问题：如图1，将矩形沿过点B的直线折叠，使得点A的对应点E落在边上，折痕与交于点F．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）请解答老师的问题． 动手实践 （2）如图2，点G是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点A的对应点为E，连接，并延长交于点F． ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②若，，将沿射线方向移动，得到，若是等腰三角形，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟练习 数学试题（卷） （考试时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1.本试卷共三大题，23小题． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（　　） A. |﹣3| B. ﹣2 C. 0 D. π 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案． 【详解】在实数|-3|，-2，0，π中， |-3|=3，则-2＜0＜|-3|＜π， 故最小的数是：-2． 故选B． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键． 2. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项正确，符合题意． 4. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 5. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是从几何体上方看到的图形以及看不到的部分用虚线表示即可解答． 【详解】解：如图是某个部件“榫”的实物图，从它上方看到的图形是，即俯视图是． 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对分子分母分别因式分解，再约去公因式得到结果． 【详解】解： ． 7. 甲、乙两名车工都加工尺寸是内径为10mm的套筒零件（如图）．从他们所生产的零件中各抽取5件，测得内径如下（单位：mm），从尺寸规格的平均数和方差的角度看．做得较好的是（ ） 甲 10.05 10.02 9.97 9.95 10.01 乙 9.99 10.01 10.00 9.98 10.02 A. 甲 B. 乙 C. 一样好 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出平均数和方差进行比较即可． 【详解】解：， ， ； ； ，乙做得比较好． 8. 如图，已知菱形的顶点，，点在轴的正半轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两点距离计算公式得到，由菱形的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵顶点O，A的坐标分别为，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 9. 在古代抽水工具的“族谱”里，如图，桔槔堪称元老．它巧妙运用杠杆原理，结构简单却实用非凡．当阻力与阻力臂一定时，动力（牛）与动力臂（米）满足反比例函数，当动力臂时，与之对应的与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数的图象称作双曲线，当时，图象的两个分支分别位于第一、三象限内，在每个象限内，随的增大而减小；当时，图象的两个分支分别位于第二、四象限内，在每个象限内，随的增大而增大． 【详解】解：根据题意可知，，， 因为， 所以． 所以当时，随的增大而减小． 因为， 所以． 10. 如图，点A，B，C，D是上的四点，的半径为1，将劣弧分别沿直线翻折，劣弧恰好都经过点O，连接，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记点关于的对称点为点，连接，交于点，可得为等边三角形，四边形为菱形，则，然后解求出，然后由求出，即可求解图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，记点关于的对称点为点，连接，交于点 则，由翻折可得 ∴ ∴为等边三角形，四边形为菱形， ∴ ∴ ∴ ∴由对称性可得，图中阴影部分的面积． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝_____°． 【答案】54 【解析】 【分析】如图，标注字母，先求解正五边形的内角∠D，∠DCB的大小，再利用平行线的性质及角的和差求解∠DCE，再利用三角形的内角和求解∠DEC，从而利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图，标注字母， 由题意得：ABEC，∠D=∠DCB==108°，∠ABC=90°， ∴∠ECB=180°−90°=90°，∠DCE=108°−90°=18°， ∴∠DEC=180°−∠D−∠DCE=54°， ∵ABEC， ∴∠α=∠DEC=54°． 故答案为：54． 【点睛】此题考查了平行线的性质，正多边形的内角和，三角形的内角和，解题的关键是掌握利用平行线结合内角和定理进行计算． 13. 如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，点D是劣弧AC上一点，若点E在直径AB另一侧的半圆上，且∠AED=27°，则∠BCD的度数为_______． 【答案】117° 【解析】 【分析】连接AD，BD，利用圆周角定理解答即可． 【详解】连接AD，BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠AED=27°， ∴∠DBA=27°， ∴∠DAB=90°-27°=63°， ∴∠DCB=180°-63°=117°， 故答案为117° 【点睛】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理解答． 14. 当旅客在使用12306网站购买高铁票时，在票源充足的情况下，系统会按照乘客的意愿分配座位（一排中座位编号为A、B、C、D、F，如图所示），在票源紧张时，系统会随机分配座位．春节期间，两个好朋友打算购买从晋城到太原的车票，只剩下某一排的A、B、D、F四个座位可购买车票，这四个座位分配的概率一样，则两个好朋友坐到一起（相邻）的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意列表如下： A B D F A B D F 由表格可知，共有种等可能的情况，其中座位相邻的情况有种， 则两个好朋友坐到一起（相邻）的概率是． 15. 如图，在中，，，，点D是的中点，点E在上，且，与交于点F，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点使，连接，作，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长，等积法求出的长，等角的正弦值相等，求出的长，进而求出的长，三角形的中位线定理，得到，，证明，求出的值，即可． 【详解】解：延长至点使，连接，作， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形的中位线和相似三角形，是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与解方程组： （1）计算：． （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算乘方，然后按照有理数的混合运算法则求解即可； （2）直接运用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ①+②可得：，解得：， 将代入①得：，解得， 所以方程组的解为． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）过点C作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点D，连接，直接写出的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）3 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求出反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的表达式即可； （2）求出点C的坐标，进而求出点D的坐标，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为， 把点B的坐标代入得， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入得，解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴ ． 18. 为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七，八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 a 8 众数 7 b 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中的______，______，______． （2）请认真阅读上述信息，回答下列问题： 小明认为两个年级抽取学生得分的平均数相等，因此两个年级的得分一样好．小东认为小明的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由（写出两条即可）． 【答案】（1），8， （2）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数和优秀率的定义求解即可； （2）从中位数，众数和优秀率的角度出发进行阐述理由即可． 【小问1详解】 解：把七年级50名学生的成绩按照从低到高的顺序排列，第25个数据和第26个数据分别为7分，8分， ∴七年级的中位数为分，即； ∵八年级得分为8分的人数最多， ∴八年级的众数为8分，即； ∵八年级得9分或9分以上的人数为名， ∴八年级的优秀率为，即； 【小问2详解】 解：①∵七年级的优秀率为，高于八年级的优秀率， ∴优秀率的角度看，七年级的得分比八年级的得分好； ②∵七年级的中位数为分，低于八年级的中位数8分， ∴中位数的角度看，八年级的得分比七年级的得分好； ③∵七年级得分的众数为7分，低于八年级的众数8分， 从众数的角度看，八年级的得分比七年级的得分好．（写两条即可） 19. 无人驾驶出租车用大模型进行算法决策和精准感知，打造更安全、更便宜、更高效的出行服务．某出租车公司计划购进一批次有人驾驶出租车和无人驾驶出租车、无人驾驶出租车的数量比有人驾驶出租车多40辆．一辆有人驾驶出租车的年成本是一辆无人驾驶出租车年成本的倍，若出租车公司经过预算，该批次所有无人驾驶出租车的年成本是600万元．所有有人驾驶出租车的年成本是900万元，则一辆无人驾驶出租车的年成本是多少万元？ 【答案】一辆无人驾驶出租车的年成本是6万元 【解析】 【分析】设一辆无人驾驶出租车的年成本是x万元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设一辆无人驾驶出租车的年成本是x万元，根据题意得： ， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：一辆无人驾驶出租车的年成本是6万元． 20. 如图1，某同学家的一面窗户上安装有遮阳棚，图2和图3是截面示意图，是遮阳棚，窗户为1.5米，该遮阳棚有伸缩功能．如图2，该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为，遮阳棚正好将进入窗户的阳光挡住；如图3，该同学在冬季某日的正午时刻测得太阳光与水平线的夹角为，将遮阳棚调整为原来的长度，变成时，遮阳棚正好完全不挡进入窗户的阳光，求夏季时遮阳棚的长度．（结果保留根号） 【答案】夏季时遮阳棚CD的长度是米 【解析】 【分析】设，根据锐角三角函数的定义表示，根据列方程求解即可． 【详解】解：设米，则， 由题意可知， 在中，，即，故， 在中，，即，故， ，解得：， ∴． 答：夏季时遮阳棚CD的长度是米． 21. 如图1，三条互相平行的直线、、，作出一个等边三角形，满足三个顶点分别在三条平行线上．方法如下：在直线上取点，作直线，垂足为，以为边作等边三角形．作，与直线交于点，连接，在直线上取点，使得，连接，就可得到满足条件的等边三角形． （1）求证上述材料中作出的是等边三角形． （2）图2中，三条直线互相平行，进行尺规作图，作出一个等腰直角三角形，使其三个顶点分别在三条平行线上（不写作法．保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，利用全等三角形的性质即可求解； （2）先在直线上取一点，过点作直线的垂线，交直线于点，交直线于点，此时，再以为圆心，的长度为半径画弧交直线于点，所以，连接，再以为圆心，的长度为半径画弧交直线于点，连接，所以，所以，所以，因为，即，即为等腰直角三角形． 【小问1详解】 证明：∵直线，， ∴， ∵等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【小问2详解】 解：如图所示，等腰直角三角形即为所求． 22. 综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小刚发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小刚的初次投篮起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，把篮球当成一个点，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：初次投篮出手点高度米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；当篮球到达与篮筐中心点A相同的水平距离时，篮球的高度（n米）满足时，篮球就可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小刚在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题： （1）①求小刚初次投篮时抛物线的函数表达式． ②小刚初次投篮时______命中篮筐（填写：“能”或“不能”）． （2）该班数学兴趣小组同学对小刚的初次投篮数据进行研究后，让小刚同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，投篮出手点高度和初次投篮一样，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值． （3）在比赛过程中，小刚在离篮筐中心的水平距离5米处，调整投篮出手点高度，起跳投篮，如果此时在小刚前方0.5米处有一位防守球员，防守球员的防守高度至少要达到多少米，就可以保证小刚不能命中篮筐．（直接写出答案） 【答案】（1）①；②不能 （2） （3）2.65 【解析】 【分析】（1）①由题意可知，，顶点，设二次函数顶点式求解即可；②求出时，，即可判断； （2）先得出向前走了t米后抛物线的解析式为，再结合点，即可求出t的值； （3）设小刚投篮出手点高度调整米，则抛物线解析式为，根据命中球筐的高度范围得到的范围，再求出的最大函数值，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可知，，顶点， 设小刚初次投篮时抛物线的函数表达式为， 将点代入得： ， 解得：， 小刚初次投篮时抛物线的函数表达式为， 当时， ， 篮球的高度（n米）满足时，篮球可命中篮筐， 小刚初次投篮时不能命中篮筐； 【小问2详解】 解：向前走了t米后抛物线的解析式为， 正好投进一个“空心球”， 抛物线经过点， ， 解得：，（舍）， 即t的值为． 【小问3详解】 解：设小刚投篮出手点高度调整米， 则抛物线解析式为 ， 篮球的高度（n米）满足时，篮球就可命中篮筐， ， 解得：， 若，则 当时，， 若，则 当时，， 防守球员的防守高度至少要达到米，就可以保证小刚不能命中篮筐． 23. 综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师带领同学们利用矩形纸片开展活动．老师先提出一个问题：如图1，将矩形沿过点B的直线折叠，使得点A的对应点E落在边上，折痕与交于点F．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）请解答老师的问题． 动手实践 （2）如图2，点G是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点A的对应点为E，连接，并延长交于点F． ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②若，，将沿射线方向移动，得到，若是等腰三角形，请直接写出的长度． 【答案】（1）四边形的形状是正方形，理由见解析 （2）①，理由见解析；②5或或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，，可知四边形是正方形； （2）①根据折叠的性质得到，根据等边对等角得到，进而得到，可知，根据矩形的性质得到，，可知四边形是平行四边形，即可求出与的数量关系； ②根据勾股定理求出，根据折叠的性质得到，，设平移距离为x，则，根据得到，进而得到，，过作交于H，根据三角函数求出，根据勾股定理得到，过E作交于M，根据得到，，设，根据勾股定理求出，进而求出，得到，可知，根据等腰三角形的定义分三种情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：四边形为正方形，理由如下： 矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形； 【小问2详解】 解：①，理由如下： ∵点G是的中点， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴； ②∵，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， 设平移距离为x， ∴， ∵， ∴， ∴，， 过作交于H， 可知， ∴， ∴ ， 过E作交于M， ∵， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 当时，， 即 ， 解得（负值舍去）； 当时，， 即， 解得（负值舍去）； 当时，， 即， 解得（负值舍去）； 综上所述，的长度为5或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $