精品解析：福建省莆田市莆田第二十五中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024-2025学年下学期莆田第二十五中学 高一数学月考 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. A. B. C. D. 2 已知向量，，则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 3. 已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 4 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（ ） A B. C. D. 6. 已知直角中，是斜边，，则的值是（ ） A. 27 B. 1 C. 9 D. 7. 设点，若点在直线AB上，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 在等腰梯形中，已知，，是的中点，，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列各组向量中，不可以作为基底的是（   ） A. B. C. D. 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 向量与向量能作为平面向量的一组基底，则与不共线 B. 若，则 C. 为非零向量且，则 D. 为任意向量且，则 11. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 方程在上有5个根 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与满足，且，则与的夹角等于__________． 13. 已知，，，且，则的值为___________. 14. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形的边长为，点P是正八边形边上的一点，则的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 计算： （1）； （2）； （3）． 16. 已知向量，，且． （1）若向量与互相垂直，求的值． （2）若向量与互相平行，求的值． 17. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标； （3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 18. 已知. （1）若，且，求的值； （2）设，，若方程恰有两个不同解，求实数的取值范围. 19. 对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标； （2）记向量的相伴函数为. （I）当且时，求的值； （II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期莆田第二十五中学 高一数学月考 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据终边相同的角正弦值相等，将的正弦化成的正弦，，即可求出结果. 详解：由诱导公式可得，，，故选A 点睛：本题着重考查了终边相同的角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题. 2. 已知向量，，则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把向量和相加得到向量的坐标，再利用向量的坐标算出向量的模长． 【详解】， ． 故选：B． 3. 已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】． 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出，再根据二倍角得正切公式即可得解. 【详解】由，得, 故， 故选：D 5. 如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 6. 已知直角中，是斜边，，则的值是（ ） A. 27 B. 1 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，由向量平面数量积的坐标表示，列方程求解即可. 【详解】因为直角中，是斜边， ， 可得，则有，即，解得， 故选：D. 7. 设点，若点在直线AB上，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知求出向量的坐标，进而根据，可求出向量的坐标，进而求出点的坐标． 【详解】解：，，∴， 点在直线上，且， ∴，或， 故，或， 故点坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是平面向量坐标表示，熟练掌握向量坐标等于终点坐标与起点坐标的差是解答的关键． 8. 在等腰梯形中，已知，，是的中点，，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、即可. 【详解】根据题意，，，是的中点，，画出梯形如下图所示： 所以 ， 则，又，、不共线， 所以，所以. 故选：A 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列各组向量中，不可以作为基底的是（   ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】逐项判断向量是否共线即可得解. 【详解】因为共线，故不能做基底，故A正确； 因为，所以不共线，可作基底，故B错误； 因为，所以，即共线，故不能作基底，故C正确； 因为，所以，即共线，故不能作基底，故D正确. 故选：ACD 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 向量与向量能作为平面向量的一组基底，则与不共线 B. 若，则 C. 为非零向量且，则 D. 为任意向量且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基底的概念判断A，根据向量的数量积化简运算判断B，根据向量垂直的关系由特例法判断C，根据向量相等及数量积的概念判断D. 【详解】对于A，根据基底的定义知，向量与向量能作为平面向量的一组基底，则与不共线正确； 对于B，，，化简可得，故正确； 对于C，满足，不能推出，例如向量都与垂直时等式成立，但不一定相等，故错误； 对于D，因为，所以成立，故正确. 故选：ABD 11. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 方程在上有5个根 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换及图象特殊值，求出，进而求出，求出最小正周期，判断A选项；求出及，结合及函数图象，判断出有5个交点，即有5个根；C选项，求出，代入检验得到图象不关于直线对称；当时，，得到的单调性. 【详解】 ， 由图象可知：， 所以，解得：， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，此时，所以最小正周期为，A正确； ， 则，即， 因为，所以， 画出在的图象，如下： 函数图象与有5个交点，故方程在上有5个根，B正确； 函数，当时，，所以的图象关于直线不对称，C错误； ，当时，， 故函数在上单调递减，D正确. 故选：ABD 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与满足，且，则与的夹角等于__________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接用数量积的定义求夹角即可. 【详解】依题意， ，∴ 与 的夹角为 ； 故答案为： . 13. 已知，，，且，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式求解作答. 详解】由，，得， 由，知，又，则， 所以， 所以. 故答案为： 14. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形的边长为，点P是正八边形边上的一点，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】作垂直延长线于点M，根据正八边形的特征求出，根据的定义，即可求出的最大值. 【详解】由题意知，每个三角形的顶角为，， 作垂直的延长线于点M，根据正八边形的特征知，， 设与所成的角为，则， 所以， 由的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据平面向量的数乘运算及线性运算计算即可. 【小问1详解】 原式． 【小问2详解】 原式． 【小问3详解】 原式． 16. 已知向量，，且． （1）若向量与互相垂直，求的值． （2）若向量与互相平行，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． （2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解. 【小问1详解】 ，， ，，即，得， 若向量与互相垂直，则， 即得， ，解得或. 【小问2详解】 由，所以，所以不共线， 由向量与互相平行， 可知存在实数，使得， ，解得， 当时，；当时，. 或. 17. 已知是平面内两个不共线非零向量，，，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标； （3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，结合三点共线可得，列方程组求参数即可； （2）根据平面向量线性运算的坐标表示求解即可； （3）根据平行四边形中的坐标表示列方程组求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在实数使得，即， 又因为是平面内两个不共线的非零向量， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 若，，则. 【小问3详解】 由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得， 设，则，由（2）得， 所以，解得， 所以. 18. 已知. （1）若，且，求的值； （2）设，，若方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】（1）0； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，利用平面向量数量积公式，二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式可得，结合，可求的值； （2）利用（1）可得，由可得 , 结合函数的图象图象有两个交点时实数的取值范围 【小问1详解】 ∵，∴， 即，∴， ∵，∴， ∴，∴． 【小问2详解】 ∵， 当时， , 当时，单调递减，当时，单调递增， 且， 故方程恰有两个不同的解，则实数的取值范围是. 19. 对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标； （2）记向量的相伴函数为. （I）当且时，求的值； （II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（I） （II） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式及两角和的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的相伴特征向量的定义即可求解； （2）（I）根据题意先求得函数的解析式，结合已知条件求得的值，进而求得的值，通过配角的方法并结合两角差的正弦公式即可求解； （II）通过诱导公式化简原式，通过分类讨论的正负，通过参变分离法转化为最值问题即可求解. 【小问1详解】 ， ∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标. 【小问2详解】 由题可知：向量的相伴函数. （I），，即. ，，. ； （II）当时，不等式可化为，即恒成立. ，. 当，即时，，恒成立，. ，，； 当，即时，，，不等式恒成立； 当，即时，，恒成立，. ，，. 综上，实数的取值范围为.. 【点睛】恒成立问题多参变分离后转化为最值问题，通过分类讨论等方法快速求出参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$