精品解析：江苏省南菁高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（创新班）

江阴南菁高中2024-2025第一学期期末考试 高一数学（创新班） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等可得的值，计算即可得到. 【详解】根据复数相等可得，解得， ∴，， ∴. 故选：C. 2. 已知直线与直线互相垂直，则为（ ） A. B. 或0 C. D. 或0 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以 ，解得或. 故选：B 3. 在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 拋物线 【答案】B 【解析】 【分析】易得点在圆内，则圆内切与圆，再根据椭圆的定义即可得解. 【详解】因为，所以点在圆内， 所以圆内切与圆， 由两圆内切的关系可知，， 从而， 所以点轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：B. 4. 已知平面，其中，法向量，则下列各点不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合各项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论. 【详解】对A，，， 则该点不在平面内，A正确； 对B，，， 则该点在平面内，B错误； 对C，，, 则该点在平面内，C错误； 对D，,, 则该点在平面内，D错误； 故选：A 5. 已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，得到即为棱与底面所成的角，再由棱台的体积公式求解即可. 【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面所成角即为与平面所成角， 设点在平面上的射影为，在平面上的射影为， 则为的中心，为的中心， 则即为棱与底面所成的角，而， 设的高为，由等面积公式得， 解得，由等边三角形的性质得， 同理可得，故， 故， 所以棱台的高，因为正三棱台的上底面边长， 下底面边长，所以， 同理可得， 则上，下底面的面积分别为和， 则棱台的体积，故B正确. 故选：B 6. 已知圆与圆有且仅有三条公切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公切线条数可确定两圆外切，由圆与圆位置关系的判断可构造方程得到，令，代入消元，将问题转化为一元二次方程有解的问题，由此可求得的取值范围. 【详解】由圆方程知：圆心，半径； 由圆方程知：圆心，半径； 圆和圆有且仅有三条公切线，两圆外切， ，即， 设，则，， 即，，解得：， 的取值范围为. 故选：D. 7. 已知点在抛物线上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和点到直线的公式可得目标代数式的几何意义，故可求其最小值. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以． 表示点到轴的距离与 到直线的距离之和的倍， 点到轴的距离等于点到准线的距离减1， 设抛物线的焦点为，则点到轴的距离等于， 故， 设点到直线的距离为， 如图，由图知， 所以的最小值为， 故选：D． 8. 如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左､右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，当圆的面积为时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为，又根据圆的面积可求出半径，可知圆心，可求出，因为是的角平分线，借助于角相等可求直线的斜率. 【详解】由题意可知，，， 所以， 设， 则， 即， 设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则， 因为，所以， 于是， 因为是的角平分线， 所以， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知两个复数满足，且，则下面选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，模长的计算，以及共轭复数的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B正确; 对C：，故，故C错误； 对D：，故D正确； 故选：BD. 10. 已知双曲线的一条渐近线过点，为的右焦点，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ） A. 离心率为 B. 两条渐近线的夹角的余弦值为 C. 若直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的面积为 D. 若，双曲线上一点到渐近线的距离为，则点到另一条渐近线的距离为2 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据渐近线过点得到即可；对于B，设渐近线的倾斜角为，则两条渐近线的夹角为求解即可；对于C，由题意得到直线的方程为或，求得焦点F，由求解即可；对于D，先求得双曲线的方程，设，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】对于A，根据题意，渐近线斜率，则离心率，故A错误； 对于B，设渐近线的倾斜角为，则，所以，则两条渐近线的夹角为， 所以，所以，故B正确； 对于C，若直线与双曲线的一条渐近线垂直，则直线的斜率，则直线的方程为 或，所以或， 则的面积为或，故C错误； 对于D，由A选项可得，双曲线的离心率，又，则，， 所以双曲线的方程为，设，则，即， 双曲线的两条渐近线方程为，则点到两渐近线的距离之积为 ，因为，所以，故D正确． 故选：BD． 11. 如图所示，在长方体中，，，，是中点，点在侧面（含边界）上运动，则（ ） A. 直线与所成角余弦值为 B. 存在点（异于点），使得四点共面. C. 存在点使得 D. 若点到平面距离与到点的距离相等，则点的轨迹是抛物线的一部分 【答案】ABD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，根据题中条件，得到各点坐标，求出直线与的方向向量，计算向量夹角，即可判定A正确；取中点为，用向量的方法证明，点在线段上（除点外）即可，故B正确；设，假设，根据向量数量积为零列出方程求解，可判断C错；根据点到平面距离与到点的距离相等，求出点轨迹方程，可判断D正确. 【详解】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，是中点，点在侧面（含边界）上运动， 所以，，，，，，， ， 则，， 因为异面直线所成角的范围是， 因此直线与所成角余弦值为，即A正确； B选项，取中点为，则，则，又， 则，所以，因此当点在线段上（除点外），都能使得，即四点共面，故B正确； C选项，由题意，设，则， 又，若，则，解得不在范围内，所以不存在点使得，即C错； D选项，同C选项，设，则点到平面距离为，点到点的距离为， 因为点到平面距离与到点的距离相等，所以，整理得其中，即点的轨迹方程为，是抛物线的一部分，即D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 求空间角的常用方法： （1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线l经过点，且点，到直线l的距离相等，则直线l的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】当直线l的斜率不存在时，方程为，显然点，到直线l的距离相等，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 根据题意，得，即，可得，解得， ∴直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或． 故答案为：或． 13. 正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由正方体的性质可得点到的距离即为点平面的距离，在平面中，由可确定点的轨迹为圆，进而可确定点在直线上，且，根据正方体的性质和为直角三角形，进而可得 三棱锥外接球的半径为，进而可得. 【详解】由题意点到平面的距离最大时，三棱锥的体积取最大值， 由正方体的性质可知平面平面，且平面平面， 故点到的距离即为点平面的距离， 如图以正方形的边为轴建立平面直角坐标系，则，， 设，则由可得， 整理得，故点的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故点到的最大距离为，此时点在直线上， 由正方体的性质可得平面，又平面， 故，为直角三角形，同理也为直角三角形， 故的中点到的距离都相等，即为三棱锥外接球的球心， 其半径为， 故其表面积为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题先需根据确定点的轨迹为圆，当三棱锥的体积取最大值时，可确定点的位置，进而根据正方体的性质可得为外接球的直径，进而可得. 14. 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则_______，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据椭圆定义可得出，可得出，当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，可求出的值，进而可得出，根据椭圆的光学性质可得出点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】根据椭圆定义得， 所以，， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立， 因为的最大值为6，且，则，解得， 则. 设切椭圆于点， 由椭圆的光学性质可得、、三点共线，， 则点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆， 所以，到直线的距离为， 由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线方程，利用待定系数法求出方程. （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，借助中点坐标求解. 【小问1详解】 由双曲线与双曲线有相同的渐近线，设双曲线的方程为， 而点在双曲线上，因此，方程为， 所以双曲线标准方程为. 【小问2详解】 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得， 由线段的中点为，得，解得， 此时方程为，，因此， 所以直线的方程为，即. 16. 已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. （1）当点的横坐标为2时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的方程可求得圆心与半径，利用点在直线上求得点的坐标，分过点的切线斜率是否存在两种情况讨论可求得切线方程； （2）由题意可得，又，故求得的最小值即可. 【小问1详解】 由圆，可得圆心，半径， 点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为， ①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，； ②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为， 即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：， ， 此时，切线方程为， 化简，得， 切线方程为或； 【小问2详解】 为公共边，， ， 又当最小时，最小， 由题意可知，当时，最小， 此时，， ， 四边形面积最小值为. 17. 已知点，分别为椭圆C：的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且满足直线PA与直线PB的斜率之积为． （1）求椭圆C的离心率； （2）若，直线与椭圆C的另一个交点为Q，且直线与直线相交于点M，O为坐标原点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，由，利用斜率公式可得，进而可得，即可求得椭圆C的离心率； （2）由已知可得椭圆C的方程为，设，设出直线和直线的方程，设直线PQ：，可得，联立，化简后，由韦达定理可得，代入，可得，又直线的斜率不能为0，所以点M不取，可得点M的轨迹为，所以的取值范围为． 【小问1详解】 由题知，，， 设点，由，可得， 又，即，所以， 所以， 所以，即，则， 故椭圆C的离心率． 【小问2详解】 由（1）可得，又因为，可得，所以，，， 则椭圆C的方程为，则，， 设，直线的方程为：， 直线的方程为：， 联立，两式相除可得， 即， 设直线PQ：，所以，， 代入可得， 联立，整理得， ， 所以， 所以，即， 所以， 则，解得， 当直线的斜率为0时，与重合，不满足题意，所以点M不取， 可得点M的轨迹为，所以的取值范围为． 18. 由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. （1）求证：平面； （2）若二面角的正切值为，求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）法一：将几何体补成四棱柱，得到四边形为平行四边形，故，得到线面平行； 法二：得到两两垂直，建立空间直角直角坐标系，得到平面的法向量，从而得到，得到结论； （2）设，作出辅助线，找到二面角的平面角为，根据正切值得到方程，求出，求出平面的法向量，得到平面与平面夹角的余弦值，求出答案； 【小问1详解】 法一：将几何体补成四棱柱， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 又， 故，， 故四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 平面. 法二：∵四边形是菱形， ∴⊥， 又平面，平面， ∴，， 故两两垂直， 以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 其中， 则，设， 由得， 由得， 则， 设平面的法向量为， 则，取，得， ， 又平面， 平面. 【小问2详解】 设，取的中点，则， 又四边形是菱形，， 因为平面，平面， 所以， 因，平面， 故面， 因为平面， 则， 因为且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 又，故四边形为平行四边形， 故，，故. 所以为二面角的平面角. 则，其中，故， 故， 设平面的法向量为， 则取，得， ， 平面与平面夹角的余弦值为， 平面与平面夹角为. 19. 已知抛物线，直线l与抛物线相交于不同的两点. （1）若直线经过抛物线的焦点，且弦长，求的值； （2） 若直线经过点，求的面积的最小值（为坐标原点）； （3）是否存在定圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）4 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义直接求焦点弦长；（2）利用韦达定理和面积公式表示出面积即可求解；（3）根据直线与圆相切列出等式，利用韦达定理列出等式，再根据所列方程与无关即可确定的值.. 【小问1详解】 ,所以. 【小问2详解】 设直线的方程为 ， 当且仅当，即轴时，等号成立， 所以的面积的最小值为 【小问3详解】 设 直线的方程为，即, 整理得， 则直线与圆相切 得， 即， 同理可得， 易知，否则直线与抛物线只有一个交点， 所以，是方程的两个根， 所以 由直线与圆相切可得， 平方得，即 ， 化简得 ， 上式对任意的恒成立，所以， 当时，，舍去 当时， 综上，存在定圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江阴南菁高中2024-2025第一学期期末考试 高一数学（创新班） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 2. 已知直线与直线互相垂直，则为（ ） A. B. 或0 C. D. 或0 3. 在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 拋物线 4. 已知平面，其中，法向量，则下列各点不在平面内的是（ ） A B. C. D. 5. 已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆有且仅有三条公切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在抛物线上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 8. 如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左､右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，当圆的面积为时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知两个复数满足，且，则下面选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的一条渐近线过点，为的右焦点，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ） A. 离心率为 B. 两条渐近线的夹角的余弦值为 C. 若直线与双曲线一条渐近线垂直，则的面积为 D. 若，双曲线上一点到渐近线的距离为，则点到另一条渐近线的距离为2 11. 如图所示，在长方体中，，，，中点，点在侧面（含边界）上运动，则（ ） A. 直线与所成角余弦值为 B. 存在点（异于点），使得四点共面. C. 存在点使得 D. 若点到平面距离与到点的距离相等，则点的轨迹是抛物线的一部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线l经过点，且点，到直线l的距离相等，则直线l的方程为______． 13. 正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为_______. 14. 椭圆光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则_______，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 16. 已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. （1）当点的横坐标为2时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 17. 已知点，分别为椭圆C：的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且满足直线PA与直线PB的斜率之积为． （1）求椭圆C的离心率； （2）若，直线与椭圆C的另一个交点为Q，且直线与直线相交于点M，O为坐标原点，求的取值范围． 18. 由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. （1）求证：平面； （2）若二面角的正切值为，求平面与平面夹角的大小. 19. 已知抛物线，直线l与抛物线相交于不同的两点. （1）若直线经过抛物线的焦点，且弦长，求的值； （2） 若直线经过点，求的面积的最小值（为坐标原点）； （3）是否存在定圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $