高二数学期中模拟卷02（新高考八省专用，测试范围：人教A版2019选修数列+导数+计数原理）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷02 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第四~五章-选择性必修第三册第六章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．若，则（    ） A．2 B．8 C．2或8 D．2或4 3．下列求导错误的是（    ） A． B． C． D． 4．在等差数列中，若其前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D． 5．的展开式中，含项的系数为，则（    ） A．1 B． C． D． 6．已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则  （     ） A．4 B．2 C． D． 7．已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B．1 C． D． 8．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．在区间上是增函数 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 10．将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（    ） A．戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B．诗集相邻的不同放法有种 C．四大名著互不相邻的不同放法有种 D．四大名著不放在两端的不同放法有种 11．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为 ．（数字作答） 13．已知等比数列的各项均为正数，且，则 ． 14．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.    （1）求的值； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 16．（15分） 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数. (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表. 17．（15分） 已知等差数列满足：，其前项和为. (1)求数列的通项公式与前项和 (2)若，求数列的前项和. 18．（17分） 某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式． (2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：） 19．（17分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷02 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A C D C A A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．8 13．15  14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）由题意知：，则第4项的系数为 倒数第4项的系数为（2分）， 则有即，.（4分） （2）由（1）可得 当时所有的有理项为 即，，（6分） ，.（8分） （3）设展开式中第项的系数最大，则 （10分） ，（12分） 故系数最大项为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男， 所以先选有种方法，后排有种方法， 所以共有不同选法（种）.（3分） （2）先在剩余的7人中选出4人，有种选法，然后排列，有种方法，根据分步乘法计数原理，即可得出共有不同选法（种）.（7分） （3）分步： 第一步，先安排不担任语文科代表的某男生，有种方法； 第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法； 第三步，选出的4人排列，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）.（11分） （4）第一步，安排某男生，有种方法； 第二步，从剩余的6人中选出3人，有种选法； 第三步，选出的3人排列，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）．（15分） 17．（15分） 【详解】解：（1）设等差数列的公差为，首项为， 则，解得：，（5分） ，.（7分） （2）由（1）可得（10分） 数列的前项和为（13分） .（15分） 18．（17分） 【详解】解（1）由题意知，需要新建的高压线塔为座． （3分）     所以，    （6分）         即．（8分） （2）由（1），得，（10分） 令得或（舍去）．    （12分）      由，得；由，得， 所以函数y在区间上单调递减；在区间上单调递增．           所以当时，函数y取得最小值， 且，（15分） 此时应建高压线塔为（座）．         故需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元．（17分） 19．（17分） 【详解】解：（1）由题意知函数，故（2分） 故， （4分） 故曲线在点处的切线方程为；（5分） （2）由（1）可知：令，解得， 故的单调递减区间为；（7分） 令，解得， 故的单调递增区间为；（9分） 则为函数的极小值点，则函数极小值为，无极大值；（11分） （3）在上恒成立， 即，此时，即在上恒成立，（13分） 令，则，（15分） 故在上单调递增； 故， 故.（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷02 答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D ] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ______ ______________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期期中模拟卷 02 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷02 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第四~五章-选择性必修第三册第六章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．若，则（    ） A．2 B．8 C．2或8 D．2或4 3．下列求导错误的是（    ） A． B． C． D． 4．在等差数列中，若其前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D． 5．的展开式中，含项的系数为，则（    ） A．1 B． C． D． 6．已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则  （     ） A．4 B．2 C． D． 7．已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B．1 C． D． 8．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．在区间上是增函数 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 10．将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（    ） A．戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B．诗集相邻的不同放法有种 C．四大名著互不相邻的不同放法有种 D．四大名著不放在两端的不同放法有种 11．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为 ．（数字作答） 13．已知等比数列的各项均为正数，且，则 ． 14．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.    （1）求的值； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 16．（15分） 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数. (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表. 17．（15分） 已知等差数列满足：，其前项和为. (1)求数列的通项公式与前项和 (2)若，求数列的前项和. 18．（17分） 某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式． (2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：） 19．（17分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第四~五章-选择性必修第三册第六章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【详解】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合. 故选：A 2．若，则（    ） A．2 B．8 C．2或8 D．2或4 【答案】A 【详解】由组合数的性质可得，解得， 又，所以或， 解得或（舍去）. 故选：A. 3．下列求导错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算法则可知，A，B，D求导正确，，C错误． 故选：C． 4．在等差数列中，若其前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由等差数列的性质可得 45 故选：D． 5．的展开式中，含项的系数为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】的展开式的通项公式为，令，可得； 所以含项的系数为，即，解得. 故选：C. 6．已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则  （     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，则， 由于，，成等差数列，则，即， 因为，整理得，即， ，解得， 因此，. 故选：A . 7．已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以，解得. 故选：A 8．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据“躺平点”定义可得，又； 所以，解得； 同理，即； 令，则，即为上的单调递增函数， 又，所以在有唯一零点，即； 易知，即，解得； 因此可得.故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．在区间上是增函数 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】BC 【详解】根据图象知当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减.故A错误，故C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：BC. 10．将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（    ） A．戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B．诗集相邻的不同放法有种 C．四大名著互不相邻的不同放法有种 D．四大名著不放在两端的不同放法有种 【答案】ABC 【详解】A选项，戏曲书放在正中间，其余6本书和6个位置进行全排列，共有种不同放法，A错误； B选项，将两本诗集进行捆绑，有2种放法，再将捆绑的诗集和剩余的5本书， 进行全排列，此时有种放法，故诗集相邻的不同放法有种，B正确； C选项，先将诗集和戏曲进行全排列，有种方法，且3本书互相之间有4个空， 将4大名著进行插空，有种方法，故共有种放法，C正确； D选项，将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，有种放法， 再将剩余5本书和5个位置进行全排列，有种放法， 故四大名著不放在两端的不同放法有种，D错误. 故选：ABC 11．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】令得，所以选项A正确； 令得，所以， 所以选项B错误； 令得， 又， 两式相加得，所以选项D正确； 令，所以， 所以， 其展开式的通项为令， 所以，故选项C正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为 .（数字作答） 【答案】 【详解】先对男生进行排列共有种排法，产生个空插入女生，中间一个空必须有女生， 共有种排法，故共有种排法. 故答案为：. 13．已知等比数列的各项均为正数，且，则 . 【答案】 【详解】解析：因为等比数列的各项均为正数，且， 所以 ， 故答案为： 14．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知，则， 所以恒成立等价于恒成立. 由题意得在R上是增函数， 所以恒成立，即恒成立. 又，所以当时，取得最大值 所以，解得. 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.    （1）求的值； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 【详解】（1）由题意知：，则第4项的系数为， 倒数第4项的系数为， 则有即，. （2）由（1）可得， 当时所有的有理项为 即，， ，. （3）设展开式中第项的系数最大，则 ，，故系数最大项为. 16．（15分） 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数. (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表. 【详解】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男， 所以先选有种方法，后排有种方法， 所以共有不同选法（种）. （2）先在剩余的7人中选出4人，有种选法，然后排列，有种方法，根据分步乘法计数原理，即可得出共有不同选法（种）. （3）分步： 第一步，先安排不担任语文科代表的某男生，有种方法； 第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法； 第三步，选出的4人排列，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）. （4）第一步，安排某男生，有种方法； 第二步，从剩余的6人中选出3人，有种选法； 第三步，选出的3人排列，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）． 17．（15分） 已知等差数列满足：，其前项和为. (1)求数列的通项公式与前项和 (2)若，求数列的前项和. 【详解】解：（1）设等差数列的公差为，首项为， 则，解得：， ，. （2）由（1）可得， 数列的前项和为 . 18．（17分） 某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式． (2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：） 【详解】解（1）由题意知，需要新建的高压线塔为座．           所以，             即． （2）由（1），得，          令得或（舍去）．          由，得；由，得， 所以函数y在区间上单调递减；在区间上单调递增．           所以当时，函数y取得最小值， 且， 此时应建高压线塔为（座）．         故需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元． 19．（17分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 【详解】解：（1）由题意知函数，故 故， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由（1）可知：令，解得， 故的单调递减区间为； 令，解得， 故的单调递增区间为； 则为函数的极小值点，则函数极小值为，无极大值； （3）在上恒成立， 即，此时，即在上恒成立， 令，则， 故在上单调递增； 故， 故. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$