精品解析：四川省荣县中学校2024-2025学年高二下学期第一次（3月）月考数学试题

荣县中学校高2026届2025年上半年第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷总分：150） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义及已知求值即可. 【详解】由题设. 故选：C 2. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为是方程的两个根， 所以， 又因为在等比数列中，， 又因为是正项等比数列，所以， 所以， 故选:B. 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. 和 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求得的单调递增区间. 【详解】由题设，且， 可得，所以递增区间为. 故选：C 4. 已知数列中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的概念判断数列为等差数列，求通项公式，再求. 【详解】由，得，又. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 所以. 故选：D 5. 已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的判断方法,分充分性和必要性,分别判断. 【详解】充分性：若对，，都有， 则令,得,即，因为为常数,所以数列为等差数列; 必要性:等差数列不一定满足,,, 例如:当等差数列通项公式为时,,, 此时,所以,,”是“数列为等差数列的充分不必要条件. 故选：A 6. 函数在上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案. 【详解】， 因为函数在上不单调， 所以函数有零点， 所以方程 有根， 所以函数与 有交点（且交点非最值点）， 因为函数的值域为， 所以 . 故选：D 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数可求得，分别代入和，整理可得的大小关系. 【详解】令，则， 所以在上单调递增，所以， 即，所以，则，即； 令，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以（当且仅当时取等号），所以， 即（当且仅当时取等号），所以， 所以即， 综上所述：. 故选：D. 8. 若函数，且，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式可利用同构思想构造函数判断函数单调性，即求即可，再利用导数求得可求出. 【详解】易知的定义域为， 由可得，即； 因为，所以，即， 构造函数，则， 可知函数在上单调递增，因此， 即，所以， 令，则， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此在处取得极小值，也是最小值，； 即可得，解得. 所以正实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式恒成立利用指对同构等，通过构造函数转化为求函数极值、最值问题. 二、多项选择题：本题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 有最小值 D. 数列不是等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列的前项和公式，利用，求出数列的通项公式，结合等差数列的定义和性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 当时，， 当时，也满足上式，所以数列的通项公式为， 所以， 所以数列是公差为2的等差数列，所以，故B错误； 因为，所以当时，；当时，， 所以有最小值或，故C正确； 因为，所以， 所以，所以数列是等差数列，故D错误. 故选：AC. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，求导函数的零点，判断函数的单调性，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；利用比差法可判断的大小，由此判断D. 【详解】对于A：因为函数的定义域为，而 ， 令可得，或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故是函数的极小值点，所以A正确； 对于B，当，， 因为函数在上单调递增，所以， 故命题当时，错误；B错误； 对C，当时，， 因为函数在上单调递减，上单调递增， 所以，又，， 所以，C正确； 对D，当时，，所以，所以D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，过点作平行于轴的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点.则（ ） A. 当时，切线的方程为 B. 当时，的面积为 C. 点的坐标为 D. 面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知得，，由点斜式方程即可得切线方程，当，可得的坐标，即可判断；当时，可判断；根据面积公式即可判断；由已知得，通过求导即可求解最小值，即可判断. 【详解】由已知得，， 过点的切线方程为，当时，， 则，故正确； 当时，，则， 以为切点的切线方程为，即，故错误； 此时，的面积，故正确； 因为，，， 所以，，所以， 令，所以， 令，即，解得， 当时，，所以函数在内单调递减， 当时，，所以函数在内单调递增， 所以当时，函数有最小值，最小值为，故正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：解决选项的关键是确定点的坐标，构建关于三角形的面积的函数，利用导数求单调性和最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在上的极小值点为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值点. 【详解】因为，令，得或，当时，； 当时，，当时，， 所以在区间上是增函数，在区间上是减函数，在上是增函数． 故是函数的极小值点为. 故答案为：. 13. 若直线是曲线与曲线的公切线，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】直线与曲线联立求出，设与曲线相切于点，借助导数的几何意义求出的切线方程与比较可得答案. 【详解】直线与曲线联立， 得， 因为直线是曲线的切线， 所以，解得， 设与曲线相切于， 由得曲线在处的切线斜率为， 则曲线在处的切线方程为 ，即， 因为直线是曲线与曲线的公切线， 所以，解得， 即. 故答案为：. 14. 已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的单调性奇偶性得到，平方求解即可； 【详解】当时, ， 因为，所以，所以， 所以当时，单调递增； 又函数为偶函数，所以当时，函数单调递减， 所以， 等价于， 等价于， 平方可得：， 解得：或， 所以解集为：， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由导数的几何意义即可求解； （2）求导，确定函数单调性，即可求解； 【小问1详解】 易知函数的定义域为， 则，所以切线方程为 【小问2详解】 令，得或， 令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 所以. 16. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据等比数列的定义求解通项公式；(2)利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为数列满足，所以， 所以数列是等比数列，首项为，设公比为， 由，可得：，解得. . 【小问2详解】 ， ， ， ， . 17. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求出方程的解的个数． 【答案】（1）， （2） 当时，与没有交点，则方程的解为个； 当或或时，与有个交点，则方程的解为个； 当或时，与有个交点，则方程的解为个． 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可列出、、的关系表，从而得到函数的单调递增区间； （2）问题转化为函数的图象与直线的交点个数，根据（1）分析函数的取值情况，即可作出函数图象，数形结合即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为． ．令解得或． 则、、的关系列表如下： 0 0 0 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 的单调递增区间为． 【小问2详解】 方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数． 在（1）中可知：在区间上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，在处取得极小值， 令，得． 当时，的图像过点． 当时，，但始终在轴上方； 当从的左侧无限近于时，；当从的右侧无限近于时，； 当时，；当时，． 根据以上性质，作出函数的大致图象如图所示， 当时，与没有交点，则方程的解为个； 当或或时，与有个交点，则方程的解为个； 当或时，与有个交点，则方程的解为个． 18. 记，为数列的前n项和，已知，． （1）求，并证明是等差数列； （2）求． 【答案】（1），证明如下： 因为①，所以②． ②－①得，，整理得，， 所以（常数），， 所以是首项为6，公差为4的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）利用与前n项和的关系，由可得的值，即可求得的值；根据相减法求得为常数，证明其为等差数列； （2）由（1）中数列为等差数列，对进行奇偶讨论，即可求得. 【小问1详解】 已知， 当时，，；当时，，，所以． 证明：略 【小问2详解】 由（1）知，，，． 当n为偶数时，； 当n为奇数时，． 综上所述，. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，证明：； （3）设，证明：． 【答案】（1）的减区间为，增区间为 （2） 要证，只要证， 令，则， 所以只需证成立， 即对任意的恒成立． 设，则恒成立， 所以时，单调递减， 所以，所以， 即证得. （3） 对任意的恒成立． 所以对任意的，有， 所以， 所以， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出的单调区间； （2）将问题转化为证成立，令，则进一步将问题转化为证对任意的恒成立，构造函数，利用导数可证得结论； （3）由（2）对任意的，有，即，然后利用累加法可证得结论. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，第（3）问解题的关键是由（2）的结论可得对任意的，有，化简后利用累加法可证得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣县中学校高2026届2025年上半年第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷总分：150） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. 和 C. D. 4. 已知数列中，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数在上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，且，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 有最小值 D. 数列不是等差数列 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 已知函数，过点作平行于轴的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点.则（ ） A. 当时，切线的方程为 B. 当时，的面积为 C. 点的坐标为 D. 面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在上的极小值点为_______． 13. 若直线是曲线与曲线的公切线，则___________． 14. 已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值． 16. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 17. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求出方程的解的个数． 18. 记，为数列的前n项和，已知，． （1）求，并证明是等差数列； （2）求． 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，证明：； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $