精品解析：天津市小站第一中学2024-2025学年高二下学期第一次（3月）月考数学试题

天津市小站第一中学高二下学期第一次月考数学试卷 一、单选题(本大题共9小题，共36.0分) 1. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，得到曲线在点处的斜率，写出切线方程. 【详解】因为， 所以曲线在点处斜率为4， 所以曲线在点处的切线方程是， 即， 故选：B 2. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，进行求解即可． 【详解】已知曲线在点处的切线方程为，∴， 切线的斜率k＝-2，即，则. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的计算，根据导数的几何意义，以及切线与曲线之间的关系是解决本题的关键，属于基础题． 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合导函数图象确定正确选项. 【详解】函数的极小值点需满足左减右增，即且左侧，右侧， 由图可知，一共有个点符合. 故选：A 4. 从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有（ ） A. 9个 B. 12个 C. 15个 D. 18个 【答案】B 【解析】 【分析】由排列数即可求解； 【详解】由题意可知：从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有； 故选：B 5. 6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（ ） A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】先将甲乙捆绑在一起，然后将其看成一个元素与其余4人一起进行全排列可得. 【详解】先将甲､乙两人排成一排共种排法，将甲､乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有种，所以甲､乙两人在一起的不同排法共有种排法. 故选：C 6. 直线与函数的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用导数法研究函数的单调性与极值，结合数形结合方法即可求解 【详解】因为， 所以， 令，解得或， 由，解得或， 由，解得， 所以在上递增，在递减，在递增， 当时，取得极大值且为， 当时，取得极小值且为， 因为直线与函数的图象有三个不同的交点， 所以实数的取值范围为， 故选：A 7. 某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】利用间接法求解．从六科中选考三科的选法有，其中包括了没选物理、化学、生物中任意一科与没选政治、历史、地理中任意一科，这两种选法均有，因此考生共有多少种选考方法有种． 8. 下列函数中，在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选项A根据正弦函数的性质进行判断，选项BCD通过导数进行判断即可. 【详解】A：因为当时，函数单调递减，故本选项不符合题意； B：，因为时，，所以函数在内为增函数，故本选项符合题意； C：，当时，，此时函数单调递减，故本选项不符合题意； D：，当时，，此时函数单调递减，故本选项不符合题意， 故选：B 9. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分离参数，构造新函数，转化为与新函数最值关系，利用导数求出新函数最值，即可得出结论. 【详解】关于的不等式在上有解， 即在上有解， 设， ， 恒成立，即在上为增函数， . 故选：C. 【点睛】本题考查不等式能成立问题、应用导数求函数的最值，分离参数构造函数是解题的关键，属于中档题. 二、单空题(本大题共6小题，共24.0分) 10. 计算：______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，由组合数和排列数公式计算可得答案． 【详解】根据题意，4×3＝21﹣12＝9， 故答案为：9 11. 已知 ，则函数的最大值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】求导，确定函数单调性，即可求解； 【详解】由， 得， 由，可得或， 由，可得：， 即在单调递减， 所以在单调递减， 所以最大值为：， 故答案为： 12. 已知，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，代入求值即可. 【详解】由，得， 把代入得：，解得. 故答案为：. 13. 6名学生，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，剩下1人既会唱歌又会跳舞，选出2人唱歌2人跳舞，共有______种不同的选法.（请用数学作答） 【答案】12 【解析】 【分析】 根据既会唱歌又会跳舞那1个人未选中和选中分类，选中后又选为唱歌还是跳舞再分类求解． 【详解】根据既会唱歌又会跳舞的那1个人未选中，选中唱歌，选中跳舞分类： ． 故答案为：12. 【点睛】本题考查组合的应用，解题关键是多面手的安排．可按多面手的作用分类：未选中多面手，选中多面手后安排做一种工作．再确定其它要选的人数． 14. 若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求导，若函数有三个单调区间，则只需满足 有两个不等的实根. 【详解】∵函数， ∴， 由函数恰好有三个单调区间，得有两个不相等的零点， ∴有两个不相等的实数根， 则只需满足：，解得且. 即， 故答案为：. 【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，较简单，解答时将问题灵活转化是关键. 15. 若函数在区间上是单调递增函数，则实数取值范围是_____________________________． 【答案】 【解析】 【详解】，令，得，即函数的单调递增区间为，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得；故填. 点睛：已知函数在所给区间上单调递增，求有关参数的取值范围，往往采用以下两种方法： ①求出函数的单调递增区间，通过所给区间是该函数的单调递增区间的子集进行求解； ②将问题转化为在所给区间上恒成立进行求解. 三、解答题(本大题共5小题，共60.0分) 16. 已知函数在处有极值 （1）求实数a、b的值; （2）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】（1）由求解即可； （2）求导确定函数单调性，即可求解； 【小问1详解】 由题意得，定义域为 因为在处有极值， 所以， 解得； 经验证符合题意； 【小问2详解】 由(1) ，所以，， 令，在定义域内解得，当时，，所以单调递减；当时，，单调递增， 当， ，易得， 所以当时，，． 17 高二年级(1)班有6人参加数学小组，(2)班有5人参加物理小组，(3)班有4人参加化学小组，问： （1）选其中1人担任数理化小组组长，有多少种不同的选法? （2）每班选1人参加全国数理化竞赛，有多少种不同的选法? （3）选取其中两人参加不同的学科竞赛，有多少种不同的选法? 【答案】（1）15 （2）120 （3）74 【解析】 【分析】（1）由分类加法计数原理即可求解； （2）由分步乘法计数原理即可求解； （3）先分类再分步即可求解； 【小问1详解】 选其中1人担任数理化小组组长，可以来自数学或物理或化学， 所以共有种选法； 【小问2详解】 分三步完成，第一步数学选1人，6种，第二步物理选1人，5种，第三步化学选1人，4种， 所以共有种； 【小问3详解】 来自数学、物理共有， 来自数学化学共有， 来自物理化学共有， 所以总共由种选法； 18. 已知函数 其中a为实数. （1）当 时，求曲线 )在点处的切线方程; （2）求函数的单调区间； （3）若函数有且仅有一个零点，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）函数的单调递增区间是，；单调递减区间是； （3） 【解析】 【分析】（1）求导，确定斜率即可求解； （2）由和即可求解； （3）求得极值，通过极大值小于0，或极小值大于0，求解即可； 【小问1详解】 当时，， 所以，， 所以，所以切线方程为：，即； 【小问2详解】 由，可得或， 由，可得：， 所以函数的单调递增区间是，；单调递减区间是； 【小问3详解】 由（2）知极大值为：，极小值为：， 当，故若函数有且仅有一个零点， 需满足：或， 解得：或， 即a的取值范围是； 19. 已知函数的图像在点处的切线方程为. （1）求的表达式； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)根据题干和导数的几何意义得到，解得，，解得，从而得到解析式；（2）原式等价于，令，对函数求导得到函数的单调性，进而得到最值. 【详解】（1），，解得， ，解得， 所以. （2）当时，， 即. 令， 则 . 令，， 当时，单调递增，， 则当时，即，所以单调递减； 当时，即，所以单调递增， 综上，，所以. 【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数． 20. 设函数. （Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a； （Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【详解】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（2）对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围. 详解： 解：（Ⅰ）因为， 所以. ， 由题设知，即，解得. （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得. 若a>1，则当时，； 当时，. 所以在x=1处取得极小值. 若，则当时，， 所以. 所以1不是的极小值点. 综上可知，a的取值范围是. 方法二：. （1）当a=0时，令得x=1. 随x变化情况如下表： x 1 + 0 − ↗ 极大值 ↘ ∴在x=1处取得极大值，不合题意. （2）当a>0时，令得. ①当，即a=1时，， ∴在上单调递增， ∴无极值，不合题意. ②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表： x 1 + 0 − 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴在x=1处取得极大值，不合题意. ③当，即a>1时，随x的变化情况如下表： x + 0 − 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意. （3）当a<0时，令得. 随x的变化情况如下表： x − 0 + 0 − ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴在x=1处取得极大值，不合题意. 综上所述，a的取值范围为. 点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题. 解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市小站第一中学高二下学期第一次月考数学试卷 一、单选题(本大题共9小题，共36.0分) 1. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有（ ） A. 9个 B. 12个 C. 15个 D. 18个 5. 6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（ ） A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 6. 直线与函数图象有三个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 7. 某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法 A B. C. D. 8. 下列函数中，在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、单空题(本大题共6小题，共24.0分) 10. 计算：______． 11. 已知 ，则函数的最大值为____________ 12. 已知，则_______ 13. 6名学生，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，剩下1人既会唱歌又会跳舞，选出2人唱歌2人跳舞，共有______种不同的选法.（请用数学作答） 14. 若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是_________． 15. 若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是_____________________________． 三、解答题(本大题共5小题，共60.0分) 16. 已知函数在处有极值 （1）求实数a、b的值; （2）求函数在上最值. 17. 高二年级(1)班有6人参加数学小组，(2)班有5人参加物理小组，(3)班有4人参加化学小组，问： （1）选其中1人担任数理化小组组长，有多少种不同的选法? （2）每班选1人参加全国数理化竞赛，有多少种不同的选法? （3）选取其中两人参加不同的学科竞赛，有多少种不同的选法? 18. 已知函数 其中a为实数. （1）当 时，求曲线 )在点处的切线方程; （2）求函数的单调区间； （3）若函数有且仅有一个零点，求a的取值范围. 19. 已知函数的图像在点处的切线方程为. （1）求的表达式； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 20 设函数. （Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a； （Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$