数学（河南卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

2025年中考第二次模拟考试（河南卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C D C D A D A A D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. （3分） 12. 5（3分） 13. （3分） 14．（3分） 15. （3分） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分） 【详解】解：（1）原式．（5分） （2）原式．（10分） 17．（9分） 【详解】（1）解： A班的人数：（人）（1分） B班的人数：（人）（2分） 答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人． （2）， ， 从平均数看，B班成绩好于A班成绩．（3分） 从中位数看，A班中位数在这一范围，B班中位数在这一范围，B班成绩好于A班成绩．（4分） 从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩好于A班成绩．（5分） （3）前测结果中： 从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．（6分） 从中位数看，两班前测中位数均在这一范围，后测A班中位数在这一范围，B班中位数在这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．（8分） 从百分率看，A班15分以上的人数增加了100%，B班15分以上的人数增加了600%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．（9分） 18．（9分） 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：；（3分） （2）如图，直线即为所作； （6分） （3）证明：如图， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴，（8分） ∴， ∴．（9分） 19.（9分） 【详解】（1）如图，即为所作； （4分） （2）证明：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，（6分） ∴， ∴，（8分） ∴．（9分） 20．（9分） 【详解】解：过点B作交于点E， 易知四边形为矩形，（1分） ， 在中，，， ，（3分） 在中，，， ，（6分） ， 的高度为32．（9分） 21（9分） 【详解】（1）解：设甲种家电每件的进价是元，则乙种家电每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴（元）， ∴甲种家电每件的进价是元，则乙种家电每件的进价是元；（3分） （2）解：设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件， 由题意得：， 解得：， ∴该商场至少购进甲种家电件；（5分） （3）解：设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，利润为元， ∵在（2）的条件下，甲、乙两种家电分别在进价的基础上提价、进行销售， ∴甲种家电的利润为：（元），乙种家电的利润为：（元），（7分） ∴， ∵， ∴随的减小而增大， ∴当时，有最大值，最呆滞为（元）， ∴这100件家电全部售完，能获得的最大利润是元．（9分） 22. （10分） 【详解】（1）解：∵当排球飞行的水平距离为时达到最大高度，， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴．（3分） （2）解：当时，， ∴此球能够过网； 根据题意得右边界的坐标为 ∴当时，， 解得，（舍去）， ∵， ∴不会落在界内，会出界．（6分） （3）解：小乐继续按同样的高度、角度和力度发球， ∴设击出的排球轨迹为， 当该轨迹经过球网的顶端坐标时， ，解得，（舍去） ∴，（8分） 此时当时，解得：（舍去）或． ∴， 当该轨迹经过右边界的坐标时，， 解得（不符合题意的根舍去）， ∴， 此时当时，或（舍去）， ∴， 经过分析，若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），（10分） 23. （10分） 【详解】（1）解：①∵，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴四边形是正方形； 故答案为：正方形；（1分） ②根据平移的性质可得，， 如图所示，连接，，    ∵，都是等腰直角三角形， ∴， ∵将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）， ∴，，且， ∴在中， ， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：，平行四边形．（2分） （2）解：可以是菱形，理由如下： 如图所示，连接，，    ∵，，， ∴，，（3分） ∵将三角板沿方向平移， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形．（4分） ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴．（6分） （3）解：∵含角的直角三角板，即，边长为， ∴， ①当时，为等腰三角形，如图所示，    ∵，， ∴， ∴，且， ∴， ∴点是的中点， ∴；（8分） ②当时，为等腰三角形，如图所示，    ∵，，， ∴在中，， ∵为等腰三角形，， ∴；（9分） ③当时，为等腰三角形，如图所示，    与“将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）”矛盾， ∴不存在； 综上所示，当为等腰三角形时， 的长为或（10分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试（河南卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．给出四个实数，2，0，-1，其中无理数是（     ） A． B．2 C．0 D．-1 2．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（     ） A． B． C． D． 3．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（     ） A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变 C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 7．在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，则的长为（     ） A．4 B．6 C． D．5 8．数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数与 (m，n为常数，)的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ）    A．   B．   C．   D．   9．如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为（     ） A．6 B． C．8 D．12 10．某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（     ） A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 C．本次充电持续时间是120分钟 D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．如果水位升高记作，那么水位下降表示为 ． 12．不等式组的整数解的和是 ． 13．小亮和小智相约中考结束后一起参观河南省科技馆．他们想要参观的有动物家园、创享空间、探索发现、宇宙天文四个展厅．由于下午才到，时间有限，他们两个决定利用抽签的方式随机抽取两个展厅进行参观，则恰好抽到动物家园和宇宙天文的概率为 ． 14．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ． 15．如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为 ，的最大值为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （10分）（1）计算：； （2）化简：． 17. （9分）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2． 表1：前测数据 测试分数x 控制班A 28 9 9 3 1 实验班B 25 10 8 2 1 表2：后测数据 测试分数x 控制班A 14 16 12 6 2 实验班B 6 8 11 18 3 (1)A，B两班的学生人数分别是多少？ (2)请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据． (3)通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价． 18. （9分）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图） (3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：． 19.（9分）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的垂直平分线与边交于点D，连接，求证：． 20.（9分）聊城西站自开通以来给聊城人民出行带来了极大的便利，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中，开展了测量聊城西站楼顶P处到地面的距离，实践报告如下： 活动课题 测量聊城西站楼顶P处到地面的距离（的长度） 活动工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 说明 为站台北侧扶梯，点A为扶梯底端，点B为扶梯顶端，平台 测量数据         解决问题 根据以上数据计算聊城西站楼顶P到地面的高度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题（参考数据：，，，，结果保留整数） 21.（9分）在2024的“”来临之际，某商场计划采购一批甲和乙两种厨房小家电．已知乙种家电的进价比甲种家电的进价每件多100元，用1万元购进甲种家电的件数与用1.2万元购进乙种家电的件数相同．请解答下列问题： (1)这两种家电每件的进价分别是多少元？ (2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过54000元，则该商场至少购进甲种家电多少件？ (3)在（2）的条件下，甲、乙两种家电分别在进价的基础上提价、进行销售，这100件家电全部售完，能获得的最大利润是多少？ 22.（10分）如图，排球运动场的长为，球网在场地中央，高度为，排球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．小乐在场地左侧边界处（距球网）练习发球，某次发球，击球点的高度为，当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度．小乐同学建立了如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求此抛物线的解析式（不写自变量的取值范围）． (2)通过计算判断此球是否能够过网．若能过网，请进一步判断是否会出界． (3)小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，要使球既能过网又不出界，请直接写出发球点距离球网的距离 d 的取值范围．（结果保留根号） 23. （10分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置． 根据以上操作，填空： ①图1中四边形的形状是______； ②图2中与的数量关系是______；四边形的形状是______． (2)迁移探究 小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：将三角板按（1）中方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长． (3)拓展应用 在（2）的探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长为______． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第二次模拟考试（河南卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8 个小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10 分） 17. （9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （9 分） 19. （9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（9 分） 21.（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考第二次模拟考试（河南卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．给出四个实数，2，0，-1，其中无理数是（     ） A． B．2 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义即可判断. 【详解】是无限不循环小数，是无理数； 2是整数，是有理数； 0是有理数； -1是有理数， 故选：A. 2．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿， ∴1兆＝， 故选：C． 3．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（     ） A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变 C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变 【答案】D 【详解】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变． 将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变． 将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变． 故选D． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的意义、绝对值、单项式乘多项式、完全平方公式．根据算术平方根的意义、绝对值、单项式乘多项式和完全平方公式逐一计算． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“两直线平行，同位角相等”求出∠3，再利用邻补角互补求出∠2． 【详解】解：如图，∵a∥b， ∴∠1=∠3=60°， ∴∠2=180°-∠3=120°， 故选：D． 6．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解． 【详解】解： 一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A. 7．在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，则的长为（     ） A．4 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 故选：D． 8．数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数与 (m，n为常数，)的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， 关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集，只有选项A符合， 故选：A 9．如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为（     ） A．6 B． C．8 D．12 【答案】A 【分析】当l落在位置时，与菱形交于D，M，，当|l落在位置时，，得，得，得，解得，即得． 【详解】解：如图所示，当l落在位置时，与菱形交于D，M， 此时， 当l落在位置时，与菱形交于N，B， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴点C到y距离为， ∴． 故选：A． 10．某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（     ） A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 C．本次充电持续时间是120分钟 D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 【答案】D 【分析】本题考查了由函数图像读取信息，仔细观察函数图像，正确读取信息逐项进行分析解答即可 【详解】解：A、由函数图像可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意； B、由函数图像可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意； C、由函数图像可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意； D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时， 到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意， 故选：D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．如果水位升高记作，那么水位下降表示为 ． 【答案】 【分析】根据正负数的意义即可求解． 【详解】解：如果水位升高记作，那么水位下降表示为, 故答案为：． 12．不等式组的整数解的和是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集及其最大整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，即可求出整数解，进而求出所有的整数解的和． 【详解】解：由，得：； 由，得：， 不等式组的解集为：； 整数解是、、、、， 整数解之和为． 故答案为：5． 13．小亮和小智相约中考结束后一起参观河南省科技馆．他们想要参观的有动物家园、创享空间、探索发现、宇宙天文四个展厅．由于下午才到，时间有限，他们两个决定利用抽签的方式随机抽取两个展厅进行参观，则恰好抽到动物家园和宇宙天文的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，动物家园、创享空间、探索发现、宇宙天文四个展厅分别用表示．再列表即可得到答案； 【详解】解：动物家园、创享空间、探索发现、宇宙天文四个展厅分别用表示． ∴所有的等可能的结果数为12个，符合条件的结果数有2个， ∴恰好抽到动物家园和宇宙天文的概率为； 故答案为： 14．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等，连接，可证，得到，，利用三角函数可得，即得，得到，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，点为切点， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，由等边三角形的性质和勾股定理求出，证明是等边三角形，得到，再证明，得到，得出点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动，点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，， 点是等边三角形边的中点， ，， ， 由旋转的性质可得，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动， 如图，    当点在线段上时，的值最小，最小值为， 当点在射线上时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）0；（2）． 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，整式的运算： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先进行乘法公式的计算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 17．（9分）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2． 表1：前测数据 测试分数x 控制班A 28 9 9 3 1 实验班B 25 10 8 2 1 表2：后测数据 测试分数x 控制班A 14 16 12 6 2 实验班B 6 8 11 18 3 (1)A，B两班的学生人数分别是多少？ (2)请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据． (3)通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价． 【答案】(1)A，B两班的学生人数分别是50人，46人 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由统计表中的数据个数之和可得两个班的总人数； （2）先求解两个班成绩的平均数，再判断中位数落在哪个范围，以及15分以上的百分率，再比较即可； （3）先求解前测数据的平均数，判断前测数据两个班的中位数落在哪个组，计算15人数的增长百分率，再从这三个分面比较即可． 【详解】（1）解： A班的人数：（人） B班的人数：（人） 答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人． （2）， ， 从平均数看，B班成绩好于A班成绩． 从中位数看，A班中位数在这一范围，B班中位数在这一范围，B班成绩好于A班成绩． 从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩好于A班成绩． （3）前测结果中： 从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好． 从中位数看，两班前测中位数均在这一范围，后测A班中位数在这一范围，B班中位数在这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好． 从百分率看，A班15分以上的人数增加了100%，B班15分以上的人数增加了600%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好． 18．（9分）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图） (3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)图见解析部分 (3)证明见解析 【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案； （2）利用基本作图作线段的垂直平分线即可； （3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到，然后利用平行线的判定即可得证. 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）如图，直线即为所作； （3）证明：如图， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 19．（9分）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的垂直平分线与边交于点D，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，掌握基本的尺规作图是解题的关键． （1）利用作已知线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）根据等腰三角形的性质得到，然后得到，然后利用角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）证明：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（9分）聊城西站自开通以来给聊城人民出行带来了极大的便利，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中，开展了测量聊城西站楼顶P处到地面的距离，实践报告如下： 活动课题 测量聊城西站楼顶P处到地面的距离（的长度） 活动工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 说明 为站台北侧扶梯，点A为扶梯底端，点B为扶梯顶端，平台 测量数据         解决问题 根据以上数据计算聊城西站楼顶P到地面的高度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题（参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】32 【分析】本题考查解直角三角形，以及矩形的判定和性质，过点B作交于点E，易知四边形为矩形，得到，在中，利用解直角三角形得到，在中，利用解直角三角形得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：过点B作交于点E， 易知四边形为矩形， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 的高度为32． 21．（9分）在2024的“”来临之际，某商场计划采购一批甲和乙两种厨房小家电．已知乙种家电的进价比甲种家电的进价每件多100元，用1万元购进甲种家电的件数与用1.2万元购进乙种家电的件数相同．请解答下列问题： (1)这两种家电每件的进价分别是多少元？ (2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过54000元，则该商场至少购进甲种家电多少件？ (3)在（2）的条件下，甲、乙两种家电分别在进价的基础上提价、进行销售，这100件家电全部售完，能获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种家电每件的进价是元，则乙种家电每件的进价是元 (2)该商场至少购进甲种家电件 (3)这100件家电全部售完，能获得的最大利润是元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设甲种家电每件的进价是元，则乙种家电每件的进价是元，根据“用1万元购进甲种家电的件数与用1.2万元购进乙种家电的件数相同”列出分式方程，计算即可得出答案； （2）设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，根据“总金额不超过54000元”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； （3）设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，利润为元，先求出两种家电销售的利润，再表示出关于的表达式，结合一次函数的性质额得出答案． 【详解】（1）解：设甲种家电每件的进价是元，则乙种家电每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴（元）， ∴甲种家电每件的进价是元，则乙种家电每件的进价是元； （2）解：设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件， 由题意得：， 解得：， ∴该商场至少购进甲种家电件； （3）解：设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，利润为元， ∵在（2）的条件下，甲、乙两种家电分别在进价的基础上提价、进行销售， ∴甲种家电的利润为：（元），乙种家电的利润为：（元）， ∴， ∵， ∴随的减小而增大， ∴当时，有最大值，最呆滞为（元）， ∴这100件家电全部售完，能获得的最大利润是元． 22．（10分）如图，排球运动场的长为，球网在场地中央，高度为，排球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．小乐在场地左侧边界处（距球网）练习发球，某次发球，击球点的高度为，当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度．小乐同学建立了如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求此抛物线的解析式（不写自变量的取值范围）． (2)通过计算判断此球是否能够过网．若能过网，请进一步判断是否会出界． (3)小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，要使球既能过网又不出界，请直接写出发球点距离球网的距离 d 的取值范围．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)能过网，会出界，利用见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． （1）根据排球飞行的水平距离为时达到最大高度，求出抛物线的顶点坐标为，再用待定系数法求解即可； （2）计算当时，的值，与比较；再根据右边界的坐标为，令，求出x值与9比较即可； （3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，设击出的排球轨迹为，求解出击出排球轨迹的临界点，即可得解． 【详解】（1）解：∵当排球飞行的水平距离为时达到最大高度，， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴． （2）解：当时，， ∴此球能够过网； 根据题意得右边界的坐标为 ∴当时，， 解得，（舍去）， ∵， ∴不会落在界内，会出界． （3）解：小乐继续按同样的高度、角度和力度发球， ∴设击出的排球轨迹为， 当该轨迹经过球网的顶端坐标时， ，解得，（舍去） ∴， 此时当时，解得：（舍去）或． ∴， 当该轨迹经过右边界的坐标时，， 解得（不符合题意的根舍去）， ∴， 此时当时，或（舍去）， ∴， 经过分析，若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），． 23．（10分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置． 根据以上操作，填空： ①图1中四边形的形状是______； ②图2中与的数量关系是______；四边形的形状是______． (2)迁移探究 小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：将三角板按（1）中方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长． (3)拓展应用 在（2）的探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长为______． 【答案】(1)①正方形；②，平行四边形 (2)可以是菱形， (3)的长为或 【分析】（1）①根据，都是等腰直角三角形，及正方形的判定即可求解；②运用全等三角形的判断和性质，平行四边形的判定方法即可求解； （2）根据菱形的判定方法即可求证； （3）根据等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，分类讨论，图形结合即可求解． 【详解】（1）解：①∵，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴四边形是正方形； 故答案为：正方形； ②根据平移的性质可得，， 如图所示，连接，，    ∵，都是等腰直角三角形， ∴， ∵将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）， ∴，，且， ∴在中， ， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：，平行四边形． （2）解：可以是菱形，理由如下： 如图所示，连接，，    ∵，，， ∴，， ∵将三角板沿方向平移， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：∵含角的直角三角板，即，边长为， ∴， ①当时，为等腰三角形，如图所示，    ∵，， ∴， ∴，且， ∴， ∴点是的中点， ∴； ②当时，为等腰三角形，如图所示，    ∵，，， ∴在中，， ∵为等腰三角形，， ∴； ③当时，为等腰三角形，如图所示，    与“将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）”矛盾， ∴不存在； 综上所示，当为等腰三角形时， 的长为或． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第二次模拟考试（河南卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共15分） 11． _________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分） 17. （9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （9分） 19. （9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（9分） 21.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（河南卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．给出四个实数，2，0，-1，其中无理数是（     ） A． B．2 C．0 D．-1 2．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（     ） A． B． C． D． 3．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（     ） A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变 C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 7．在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，则的长为（     ） A．4 B．6 C． D．5 8．数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数与 (m，n为常数，)的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ）    A．   B．   C．   D．   9．如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为（     ） A．6 B． C．8 D．12 10．某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（     ） A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 C．本次充电持续时间是120分钟 D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．如果水位升高记作，那么水位下降表示为 ． 12．不等式组的整数解的和是 ． 13．小亮和小智相约中考结束后一起参观河南省科技馆．他们想要参观的有动物家园、创享空间、探索发现、宇宙天文四个展厅．由于下午才到，时间有限，他们两个决定利用抽签的方式随机抽取两个展厅进行参观，则恰好抽到动物家园和宇宙天文的概率为 ． 14．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ． 15．如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为 ，的最大值为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （10分）（1）计算：； （2）化简：． 17. （9分）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2． 表1：前测数据 测试分数x 控制班A 28 9 9 3 1 实验班B 25 10 8 2 1 表2：后测数据 测试分数x 控制班A 14 16 12 6 2 实验班B 6 8 11 18 3 (1)A，B两班的学生人数分别是多少？ (2)请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据． (3)通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价． 18. （9分）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图） (3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：． 19.（9分）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的垂直平分线与边交于点D，连接，求证：． 20.（9分）聊城西站自开通以来给聊城人民出行带来了极大的便利，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中，开展了测量聊城西站楼顶P处到地面的距离，实践报告如下： 活动课题 测量聊城西站楼顶P处到地面的距离（的长度） 活动工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 说明 为站台北侧扶梯，点A为扶梯底端，点B为扶梯顶端，平台 测量数据         解决问题 根据以上数据计算聊城西站楼顶P到地面的高度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题（参考数据：，，，，结果保留整数） 21.（9分）在2024的“”来临之际，某商场计划采购一批甲和乙两种厨房小家电．已知乙种家电的进价比甲种家电的进价每件多100元，用1万元购进甲种家电的件数与用1.2万元购进乙种家电的件数相同．请解答下列问题： (1)这两种家电每件的进价分别是多少元？ (2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过54000元，则该商场至少购进甲种家电多少件？ (3)在（2）的条件下，甲、乙两种家电分别在进价的基础上提价、进行销售，这100件家电全部售完，能获得的最大利润是多少？ 22.（10分）如图，排球运动场的长为，球网在场地中央，高度为，排球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．小乐在场地左侧边界处（距球网）练习发球，某次发球，击球点的高度为，当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度．小乐同学建立了如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求此抛物线的解析式（不写自变量的取值范围）． (2)通过计算判断此球是否能够过网．若能过网，请进一步判断是否会出界． (3)小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，要使球既能过网又不出界，请直接写出发球点距离球网的距离 d 的取值范围．（结果保留根号） 23. （10分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置． 根据以上操作，填空： ①图1中四边形的形状是______； ②图2中与的数量关系是______；四边形的形状是______． (2)迁移探究 小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：将三角板按（1）中方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长． (3)拓展应用 在（2）的探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长为______． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$