第10章 分式过关测试卷-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第10章 分式过关测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．分式中的x，y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 5．解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 6．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时公里，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．下列分式中，为最简分式的是（    ） A． B． C． D． 8．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 9．下列分式运算正确的是（） A． B． C． D． 10．关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若分式的值为0，则x应满足的条件是 ． 12．的结果为 ． 13．计算： ． 14．张老师和李老师同时从学校出发，乘车去距学校35千米的新华书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走2千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？ 设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是 ． 15．与的最简公分母是 ． 16．已知，则分式的值为 ． 三．解答题（本题共6小题，第17-20题每题8分，第21-22题每题10分，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 18．解方程： (1)； (2)． 19．先化简，再求值：，其中 20．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 21．阅读材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则 ． 对于任意x上述等式成立 解得 回答问题： (1)这样，分式就拆分成一个整式________与一个分式________的和的形式 (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为________． (3)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数________． 22．在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 分式过关测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，据此逐项判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、是最简分式，符合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 故选：． 2．若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义，则分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘方，根据分式的乘方运算法则计算即可． 【详解】． 故选：B． 4．分式中的x，y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴分式的值不变． 故选：B． 5．解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程整理后，找出最简公分母，去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解分式方程， 去分母得，． 故选：A． 6．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时公里，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时公里，根据学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，孔子和学生们同时到达书院，列出分式方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时1.5x公里， 由题意得：， 故选：A． 7．下列分式中，为最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 8．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简公分母，理解最简公分母的定义是解题关键．最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 故选：A． 9．下列分式运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各式计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解∶A．，则原计算错误，不符合题意； B．，则原计算错误，不符合题意； C．，则原计算错误，不符合题意； D．，则原计算正确，符合题意； 故选：D． 10．关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0，解分式方程，得到含m的解，根据“该分式方程的解是负数”，得到两个不等式，解之，即可得到m的取值范围． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵该分式方程的解是负数， ∴，且 ∴且， ∴，且， 解得：，且， 故选：C． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若分式的值为0，则x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故答案为：． 12．的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．先对能因式分解的分子、分母因式分解，然后再约分即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法，根据同分母分式减法计算即可． 【详解】解∶ 故答案为： 14．张老师和李老师同时从学校出发，乘车去距学校35千米的新华书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走2千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？ 设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的应用．李老师每小时走x千米，张老师每小时走千米，利用张老师比李老师早到半小时，再建立分式方程求解即可． 【详解】解：李老师每小时走x千米，张老师每小时走千米， 根据时间的关系可列方程为：， 故答案为：． 15．与的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． ②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．据此求解即可． 【详解】解：分式与的分母分别是、，故最简公分母是． 故答案为：． 16．已知，则分式的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了分式的求值，分式的加减，正确的计算是解题的关键．根据分式的加减将已知等式变形为，代入分式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴ ． 故答案为：． 三．解答题（本题共6小题，第17-20题每题8分，第21-22题每题10分，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）把分子分母因式分解，然后约分即可； （2）先通分，再把分子因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】（1）解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为； （2）解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 19．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键．先利用分式的混合运算法则，结合因式分解化简分式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，表示出x，再根据分式方程有增根时分母为0，从而求出x的值，再列出关于a的方程，解方程即可； （2）根据分式方程的解是非负数和分式的分母不能为0，列出关于a的不等式组，解不等式组，求出答案即可． 本题主要考查了分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ∵分式方程有增根， ∴， 解得：， ∴， ， ， ； （2）解：∵分式方程的解为非负数， ∴， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， ∴a的取值范围是：且． 21．阅读材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则 ． 对于任意x上述等式成立 解得 回答问题： (1)这样，分式就拆分成一个整式________与一个分式________的和的形式 (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为________． (3)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数________． 【答案】(1)， (2) (3)2或0或3或或5或 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂材料掌握方法是解题的关键． （1）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （3）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，根据整除运算解答． 【详解】（1）解：由分母，可设， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：， 拆分成， 故答案为：，； （2）解：由分母，可设， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：， 拆分成， 故答案为：； （3）解：由分母，可设， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得， 拆分成， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或或， 则满足条件的整数或0或3或或5或， 故答案为：2或0或3或或5或． 22．在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少? 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要天，乙工程队单独完成此项工程需要天 (2)打通这条隧道的施工费用是元 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用； （1）设甲工程队单独完成此项工程需要天，根据“甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天”列分式方程求解即可； （2）结合（1）的答案，先求出甲、乙两个工程队合作完成需要的天数，再乘以每天施工费用之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要天， 可得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 天， 所以，甲工程队单独完成此项工程需要天，乙工程队单独完成此项工程需要天． （2）解：甲、乙两个工程队合作完成，需要的天数为：天， （元）， 所以打通这条隧道的施工费用是元． 学科网（北京）股份有限公司 $$