精品解析：浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题

2024学年第二学期“南太湖”联盟3月联考 高一数学学科试题卷 命题学校：孝丰高级中学 审题学校：浦江县中山中学 考试须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域内填写班级，姓名，考场号，座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所以答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（ ） A. B. C. 或 D. 4. 已知向量，且，则（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 在中，已知，则的面积为（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为（ ）米 A. B. C. D. 8. 已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的恒成立，则实数的值为（ ） A. B. C. D. －1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错得得0分． 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数为的共轭复数，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 一定是实数 C. 若，则 D. 11. 已知平面向量满足，则下列说法正确的为（ ） A. B. 最小值 C. 最大值为 D. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的周长为，且，则______． 13. 已知是方程的一个根，则______． 14. 已知正实数x，y满足，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中是虚数单位， （1）若z为纯虚数，求实数m的值； （2）若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若． （1）求的值； （2）若面积为，求的值． 17. 已知函数的最大值为1． （1）求实数a的值； （2）若在上单调递增，求值； （3）在（2）条件下，若在上恰有2个零点，求实数m的取值范围． 18. 如图，在中，，线段与线段交于点F． （1）求的值； （2）求的值： （3）若O为内一动点，求的最小值． 19. 若三角形内一点P满足，则称P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角．已知a，b，c分别为三角形三个内角A，B，C所对的边，点P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角． （1）若，足，求三角形的布洛卡角的正切值； （2）若三角形的面积为S． ①证明：； ②当时，求面积S的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期“南太湖”联盟3月联考 高一数学学科试题卷 命题学校：孝丰高级中学 审题学校：浦江县中山中学 考试须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域内填写班级，姓名，考场号，座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所以答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集、补集的运算求解即可. 【详解】因为， 所以，， 故选：A 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数,再根据虚部定义得结果. 【详解】因为,所以复数的虚部为，选A. 【点睛】本题考查复数除法运算以及虚部定义，考查基本求解能力，属基础题. 3. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理解三角形. 【详解】在中，由及正弦定理，提， 所以或. 故选：C 4. 已知向量，且，则（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示、共线向量的坐标表示列式计算得解. 【详解】向量，由，得，解得， 由，得，所以. 故选：B 5. 在中，已知，则的面积为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量点积公式求得，利用同角三角函数关系求得,然后利用三角形面积公式计算. 【详解】因为，及和， 所以解得：， 又因, 所以. 所以. 故选：C 6. 已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合共线向量的坐标表示求解. 【详解】向量，则， 由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D 7. 为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，用铁塔的高度表示，再利用余弦定理求解即得. 【详解】设铁塔OT的高度为，依题意，， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以铁塔OT的高度为米. 故选：B 8. 已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的恒成立，则实数的值为（ ） A. B. C. D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合恒成立求解即可. 【详解】由单位向量，且向量的夹角为，得， 由，得， 即，依题意，对任意的，恒成立， 而，当且仅当时取等号， 因此，整理得，所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错得得0分． 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质及奇偶性、单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，故不是偶函数，故A错误； 对于B，由二次函数性质知，图象关于轴对称，且在区间上单调递增，故B正确； 对于C，因为的定义域为，且，所以函数为偶函数，在区间上单调递增，故C正确； 对于D，，显然在区间上单调递减，故D错误. 故选：BC 10. 已知复数为的共轭复数，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 一定是实数 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，由模的定义判断正误；对于选项B，根据复数的加法计算即可判断正误；对于选项C，举反例即可判断正误；对于选项D，由复数模的性质可判断正误. 【详解】对于A：设，则，可得，，故A正确； 对于B：令，由，故B正确； 对于C：设，则，， 满足，但，故C错误； 因为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知平面向量满足，则下列说法正确的为（ ） A. B. 最小值为 C. 最大值为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律可得及，再逐项求解判断. 【详解】由，得，解得， 对于A，，， 又是非零向量，因此，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，由，得， 则，即， 当且仅当同向共线时取等号，解，得，故C错误； 对于D，由，得， 则，，而， 因此，故D正确. 故选：ABD 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的周长为，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，再消元求解即可. 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由，得，而， 所以. 故答案为： 13. 已知是方程的一个根，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程有虚数根的性质，结合韦达定理求解. 【详解】由是方程的一个根，得是该方程的另一根， 则，，解得， 所以. 故答案：0 14. 已知正实数x，y满足，则的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中是虚数单位， （1）若z为纯虚数，求实数m的值； （2）若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1）空集 （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列式求解； （2）求出复数对应的点，再由点的位置列出不等式组求解. 【小问1详解】 复数为纯虚数，则，无解， 所以实数m的值的集合为空集； 【小问2详解】 由z在复平面内所对应的点在第二象限，得，解得， 所以实数m的取值范围是. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若． （1）求的值； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）由三角形面积公式及余弦定理即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 又， 所以， 又， 所以，即； 【小问2详解】 由，又， 解得， 因为，所以， 由余弦定理可得， 即. 17. 已知函数的最大值为1． （1）求实数a的值； （2）若在上单调递增，求的值； （3）在（2）的条件下，若在上恰有2个零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1）1； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）和差角的正弦公式及辅助角公式化简函数，求出最大值即可求出值. （2）求出相位所在区间，由正弦函数的递增区间列出不等式求出的范围即可. （3）由零点可得，结合相位所在区间及零点个数建立不等式求解. 【小问1详解】 函数 ， 函数，解得， 所以的值是. 【小问2详解】 当时，，由在上单调递增，得， 解得，而，则， 所以的值是1. 【小问3详解】 由（1）（2）知，，由，得， 当时，，又函数在上恰有2个零点， 得，解得， 所以实数m的取值范围是. 18. 如图，在中，，线段与线段交于点F． （1）求的值； （2）求的值： （3）若O为内一动点，求的最小值． 【答案】（1）; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）通过数量积已知可求夹角，再通过余弦定理求边，最后由勾股定理证明直角，然后建立直角坐标系来求数量积即可； （2）把所求角转化为两向量的夹角，从而利用数量积的坐标运算即可； （3）利用极化恒等式把向量积转化为中线与边的关系，再利用坐标运算来表示，最后可求得最小值. 【小问1详解】 由可得，， 在中，由可知：， 由余弦定理得：，又因为， 所以由勾股定理可得：， 则以为坐标原点，如图建立平面直角坐标系， 有：，由可得：， 所以 ， 则； 【小问2详解】 由图可得：； 【小问3详解】 由， 设中点为， 同理可得， 所以， 在如图坐标系中，可设，， 则 , 此时， 即点作轴垂线垂足为，点作轴垂线垂足为， 则为的八等分点，为的四等分点，显然此时点在内部，满足题意.所以取到最小值. 19. 若三角形内一点P满足，则称P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角．已知a，b，c分别为三角形三个内角A，B，C所对的边，点P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角． （1）若，足，求三角形的布洛卡角的正切值； （2）若三角形的面积为S． ①证明：； ②当时，求面积S的大小． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）设，则，，令，由余弦定理及，可得，然后再由余弦定理可得答案. （2）①注意到，则可得需证等式右边为，然后利用余弦定理可完成证明；②由海伦公式及恒等变形知识可证在三角形中，，当且仅当三角形为等边三角形取等号，然后结合题意可得答案. 【小问1详解】 设，则，，令， 在中由余弦定理可得， 同理在中有， 即，可得 两式相减可得，解得. . 可得，所以， 【小问2详解】 ①由图可得， 则要证等式右边等于， 由余弦定理，， 同理可得：，. 则要证等式右边等于左边； ②先证：在三角形中，，当且仅当三角形为等边三角形取等号. 由海伦公式，，其中. 则. 故所证不等式等价于证明： ， 即证：， 即证：， 注意到， . 则 . 注意到 ，则， 即，当且仅当三角形为等边三角形时取等号. 当时，由①，，由以上证明不等式取等条件可得， 此时三角形为等边三角形，则. 【点睛】背景点睛：本题（2）②所证不等式名为外森比克不等式，指出三角形三边与其面积具有某种约束关系，此外（2）②的出题背景为三角形的布洛卡角的最大值为，当三角形为等边三角形时取得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$