精品解析：浙江省舟山市定海区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024学年第一学期八年级学科素养监测 数学试题卷 考生须知： 1.全卷满分120分，考试时间120分钟，试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2.全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共3分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 2024年巴黎第33届夏季奥运会，中国代表团以40金27银24铜共91枚奖牌，创造了新的境外参加奥运会最佳成绩，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，符合题意； 故选D． 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查自变量的取值范围，掌握被开方数大于等于0是解题关键． 3. 在直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标；根据关于x轴对称的点的特点：横坐标不变，纵坐标变为相反数，解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点是：， 故选：B． 4. 研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不超过年龄，最低值不低于年龄．所以20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的应用，将年龄值代入最佳燃脂心率最高值、最低值公式，计算出最值，即可得出最佳燃脂心率的范围． 【详解】解：年龄为20岁时，最佳燃脂心率最高值为：， 最低值为：， 因此20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为， 故选A． 5. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题； 在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 故选B． 考点：命题与定理． 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，，若，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识．由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案． 【详解】解：设，，， ∵矩形， ∴，， ∴，，， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得，与x轴、y轴分别交于点A、点B，若，则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题．设直线对应的函数表达式为，根据，求得，求得直线的解析式为，再确定A点坐标，于是可得到的长． 【详解】解：直线向上平移得， 设直线对应的函数表达式为， ， 直线经过， ， 直线对应的函数表达式为， 令，得， 解得， ， ， 故选A． 9. 过内一定点D，作一条直线，交于点E，交于点F，下列四种作法，面积最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，构造全等三角形，结合三角形面积进行判断即可． 【详解】解：如图①，过点E作交于点M，则 ∵ ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； 如图②，过点E作于点M，则 ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； 如图③， ∵ ∴ ∴是钝角， 过点F作，垂足为点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； 综上，面积最小的是D选项， 故选：D． 10. 为平面直角坐标系内的两点，定义，并称它为A、B两点之间的中和距离，现已知点，O为坐标原点，动点满足，且，则动点P的轨迹长度为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，化简绝对值，分情况讨论为解题关键，根据新定义，结合中和距离的定义，即可求出动点P的轨迹方程，可得轨迹为两线段，即可求得长度． 【详解】解： ， ， ， ，， 当，时， ，，，， ，整理得：， 当，时， ，，，， ，整理得：， 当，时， ，或，，， ，或，整理后均不符合条件， 由上述讨论可知，动点P的轨迹由两部分组成： 一部分是直线在，范围内的部分，即从到的线段，其长度为， 另一部分是直线在范围内的部分，即从到的线段，其长度为， 则动点P的轨迹长度为， 故选：C 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 12. 春节民俗经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，舟山春节有打年糕的习俗，以谐音取“年高”之意．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得质量增加．现有糯米x斤，做成年糕后质量超过50斤，则可列出不等式________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列不等式，根据糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得质量增加，得到x斤糯米做成年糕后的质量为，根据做成年糕后质量超过50斤，得到即可． 【详解】解：由题意，可列不等式为：； 故答案为：． 13. 一次函数部分x和y的对应值如表所示： … 0 1 2 … … 2 1 0 m … 则表中m值是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查一次函数的解析式，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式． 把两组坐标代入解析式，即可求解． 【详解】解：将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 当时，． 故答案为． 14. 如图，在中，，，点A的坐标，点B的坐标，则点C的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键. 由“”可证，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点H， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标，点B的坐标， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点. 故答案为：． 15. 在中，已知，，，D是上一点，且，则的长是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，能根据题意对点D的位置进行分类讨论是解题的关键． 根据题意画出示意图，先求出的长，进而得出的长，再对点D为位置进行分类讨论即可解答． 【详解】在中， ． ， ． 当点在中点处时，如图所示， ，且点为中点， ． 当点不在中点处时，过点作的垂线，垂足为，如图所示， ， ． 在中， ． 在中， ． ． 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 16. 如图1，直角坐标系中点、、、，过点的直线，与四边形交于点P，Q（点P和点Q可以重合）．以k的值为点的横坐标，线段的长度m为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2，则函数m的图象与横轴两交点之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象及一次函数的性质，根据题意得出函数m与横轴两个交点坐标的纵坐标为0，即，再结合图1得出当直线经过点B和点D时的k值，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 当过点的直线经过点B时， ， 解得， 则此时的函数解析式为， 同理可得， 当直线经过点D时的解析式为， 所以函数m经过点和， 所以函数m的图象与横轴两交点之间的距离为：． 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17~21每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解不等式（组）： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式和解不等式组组；在解不等式组时，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先移项，然后合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可； 【小问1详解】 解：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 证明等腰三角形判定定理“在同一个三角形中，等角对等边”： 已知：如图，中，，求证：．框内小嘉的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 证明：取边的中点，连结， ∵点为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【答案】原题证明过程错误，改正过程见详解 【解析】 【分析】根据题意，作的角平分线或作边的高，再根据全等三角形的判定和性质即可求证． 【详解】原题证明过程错误； 方法一：如图所示，过点作的角平分线交于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 方法二：如图所示，过点作边上的高，交于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 19. 渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示． （1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？ （2）结合图象回答： ①当时，h的值是多少？ 在内，当h随t的增大而增大，求t的取值范围． 【答案】（1）是 （2）①4；② 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象、函数的概念及函数值，熟知函数的定义及正确识别所给函数图象是解题的关键． （1）根据所给函数图象，结合函数的定义进行判断即可； （2）①观察图象时多对应的h值即可解答；②利用所给函数图象即可解决问题． 【小问1详解】 解：由图象可知，对于每一个变化的t，h都有唯一确定的值与其对应， ∴变量h是关于t的函数． 【小问2详解】 解：①由图象可知：当时，， ②由图象可知：时，h随t的增大而增大． 20. 如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）判断△OBC的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，见解析 【解析】 【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DCB； （2）由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DBC，可证OB＝OC，可得结论． 【详解】（1）∵∠A＝∠D＝90°， ∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）； （2）△OBC是等腰三角形， 理由：∵Rt△ABC≌Rt△DCB， ∴∠ACB＝∠DBC， ∴OB＝OC， ∴△OBC是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 21. 舟山市某校第届科技体育人文艺术节，吉祥物“菱菱”脱颖而出，学校将它定制成钥匙扣和立牌．若定制钥匙扣件，立牌2件共需要8元；若定制钥匙扣件，立牌5件共需要元． （1）钥匙扣和立牌单价分别是多少？ （2）学校计划购买钥匙扣和立牌共件，总费用不超过元，那么最多能购买立牌多少件？ 【答案】（1）钥匙扣单价为元/件，立牌单价为1元/件 （2）件 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键， （1）设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设立牌买m件，钥匙扣买件，利用总价等于单价乘以数量，结合总价不超过元，列出一元一次不等式，解之取最大值即可． 【小问1详解】 解：设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，依题意可得： 解得， 答：钥匙扣单价为元/件，立牌单价为1元/件． 【小问2详解】 解：设立牌买m件，钥匙扣买件，依题意可得： ， 解得， 答：最多购买立牌件． 22. 如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． （1）若，则的度数为_____． （2）求证：． （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过C作于E， ∵， ∴由（2）得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴． 23. 年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： （1）直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值． （2）在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？ （3）乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 【答案】（1）， （2）甲的速度为，乙的速度为 （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，行程问题，从函数图象上有效地获取信息是解题的关键． （1）根据图象信息即可求得乙在第一个补给点停留的时间及m的值； （2）结合图象中的数据和速度公式即可计算出甲、乙两人的速度； （3）根据（2）中的数据和待定系数法可求出和的解析式，结合题意分情况讨论，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，乙在第一个补给点停留的时间为， 由直线可得，， 当时，； 【小问2详解】 由（1）得， ∵直线过点， ， ∴， ∴甲的速度为，乙的速度为； 【小问3详解】 由（2）可得，直线的解析式为：， 直线的解析式为：， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，乙经过第一个补给点后或或或，甲乙两名选手相距． 24. 在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． （1）特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． （2）性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． （3）深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 【答案】（1）①；②见解析 （2）10 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质结合折叠的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质，折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）作，分别交于．证明，得到，同理可得，即可解答． 【小问1详解】 解：①∵等边三角形，F为中点， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴． 【小问3详解】 证明：作 ，，分别交于K，G，H． ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期八年级学科素养监测 数学试题卷 考生须知： 1.全卷满分120分，考试时间120分钟，试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2.全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共3分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 2024年巴黎第33届夏季奥运会，中国代表团以40金27银24铜共91枚奖牌，创造了新的境外参加奥运会最佳成绩，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 4. 研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不超过年龄，最低值不低于年龄．所以20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，，若，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 不能确定 7. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得，与x轴、y轴分别交于点A、点B，若，则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 9. 过内一定点D，作一条直线，交于点E，交于点F，下列四种作法，面积最小的是（ ） A. B. C. D. 10. 为平面直角坐标系内的两点，定义，并称它为A、B两点之间的中和距离，现已知点，O为坐标原点，动点满足，且，则动点P的轨迹长度为（ ） A. 4 B. C. D. 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 12. 春节民俗经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，舟山春节有打年糕的习俗，以谐音取“年高”之意．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得质量增加．现有糯米x斤，做成年糕后质量超过50斤，则可列出不等式________． 13. 一次函数部分x和y的对应值如表所示： … 0 1 2 … … 2 1 0 m … 则表中m值是________． 14. 如图，在中，，，点A的坐标，点B的坐标，则点C的坐标是______． 15. 在中，已知，，，D是上一点，且，则的长是________． 16. 如图1，直角坐标系中点、、、，过点的直线，与四边形交于点P，Q（点P和点Q可以重合）．以k的值为点的横坐标，线段的长度m为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2，则函数m的图象与横轴两交点之间的距离为________． 三、解答题（本题有8小题，第17~21每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解不等式（组）： （1） （2）． 18. 证明等腰三角形判定定理“在同一个三角形中，等角对等边”： 已知：如图，中，，求证：．框内小嘉的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 证明：取边的中点，连结， ∵点为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴． 19. 渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示． （1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？ （2）结合图象回答： ①当时，h的值是多少？ 在内，当h随t的增大而增大，求t的取值范围． 20. 如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）判断△OBC的形状，并说明理由． 21. 舟山市某校第届科技体育人文艺术节，吉祥物“菱菱”脱颖而出，学校将它定制成钥匙扣和立牌．若定制钥匙扣件，立牌2件共需要8元；若定制钥匙扣件，立牌5件共需要元． （1）钥匙扣和立牌单价分别是多少？ （2）学校计划购买钥匙扣和立牌共件，总费用不超过元，那么最多能购买立牌多少件？ 22. 如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． （1）若，则的度数为_____． （2）求证：． （3）已知，求的值． 23. 年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： （1）直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值． （2）在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？ （3）乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 24. 在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． （1）特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． （2）性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． （3）深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $