精品解析：上海市上海外国语大学闵行外国语中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024-2025学年上海市上闵外高一年级下学期3月月考数学试卷 2025.3 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的正弦值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】根据三角函数的定义，. 故答案为：. 2. 已知，则__________． 【答案】##-0.2 【解析】 【分析】根据已知，利用诱导公式计算求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 3. 若，则点必在第________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】由可求出的正负，从而可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以， 所以点必在第三象限． 故答案为：三 4. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】左右平方利用同角三角函数的基本关系可得结果. 【详解】∵，则， 即，故. 故答案为：. 5. 已知，，则_______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，结合特殊角的三角函数值求出角. 【详解】由，，所以或. 故答案为：或 6. 在中，已知，则的值为__________. 【答案】##0.625 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得，而， 因此，即，所以. 故答案为： 7. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】通过构角，再利用正切的差角公式和条件即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 8. 若，则_______. 【答案】或 【解析】 【分析】由二倍角的正弦公式结合已知条件可得出或的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，所以，，则或， 当时，； 当时，. 故答案为：或. 9. 如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，结合题意可得，结合两家和差公式整理即可. 【详解】设， 由题意可得：， 因为，即，则， 两式平方相加可得，则， 所以. 故答案为：. 10. 一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为________cm．（结果精确到0.1cm） 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的对称性及三角恒等变换、余弦定理计算即可. 【详解】如图所示，设圆心为D，的中点为E，则， 由题意易知， 则， 所以， 由余弦定理知， 所以. 故答案为：. 11. 中，，则角的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意可知，由余弦定理可知，根据对号函数的图象，确定的取值范围，即可. 【详解】在中，设，则，即. 由余弦定理可知 令，画函数图象如下： 由图象可知， 即 又为的内角 【点睛】本题考查余弦定理，以及对勾函数的图象与性质，属于较难的一道题. 12. 锐角中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积是2，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理结合题设可得，进而求出的范围，的范围，结合的面积是2可得，进而求解即可. 【详解】由， 由正弦定理可得：， 化为：， 锐角三角形，，即． ，，解得． ，， 又，则， ， 又面积是2，，化为：． 则 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 在中，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据大角对大边，再利用正弦定理化边为角即可判断A；根据余弦函数的性质即可判断B；举出反例即可判断C；根据二倍角的余弦公式即可判断D. 【详解】设三边所对的角分别为， 对于A，由，则，再由正弦定理得，故A正确； 对于B，因为，由余弦函数的单调性知，故B正确； 对于C，当时，满足，但，故C错误； 对于D，由A知，，所以， 又，，，故D正确． 故选：C． 14. 已知，其中，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦两角差公式将展开，根据已知等式对应系数相等可得，从而得，再根据以及的取值情况，即可求得的值. 【详解】因为， 所以，则，即 又，所以或，由，可知，所以. 故选：C. 15. 下列命题中，真命题的个数为（ ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意角和都满足等式 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数定义判断A，举反例判断BC，结合两角和差余弦公式判断D. 【详解】①当时，，①错误； ②同时满足的角，②错误； ③当， 故存在角和使得等式成立，③错误 ④正确，过程如下： 故选：A. 16. 嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（ ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 68.53° 10:30 49.53° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 62.29° 10:00 82.00° 12:00 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出示意图形，在四边形中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形的外接圆直径大小，然后在中利用锐角三角函数定义，算出的大小，即可得到本题的答案. 【详解】如图所示， 设两竖直墙面的交线为，点被太阳光照射在地面上的影子为点， 点分别是点在两条墙脚线上的射影，连接 ，，， 由题意可知就是太阳高度角. ∵四边形中，，， ∴ ， ∴中，， 可得， ∵四边形是圆内接四边形，是其外接圆直径， ∴设的外接圆半径为，则， 在中，， 所以， 对照题中表格，可知时刻时，太阳高度角为，与最接近. 故选：B. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 求证： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式证明即可； （2）结合同角三角函数的基本关系及二倍角公式求证即可. 【详解】（1） . （2）. 18. 在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2． （1）当p=，b=1时，求a，c的值； （2）若角B为锐角，求p的取值范围． 【答案】（1）a=1，c=或a=，c=1 （2）＜p＜ 【解析】 【详解】（1）解：由题设并利用正弦定理得 故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根， 进而求得a=1，c=或a=，c=1 （2）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣， 即p2=+cosB， 因为0＜cosB＜1， 所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣ 又由sinA+sinC=psinB知，p是正数 故＜p＜即为所求 19. 在平面直角坐标系中,先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角再将OP的长度伸长为原来的倍,得到我们把这个过程称为对点P进行一次T,变换得到点例如对点P进行一次变换,得到点 (1)试求对点进行一次变换后得到点的坐标； (2)已知对点进行一次换后得到点求对点再进行一次变换后得到点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角再将OA的长度伸长为原来的倍,得到可得的坐标； （2）计算出，求得，从而得所以，再可求得，根据点的位置得，得，从而求得，，可求得的坐标. 【详解】（1）由已知得变换是将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角再将OA的长度伸长为原来的倍,得到所以的坐标是； （2）因为对点进行一次换后得到点 所以，所以， 所以， 设与轴的正方向的夹角为，则 并且 根据， 因为，所以，所以 ，， 所以，所以的坐标为. 【点睛】本题考查根据新定义解决实际问题的能力，关键在于理解新定义的含义，并能根据定义解决问题，在本题中求出和是关键，属于难度题. 20. 已知．其中为常数，且． （1）求； （2）若，，求； （3）分别求，． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）把已知等式平方后作和，利用两角和差余弦公式可求得结果； （2）由（1）得，由，，结合两角和差公式可化简求得，利用二倍角余弦公式可得，由此可得结果； （3）根据（2）中运算，讨论或的情况；当均不为时，可求得，利用二倍角公式和正余弦齐次式的求法可求得结果. 【小问1详解】 由得：， 两式作和得：， ，即. 【小问2详解】 由（1）知：当，时，； ， ， ，，， ， . 【小问3详解】 由（2）知：； 当时，由可得：，，则，； 当时，由可得：，，则，； 当且时，， ， ； 验证可知：当或时，与都成立； 综上所述：，. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换的应用，解题关键是能够熟练掌握和差化积公式的推导方法，从而利用该公式对已知等式进行合理的化简求值. 21. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； （3）对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 【答案】（1） （2），或. （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得到表达式； （2）利用恒等式将转化为关于的二次函数，再使用二次函数知识求解； （3）先证明，然后利用得到，最后根据证明过程即可研究出取到等号时的值. 【小问1详解】 过作，垂足为， 由题意可得：，，故，. 所以矩形的面积，. 【小问2详解】 此时， 故 . 等号取到当且仅当，即，所以. 解得或. 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. 【小问3详解】 由于，故， 且. 从而由，知，所以对任意有 ， 所以，得. 根据上面的证明过程，知等号成立当且仅当. 由于时必有或，故，从而一定有. 所以取等条件又可等价转化为， 这就意味着当时，取等条件是； 当时，取等条件是. 所以的最大值是，当取得最大值时，若，则所对应的的值是或；若，则所对应的的值是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对三角函数相关恒等式的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市上闵外高一年级下学期3月月考数学试卷 2025.3 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的正弦值为_____. 2. 已知，则__________． 3. 若，则点必在第________象限． 4. 已知，则__________. 5. 已知，，则_______. 6. 在中，已知，则的值为__________. 7. 已知，，则______． 8 若，则_______. 9. 如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则___________． 10. 一个机器零件形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为________cm．（结果精确到0.1cm） 11. 中，，则角的取值范围是_________. 12. 锐角中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积是2，则的取值范围是_______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 在中，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，其中，，则（ ） A. B. C. D. 15. 下列命题中，真命题的个数为（ ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（ ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 6853° 10:30 49.53° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 62.29° 10:00 82.00° 12:00 A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 求证： （1）； （2）. 18. 在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2． （1）当p=，b=1时，求a，c值； （2）若角B为锐角，求p的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中,先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角再将OP的长度伸长为原来的倍,得到我们把这个过程称为对点P进行一次T,变换得到点例如对点P进行一次变换,得到点 (1)试求对点进行一次变换后得到点的坐标； (2)已知对点进行一次换后得到点求对点再进行一次变换后得到点的坐标. 20. 已知．其中为常数，且． （1）求； （2）若，，求； （3）分别求，． 21. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； （3）对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $