精品解析：重庆市杨家坪中学教育集团2024-2025学年九年级下学期第一次质量监测数学试题

2024-2025学年杨家坪中学教育集团第一次质量监测（初中） 九年级（下）数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲试卷时用． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 的计算结果为（ ） A. 6 B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算，即可得出结论． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题考查了负整数指数幂的运算，掌握负指数幂的运算法则是解题的关键． 2. 鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的三视图，掌握立体图形的特点，三视图的特点是解题的关键． 根据立体图形的特点进行判定即可求解，在立体图形中存在的线条，三视图中能看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 【详解】解：如图所示的鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是 ， 故选：D ． 3. 一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的性质，由，则，然后根据角度和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4. 下列关于命题的说法中，正确的是（ ） A. 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 平行四边形是中心对称图形 C. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D. 最小的有理数是0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断，熟练掌握角平分线的性质定理、中心对称图形、有理数、垂径定理的相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的性质定理、中心对称图形、有理数、垂径定理的相关知识逐项判断即可． 【详解】解： 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线或平分线的反向延长线上， A选项说法错误，不符合题意； 平行四边形是中心对称图形， B选项说法正确，符合题意； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， C选项说法错误，不符合题意； 没有最小的有理数， D选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，四边形 与四边形位似，位似中心是 ，若，且四边形 的周长为，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据相似比等于位似比可得四边形 的周长 四边形的周长，据此解答即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形 与四边形位似，位似中心是 ， ∴四边形 与四边形的相似比为， ∴四边形 的周长 四边形的周长， ∵四边形 的周长为， ∴四边形的周长为， 故选：． 6. 如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第（7）个图案中阴影小三角形的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，进而得出即可． 【详解】解：由图可知： 第一个图案有阴影小三角形2个． 第二图案有阴影小三角形2+4=6个． 第三个图案有阴影小三角形2+8=10个， 那么第n个图案中就有阴影小三角形2+4（n-1）=4n-2个， 当n=7时，4n-2=4×7-2=26. 故选A． 【点睛】本题考查图形的变化规律，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中就有阴影小三角形4n-2个． 7. 如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB于C，D两点，弦AF切小半圆于点E．已知OA＝2，OC＝1，则图中阴影部分的面积是（ ） A. ＋ B. ＋ C. ＋ D. ＋ 【答案】A 【解析】 【分析】连接OE、OF ，求出圆心角度数，再利用面积和差计算即可． 【详解】解：连接OE、OF ， ∵弦AF切小半圆于点E． ∴OE⊥AF， ∴AE=EF， ∵OC＝OE＝1，OA＝2， ∴∠OAE=30°， ∴∠EOD=120°，∠FOD=60°， ， 扇形EOD的面积为：， 扇形FOD的面积为：， △FOE的面积为：， 阴影部分的面积是：+-=＋， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线性质，垂径定理，勾股定理，扇形面积，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 8. 如图， 是反比例函数图象上一点， 是反比例函数图象上一点，连接 交 轴于点 ，若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合；作轴于点 ，于点 ，可证得，从而将转化为，设，则，再根据面积公式列出等式，即可求出的值． 【详解】解：如图：作轴于点 ，于点 ， ，， 设，则， ， 解得：， 故选：D． 9. 如图，在矩形 中， 为对角线 上一点，连接 ，过点 作交 延长线于 ，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点E作于点N，延长交 于M，证明四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，由得到，证明，则，得到，则，得到，勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点N，延长交 于M， ∵四边形 是矩形， ∴ ，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C 10. 已知关于x的多项式：，． ①若，则代数式的值为； ②若，当y随着x的增加而增加时，n的取值范围为； ③当时，若，则或． 以上结论正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，代数式求值和整式的运算．把，分别代入各个选项，再依据选项结论进行分析计算即可． 【详解】解：①当时，， ∴， ∴， 所以①正确； ②∵， 当y随着x的增加而增加时， ∴， 解得，所以②错误； ③当时，， 若，则或， 即或， 对于方程，， ∴此方程没有实数解； 对于方程，因式分解得， 解得， 综上所述，若，则或 ，所以③错误． 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 要使分式有意义，则 的取值应满足的条件为____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是：分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解得：， 故答案为： 12. 已知，，那么________． 【答案】34 【解析】 【分析】该题主要考查了完全平方公式和代数式求值，解题的关键是对进行变形． 根据完全平方公式对进行变形，再将，代入即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴， 故答案为：34． 13. 有两把不同的锁（记为A，B），四把不同的钥匙（记为a，b，c，d），其中钥匙a只能打开锁A，钥匙b只能打开锁B，钥匙c和d都不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，正确理解题意是解题关键． 根据题意列表，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下． 钥匙锁 a b c d A ( A,a ) ( A,b ) ( A,c ) ( A,d) B ( B,a ) ( B,b ) ( B,c ) ( B,d ) 由上表可知，共有8种等可能的结果，一次就能打开锁的结果有2种． 所以一次就能打开锁的概率是． 故答案为： 14. 如果关于 的分式方程有负整数解，且关于 的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数 的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，由解为负整数，求出 的范围，不等式组整理后，根据解集确定出 的范围，进而求出整数 的值即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程有负整数解，得到且， 即，且， 不等式组整理得：， 由解集为，得到，即， ∴，且， ∴整数， ∵由分式方程有负整数解， ∴取整数， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，以 为直径的半圆上，，点C是半圆弧上的任意点，点F是的中点，连接交于点E， 平分 交于点D，则_______度；当时， 的长为______． 【答案】 ①. 135 ②. 【解析】 【分析】（1）点F是的中点，得到， 平分 ，得到，根据圆周角定理即可解得． （2）连接，，求得，根据勾股定理可得，证明，求得，再证明，即可求得． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵ 平分 ， ∴ 根据图形可知： ， ∴， ∴， ∴． 连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得 ∴ ∵点F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 【点睛】此题考查了勾股定理，三角形相似，圆周角定理，解题的关键是综合运用勾股定理，三角形相似，圆周角定理的相关知识． 16. 一个各数位上数字均不相等且不为0的四位自然数，若满足的结果是一个完全平方数，则称这个四位数为“差方数”．例如：四位数5236，，是“差方数”．若是一个“差方数”，则 的最大值是_____；若是一个“差方数”，设，，且是整数，则满足条件的 的最小值是_____． 【答案】 ①. 9873 ②. 2415 【解析】 【分析】根据“差方数”的特点，求出满足条件的 的最大值即可；先根据题意求出，，代入求出，然后根据“差方数”的特点，从最小的“差方数”开始，依次进行验证，找出符合条件的数即可． 【详解】解：∵是一个“差方数”， ∴要使 取最大值，则千位上的数取最大值9，百位上的值取8，十位上的数字取7， 又∵， ∴ 的最大值是9873； ∵， ∴， ， ∴ ， ∵是一个“差方数”， ∴的结果是一个完全平方数， ∴，即， 又∵各数位上数字均不相等且不为0， ∴要使M最小，则 的最小值为2， 的最小值为1，b的最小值为3， ∵当时，， ∴是“差方数”， 把，，，代入得：，不是整数，不符合题意； ∵当时，， ∴“差方数”， 把，，，代入得：，不是整数，不符合题意； ∴b取最小值为3时，没有符合题意的“差方数”； 取最小值2， 取最小值1，b取4， 当时，， ∴“差方数”， 把，，，代入得：，是整数，符合题意； ∴M的最小值为2415． 故答案为：9873． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，用分类讨论的思想，解决问题． 三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）解方程： （2）计算： （3）解不等式组： （4）计算： 【答案】（1）；（2）；（3）无解；（4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，整式的混合运算，解一元一次不等式组，分式的混合运算，熟练掌握法则，正确计算是解题的关键． （1）先移项，再由因式分解法即可求解； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，再进行整式加减计算； （3）先求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可； （4）先计算括号内分式减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】（1）解： 或 解得：； （2）解： ； （3）解： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组无解； （4）解： ． 18. 华师版九年级上册教材第103页利用作斜边中点的方法，探究了：“在直角三角形中，锐角所对的直角边与斜边的数量关系．”我们还能用其他的方法证明这个结论吗？ 下面是小明的探究过程，请根据他的思路完成以下作图和填空： 已知：如图，在中， ，，求证：． （1）尺规作图：作的角平分线交于点 ，在上取一点 ，使得，连接 （保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明：∵ ，， ∴． ∵ 平分， ∴ ① ． 在与中，，∴． ∴ ② ，∴． 又∵，∴ ③ ， ∴点 是 的中点，∴ ④ ． ∵，∴． 利用小明的探究过程，我们可以得到的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么 ⑤ 【答案】（1） 如图所示． （2）①；②；③；④ ．⑤锐角所对的直角边等于斜边的一半 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据角平分线的作图方法作的平分线，再以点B为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，连接 即可． （2）根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 利用小明的探究过程，我们可以得到的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么锐角所对的直角边等于斜边的一半． 19. 为了圆梦中考，某校九年级的同学们刻苦训练跳绳，为进一步了解同学们的训练情况，从初三年级甲班和乙班中，各随机抽取40名同学进行1分钟跳绳测试，并对测试结果进行了整理、描述和分析，把1分钟跳绳完成个数用x表示，并分成了四个等级，其中，，，，下面给出了部分信息：请你根据信息，回答下列问题： ①甲班1分钟跳绳个数的扇形统计图 ②乙班1分钟跳绳个数频数分布统计表 分组 频数 ③乙班 组数据从高到低排列，排在最前面的个数据分别是：，，，，，，， ④甲班和乙班1分钟跳绳个数的平均数、中位数、A等级所占百分比如下表： 班级 平均数 中位数 等级所占百分比 甲班 乙班 （1） ____________，____________， ____________； （2）根据以上数据分析，你认为哪个班级学生跳绳水平相对较差，请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知该校九年级共有1600名学生参加了此次测试，若跳绳个数大于等于200为优秀，请估计参加此次测试中1分钟跳绳优秀的学生有多少人？ 【答案】（1），， （2） 解：乙班级学生跳绳水平相对较差， ∵从中位数看，乙班中位数小于甲班， ∴乙班级学生跳绳水平相对较差．（理由不唯一） （3）估计参加此次测试中1分钟跳绳优秀的学生有人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，用样本估计总体， （1）用抽取的总人数减去 、 、 等级人数即可求得 值；根据中位数定义可求得 值；用即可求得，从而得出 值； （2）可比较中位数，众数与A等级点的百分比得出结论； （3）利用样本估计总体可求解． 【小问1详解】 解：； 乙班 等级占有 人， 等级有人， 乙班 组数据从高到低排列，排在最前面的个数据分别是：，，，，，，， 又 乙班中位数是从高到低排列第位和第位， ∴中位数， ∵ ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：甲班 等级人数为（人），B等级人数为（人） 乙班 等级人数为2人，B等级人数为14人， 答：估计参加此次测试中1分钟跳绳优秀的学生有人． 20. 我校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．已知每瓶硫酸铜溶液的售价比氯化钠溶液的售价多2.5元，花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶． （1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ （2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现每瓶硫酸铜溶液的成本是 元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第二次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商家获利330元，求 的值． 【答案】（1）每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元、元 （2） 的值为 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设每瓶氯化钠溶液的售价为 元，则每瓶硫酸铜溶液的售价为元，根据题意列方程得，解方程即可得到答案； （2）根据题意得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每瓶氯化钠溶液的售价为 元，则每瓶硫酸铜溶液的售价为元， 根据题意列方程得， 解得：， 经检验是原方程的解， ， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元、元； 【小问2详解】 解：根据题意得 解得：或 ， 不符合题意，舍去， 的值为 ． 21. 如图．在 中，，，点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 运动到点 停止，过点 作交两腰于点，连接，设点 的运动时间为（秒），的面积为． （1）直接写出与之间的函数关系式，并写出对应的的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若直线的图象与函数的图象有两个不同的交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：画函数图象如下， 当时随的增大而增大；当时随的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题考查了求函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，一次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）作于点 ，根据题意求出，，求出，得到，分当时，当时两种情况讨论，即可得到答案； （2）根据解析式画函数图象，得到当时随的增大而增大；当时随的增大而减小； （3）当直线的图象过点时，，得到；当直线的图象过点时，，根据题意得到的取值范围为． 【小问1详解】 解：如图，作于点 ， ， ， ，， ， ， （秒），（秒）， ， 当时，， ； 当时，， ， ， 综上，与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 【小问3详解】 解：当直线的图象过点时，， ， 当直线的图象过点时， ， 直线的图象与函数的图象有两个不同的交点， 的取值范围为． 22. 北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形 区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、 为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据：，，） （1）求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） （2）测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 【答案】（1）米 （2）小明先到达，先到达分钟． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、方位角、直角三角形的性质等知识点，将实际问题转化为三角函数问题是解题的关键． （1）由题意可得：，，即，如图：过D作，先说明，解直角三角形可得，再说明，可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）先解直角三角形得到米，再说明，解直角三角形得到，，即；然后分别求得小明、小刚所用时间，然后作差比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，即， 如图：过D作， ∵， ∴，米，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴米 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明骑自行车以180米/分钟从D出发赶往B地， ∴小明用时：分钟；小刚共用时：分钟， ∵， ∴小明先到达，先到达分钟． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点，过点 的直线与 轴交于点． （1）求抛物线的表达式： （2）如图1，点 是抛物线顶点， 是 轴上方抛物线上一动点，过点 作轴交直线 于点，过点 作直线 的垂线交 于点 ，点为 轴上的动点（点 在点的上方），且，当的周长取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，把抛物线沿射线的方向平移个单位得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，过点作直线 的平行线，交 轴于点 ，连接．若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设直线 的表达式为 ，求出表达式，当最大时，的周长最大，设，则，得，当时，最大，此时的周长最大，得，作 ，截取，连接，三点共线时最小； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，得出新抛物线的顶点坐标为即，对称轴为直线，设，直线交 轴于点 ，分两种情况： ①当点在 轴上方时，②当点在 轴下方时，利用勾股定理建立方程分别求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线 的表达式为 ， 把代入 得， 解得：， 直线 的表达式为， ， ， ，， 轴， ， ，， ，， ， 当最大时，的周长最大， 设，则， ， 当时，最大，此时的周长最大， ， ， 的顶点 的坐标为， 即； 作 ，截取，连接， ，即， ， ，若使最小，则最小即可， ， 三点共线时最小， ， ； 【小问3详解】 解：把抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向上平移个单位，向右平移个单位， 新抛物线的顶点坐标为，即， 对称轴为直线， 设，直线交 轴于点 ， ①当点在 轴上方时， 如图，当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， （舍去），， ， ②当点在 轴下方时，如图， 此时， 作关于直线的对称点，连接， ， ， ， ， ，， ， ， 同①可得，， ， 在中， ， （舍去），， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 24. 已知：等边，点 和点 在直线的异侧，且，于点 ． （1）如图1，若，，求 的长； （2）如图2，取 中点 ，连接 ，试探究，， 三条线段的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，当最小时，在线段上取点 ，在射线 上取点，使，连接，，射线交 延长线于点 ．当最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） ；理由如下： 延长至点 ，使，连接，在上截取， ∵点 是 的中点， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵ ，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点 作于点 ，易得四边形为矩形，三线合一求出， 的长，含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出 的长，进而求出 ，勾股定理求出 的长； （2）倍长至点 ，连接，在上截取，三角形的中位线定理，得到，中垂线的判定和性质，得到，证明，得到，再根据，即可得出结论； （3）定弦定角得到三点共圆，圆周角定理得到，确定圆心 的位置，取 的中点，连接，得到点 在以为圆心的圆上，进而得到当三点共线时，的值最小，进而得到此时为以为直角顶点的直角三角形，当时，即：，，最小，过点 作，利用锐角三角形函数和含30度角的直角三角形的性质求出两个三角形的面积，即可得出结果． 【小问1详解】 解：过点 作于点 ， ∵等边 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， ∵， 为定值， ∴点三点共圆，设圆心为 ，则圆心在线段 的中垂线上，且， ∵垂直平分 ， ∴点 在射线上， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 取 的中点，连接，则：，，， ∴点 在以点为圆心，为半径的圆上， 连接，则：， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴三点共线， ∴为直径， ∴， ∴， ∵ ∴ 为的中点， ∵， ∴， ∴， 过点作，交 于点 ， ∴， ∴ ∴当 与点 重合时，，的值最小， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点 作， ∵ ， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，合理添加辅助线构造特殊图形和全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年杨家坪中学教育集团第一次质量监测（初中） 九年级（下）数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲试卷时用． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 的计算结果为（ ） A. 6 B. C. D. 9 2. 鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于命题的说法中，正确的是（ ） A. 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 平行四边形是中心对称图形 C. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D. 最小的有理数是0 5. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是 ，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第（7）个图案中阴影小三角形的个数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB于C，D两点，弦AF切小半圆于点E．已知OA＝2，OC＝1，则图中阴影部分的面积是（ ） A. ＋ B. ＋ C. ＋ D. ＋ 8. 如图， 是反比例函数图象上一点， 是反比例函数图象上一点，连接 交 轴于点 ，若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 9. 如图，在矩形中， 为对角线 上一点，连接 ，过点 作交 延长线于 ，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知关于x的多项式：，． ①若，则代数式的值为； ②若，当y随着x的增加而增加时，n的取值范围为； ③当时，若，则或． 以上结论正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 要使分式有意义，则 的取值应满足的条件为____________ ． 12. 已知，，那么________． 13. 有两把不同的锁（记为A，B），四把不同的钥匙（记为a，b，c，d），其中钥匙a只能打开锁A，钥匙b只能打开锁B，钥匙c和d都不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的概率是__________． 14. 如果关于 的分式方程有负整数解，且关于 的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为_____． 15. 如图，以 为直径的半圆上，，点C是半圆弧上的任意点，点F是的中点，连接交 于点E， 平分 交于点D，则_______度；当时， 的长为______． 16. 一个各数位上数字均不相等且不为0的四位自然数，若满足的结果是一个完全平方数，则称这个四位数为“差方数”．例如：四位数5236，，是“差方数”．若是一个“差方数”，则的最大值是_____；若是一个“差方数”，设，，且是整数，则满足条件的的最小值是_____． 三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）解方程： （2）计算： （3）解不等式组： （4）计算： 18. 华师版九年级上册教材第103页利用作斜边中点的方法，探究了：“在直角三角形中，锐角所对的直角边与斜边的数量关系．”我们还能用其他的方法证明这个结论吗？ 下面是小明的探究过程，请根据他的思路完成以下作图和填空： 已知：如图，在中， ，，求证：． （1）尺规作图：作的角平分线交 于点 ，在上取一点 ，使得，连接 （保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明：∵ ，， ∴． ∵ 平分， ∴ ① ． 在与中，，∴． ∴ ② ，∴． 又∵，∴ ③ ， ∴点 是 的中点，∴ ④ ． ∵，∴． 利用小明的探究过程，我们可以得到的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么 ⑤ 19. 为了圆梦中考，某校九年级的同学们刻苦训练跳绳，为进一步了解同学们的训练情况，从初三年级甲班和乙班中，各随机抽取40名同学进行1分钟跳绳测试，并对测试结果进行了整理、描述和分析，把1分钟跳绳完成个数用x表示，并分成了四个等级，其中，，，，下面给出了部分信息：请你根据信息，回答下列问题： ①甲班1分钟跳绳个数的扇形统计图 ②乙班1分钟跳绳个数频数分布统计表 分组 频数 ③乙班 组数据从高到低排列，排在最前面的个数据分别是：，，，，，，， ④甲班和乙班1分钟跳绳个数的平均数、中位数、A等级所占百分比如下表： 班级 平均数 中位数 等级所占百分比 甲班 乙班 （1）____________， ____________，____________； （2）根据以上数据分析，你认为哪个班级学生跳绳水平相对较差，请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知该校九年级共有1600名学生参加了此次测试，若跳绳个数大于等于200为优秀，请估计参加此次测试中1分钟跳绳优秀的学生有多少人？ 20. 我校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．已知每瓶硫酸铜溶液的售价比氯化钠溶液的售价多2.5元，花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶． （1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ （2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第二次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商家获利330元，求的值． 21. 如图．在 中，，，点从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 运动到点 停止，过点作交两腰于点，连接，设点的运动时间为 （秒），的面积为． （1）直接写出与 之间的函数关系式，并写出对应的 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若直线的图象与函数的图象有两个不同的交点，求的取值范围． 22. 北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线 、 为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西 方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据： ， ，） （1）求自行车道 的长．（结果保留小数点后一位） （2）测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点，过点 的直线与 轴交于点． （1）求抛物线的表达式： （2）如图1，点 是抛物线顶点， 是 轴上方抛物线上一动点，过点 作轴交直线 于点，过点 作直线 的垂线交 于点 ，点为 轴上的动点（点在点的上方），且，当的周长取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，把抛物线沿射线的方向平移个单位得到新抛物线，点 在新抛物线的对称轴上，过点 作直线 的平行线，交 轴于点 ，连接．若，直接写出所有符合条件的点 的坐标． 24. 已知：等边，点 和点 在直线 的异侧，且，于点 ． （1）如图1，若，，求 的长； （2）如图2，取 中点 ，连接，试探究， ，三条线段的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，当最小时，在线段 上取点 ，在射线上取点 ，使，连接，，射线交 延长线于点．当最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $