精品解析：陕西省西安市铁一中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

2024-2025-2八年级综合评价*数学 一、选择题 1. 年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递出新时代中国加快体育强国建设，向更高、更快、更强的目标不懈努力的理念．下列选项中能通过如图所示的图形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和方向，即可判断． 【详解】解：由平移性质可知，选项C符合题意，选项A、B、D不符合题意， 故选：C． 2. 若，则下列不等式不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；据此解答即可． 【详解】解：A、若，则，故本选项正确，不符合题意； B、若，则，故本选项正确，不符合题意； C、若，则，故本选项正确，不符合题意； D、若，不等式不一定成立，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 3. 如果等腰三角形的一个内角是，则它的另外两个内角分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，因为三角形的内角和为，所以只能为顶角，根据等腰三角形的性质从而可求出底角． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角是， ∴为三角形的顶角， ∴底角为：， 即其余两个内角的度数分别为，． 故选：B． 4. 玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角大于 B. 有一个内角大于等于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反证法 ，“至少有一个”的否定为“没有一个”，据此即可求解． 【详解】解：∵“至少有一个”的否定为“没有一个”， ∴应假设这个三角形中没有一个内角小于或等于， 即：这个三角形中每一个内角都大于， 故选：C 5. 把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，利用数轴表示不等式的解集，先通过移项，合并同类项求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， ， ， 不等式的解集表示在数轴上为， 故选：A． 6. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，三角形外角的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．先根据垂直平分线的性质得到，推出，由三角形外角的性质得到，然后利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， ． ， ． 故选：D． 7. 某校准备组织名学生进行野外考查活动，行李共有件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载人和件行李，乙种汽车每辆最多能载人和件行李．设租用甲种汽车辆，下列符合题意的不等式组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的应用，解题的关键是理解题意．设租用甲种汽车辆，则租用乙车是辆，根据行李和学生人数列不等式组即可求解． 【详解】解：设租用甲种汽车辆，则租用乙车是辆，对于人数需要满足：， 对于行李则要满足：， 故选：A． 8. 如图，在中，边，的垂直平分线交于点．若，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接， ， ， ， ，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， 故选：A． 9. 如果不等式组有且只有个整数解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、不等式组的整数解，得到关于的不等式组是解答的关键．先求得已知不等式组的解集，进而得到关于的不等式组，然后解不等式组即可求解． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组有且只有个整数解， ， 解得：， 故选：D． 10. 如图，在中，与的平分线相交于点H，，点D在AC的延长线上，交BC于F，交AB于G，连接CH．下列结论，①；②；③BH垂直平分CE；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】①利用角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；⑤由④的结论得，根据平分与平行条件可得，则可得出． 【详解】解：， 故①正确； ∵平分， ∴H到，的距离相等， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴垂直平分（三线合一），故③正确； ∵与的平分线相交于点H， ∴点H到，的距离相等，点H到，的距离相等， ∴点H到，的距离相等， ∴点H也位于的平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故④正确； 由④得：， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ，故⑤正确； 综上可知，①②③④⑤正确． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，能够综合运用上述知识是解题的关键． 二、填空题 11. 命题“若，则”的逆命题是______命题（填“真”“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】先写出逆命题，然后再判断真假即可． 【详解】解：∵若，则， ∴逆命题为：如果，那么， 当，时，， ∴逆命题是假命题； 故答案为：假． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及逆命题的定义，解题的关键是熟练掌握逆命题的定义． 12. 不等式的所有非负整数解的和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1得出不等式的解集，从而得出答案． 【详解】解： 不等式的非负整数解为，， 不等式的非负整数解之和为， 故答案为：． 13. 将点向左平移个单位，向下平移个单位得到点，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．让的横坐标减，纵坐标减，即可得到点的坐标． 【详解】解：根据题意，点的横坐标为：，纵坐标为， 点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，在网格中，A、B是两个格点，若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有 _______个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、格点图中画等腰三角形，分情况讨论是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和判定，分三种情况讨论：当时；当时；当时．分别作出符合条件的图即可解答． 【详解】解：如图： 分情况讨论： 当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为，，，． 综上所述：若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有8个． 故答案为：8． 15. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是数形结合．先求出直线与轴的交点坐标，再结合直线与直线相交于点，即可求解． 【详解】解：在直线中，令，则， 解得：， 直线与轴的交点坐标为， 直线与直线相交于点， 的解集为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点O为的中点，D、E是边上的两个动点（点D在点E的左侧），且，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，在右边取点，使，，连接，作点关于的对称点，连接，，则四边形是平行四边形，得到，由对称可得，可以得到，当、、三点共线时，最小，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：在右边取点，使，，连接，作点关于的对称点，连接，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对称可得， ∴， ∴当、、三点共线时，最小， 过作于，于，则， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对称可得，， ∴四边形和都是矩形， ∴，，，， ∴ ∴， ∴最小值， 故答案为：． 三、解答题 17. 解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了求一元一次不等式的解集，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）去括号，合并同类项，即可求出不等式的解集； （2）去分母，去括号，合并同类项，即可求出不等式的解集． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集． 【详解】解：， 由得， 由得， 则不等式组的解集为， 19. 如图，某小区要在道路，之间的区域内修建一座凉亭，按照设计要求，凉亭到区域内的两个娱乐区，的距离相等，且到两条道路，的距离也相等，请在图中标出凉亭的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是利用尺规作角的平分线，作线段的垂直平分线，理解题意，再确定作图目的是解题的关键．由线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以凉亭在线段的垂直平分线上，再利用尺规作线段的垂直平分线，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以凉亭在两条公路夹角的角平分线上，再利用尺规作公路夹角的角平分线，则这两条线的交点即为点，从而可得答案． 【详解】解：分别作出公路夹角的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为，则点就是凉亭的位置． 20. 如图，，是的高，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由“”可证，可得，再根据等腰三角形的定义即可求解； （）由直角三角形的性质可求的长，最后由勾股定理可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∴的面积． 21. 已知关于，的方程组的解，均为负数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？ 【答案】（1） （2）可取的整数值为或或 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先求出方程组的解，进而得到关于的不等式组，即可求解； （2）由题意可得，求出，结合得到，即可求解． 【小问1详解】 解： 得： ， 将代入①得： ， 原方程组的解为， 关于，的方程组的解，均为负数， ， 解得：； 【小问2详解】 不等式的解集为 ， ， ， ， 可取的整数值为或或． 22. 如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，由线段垂直平分线的性质可得，根据角平分线的性质可得，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据角平分线的性质可得，，证明，得到，推出，结合 ， 即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，， 垂直平分， ， ，，平分， ，， ， ； 【小问2详解】 ，，平分， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， ． 23. 某火锅店为吸引客户，推出两款双人套餐，下表是近两天两种套餐的收入统计： 套餐时间 数量 收入 A套餐 B套餐 第一天 20次 10次 2800元 第二天 15次 20次 3350元 （1）求这两款套餐的单价； （2）A套餐的成本约为45元，B套餐的成本约为50元，受材料和餐位的限制，该火锅店每天最多供应50个套餐，且A套餐的数量不少于B套餐数量的，求火锅店每天在这两种套餐上获得的最大利润． 【答案】（1）套餐销售单价为元，套餐销售单价为元 （2）元 【解析】 【分析】（1）设套餐销售单价为元，套餐销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设售出套餐个，总利润为w元，根据题意得出，然后根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设套餐销售单价为元，套餐销售单价为元， 根据题意，得 解得 答∶A套餐销售单价为元，套餐销售单价为元； 【小问2详解】 设售出套餐个，总利润为w元， 则 套餐的数量不少于套餐数量的，即， ，， 随的增大而减小，为正整数， 当时，最大，的最大值为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组、不等式以及一次函数关系式是解题的关键． 24. 问题探究： （1）如图1，在中，，是边上的点，过点作于，则的值为_________； （2）如图2，在等腰直角中，，，是边的中点，若是边上一点，试求：的最小值； （3）如图3，为等边三角形，为中点，连接，以为斜边向上作等腰，为线段上的一个动点，连接，若，则当取最小值时，_______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质，即可求解； （2）作，于，于交于，利用等腰直角三角形的性质得到，，再求出，得到，由此得到最小值为的长，计算即可得到答案； （3）过点作于点，过点作于点，作于点，且交于点，根据等边三角形的性质可得：，，求出，由等腰直角三角形的性质可得：，得到，当、、三点共线，即点与点重合时，最小，推出，得到，进而得到，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 如图3中，作，于，于交于． 是等腰直角三角形，， ，， 点是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， 根据垂线线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，， 即的最小值为； 【小问3详解】 如图3，过点作于点，过点作于点，作于点，且交于点， 为等边三角形，为中点，， ，， ，， 以为斜边向上作等腰， ， ，， ， ， 当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，最短路径问题，等边三角形的性质，将所求线段和转化为一条线段是此类题的特点，依此做辅助线解答． 附加题： 25. 如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为______． 【答案】##31度 【解析】 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，从而，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论． 本题考查了角平分线的性质和判定，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线， 在与中， ， ， ， 又， ， ， 为的平分线， 过点作于点， ∵， ． ∴， 为的平分线， ∵， ， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为：． 26. 如果关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的积为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组有且只有3个奇数解可以确定这三个奇数解是1，3，5，即可得到，解得，由关于y的方程的解为非负整数，可以求得满足条件的整数a的值，然后求出它们的积即可． 【详解】解：由，得， 由，得， ∵关于x的不等式组有且只有3个奇数解， ∴这三个奇数解是1，3，5， ∴， 解得， 由方程，可得， ∵方程的解为非负整数， ∴且为整数， 解得且为整数， ∴且为整数， ∴满足条件的整数a的值为，1，3， ∵， ∴符合条件的所有整数a的积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是求出a的取值范围． 27. 在中，，，点D是的中点，点P是内一点，且，连接是的中点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，取中点E，连接，证明得到，进而推出当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，在中，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取中点E，连接， ∵点D是的中点，， ∴， ∵是的中点，E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28. 如图，在中，，D是边上的一点，，，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和三角形外角的性质．在上取点E，使得，则，先证明，再证明，即可解决题． 【详解】解：∵，在上取点E，使得，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025-2八年级综合评价*数学 一、选择题 1. 年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递出新时代中国加快体育强国建设，向更高、更快、更强的目标不懈努力的理念．下列选项中能通过如图所示的图形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果等腰三角形的一个内角是，则它的另外两个内角分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角大于 B. 有一个内角大于等于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 5. 把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 某校准备组织名学生进行野外考查活动，行李共有件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载人和件行李，乙种汽车每辆最多能载人和件行李．设租用甲种汽车辆，下列符合题意的不等式组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，边，的垂直平分线交于点．若，则是（ ） A. B. C. D. 9. 如果不等式组有且只有个整数解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，与的平分线相交于点H，，点D在AC的延长线上，交BC于F，交AB于G，连接CH．下列结论，①；②；③BH垂直平分CE；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题 11. 命题“若，则”的逆命题是______命题（填“真”“假”）． 12. 不等式的所有非负整数解的和是________． 13. 将点向左平移个单位，向下平移个单位得到点，则点的坐标是_______． 14. 如图，在网格中，A、B是两个格点，若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有 _______个． 15. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为_______． 16. 如图，在中，，，点O为的中点，D、E是边上的两个动点（点D在点E的左侧），且，连接，，则的最小值为________． 三、解答题 17. 解不等式： （1）； （2）． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19. 如图，某小区要在道路，之间的区域内修建一座凉亭，按照设计要求，凉亭到区域内的两个娱乐区，的距离相等，且到两条道路，的距离也相等，请在图中标出凉亭的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 20. 如图，，是的高，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的面积． 21. 已知关于，的方程组的解，均为负数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？ 22. 如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 某火锅店为吸引客户，推出两款双人套餐，下表是近两天两种套餐的收入统计： 套餐时间 数量 收入 A套餐 B套餐 第一天 20次 10次 2800元 第二天 15次 20次 3350元 （1）求这两款套餐的单价； （2）A套餐的成本约为45元，B套餐的成本约为50元，受材料和餐位的限制，该火锅店每天最多供应50个套餐，且A套餐的数量不少于B套餐数量的，求火锅店每天在这两种套餐上获得的最大利润． 24. 问题探究： （1）如图1，在中，，是边上的点，过点作于，则的值为_________； （2）如图2，在等腰直角中，，，是边的中点，若是边上一点，试求：的最小值； （3）如图3，为等边三角形，为中点，连接，以为斜边向上作等腰，为线段上的一个动点，连接，若，则当取最小值时，_______． 附加题： 25. 如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为______． 26. 如果关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的积为 _______． 27. 在中，，，点D是的中点，点P是内一点，且，连接是的中点，则的最小值是__________． 28. 如图，在中，，D是边上的一点，，，则的度数为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $