精品解析：四川省泸县第五中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

泸县五中2025年春期高一第一学月考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. （   ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. A、B、D三点共线 B. A、B、C三点共线 C. B、C、D三点共线 D. A、C、D三点共线 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，若，则值为（ ） A B. C. D. 8. 若，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上的值域为 C. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的图象关于轴对称 D. 若方程在上恰有一个根，则的取值范围为 11. 已知是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，，则（ ） A. 的面积恒为 B. 存在，使得 C. D. 的取值范围是 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. ，是平面内两个单位向量，它们夹角为，__________. 13. ______． 14. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，与夹角为． （1）求； （2），，求的值； （3）若在方向上的投影向量为，求的最小值． 16. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，当，解不等式. 17. 某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为.记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）. （1）求新路总长度的解析式； （2）求新路总长度的最小值． 18. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 19. 在平面直角坐标系中，我们把函数上满足（其中表示正整数）的点称为函数的“正格点”. （1）写出当时，函数图象上的正格点坐标； （2）若函数与函数的图象有正格点交点，求的值. （3）对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸县五中2025年春期高一第一学月考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式可得出所求代数式的值. 【详解】． 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式可得. 【详解】， 故选：B 3. （   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法法则及相反向量的意义求解. 【详解】 故选：C 4. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由任意角三角函数定义可得答案. 【详解】注意到，则在单位圆上，则. 故选：A 5. 已知，，，则（ ） A. A、B、D三点共线 B. A、B、C三点共线 C. B、C、D三点共线 D. A、C、D三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法法则，得到，从而可得结论. 【详解】，，， ，，与共线， 因为两向量有一个公共点B，、B、D三点共线，故A正确． 由，，可得， 所以不存在使得，故A、B、C三点不共线，故B不正确； 由，，可得， 所以不存在使，故B、C、D三点不共线，故C不正确； 因为，， 所以， 又，可得， 所以不存在使，故A、C、D三点不共线，故D不正确； 故选：A. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，， 因此， . 故选：C. 7. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示得，再应用齐次式运算，由弦化切求目标式的值. 【详解】由题设， 而. 故选：B 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正切的两角差公式化为角正切，再利用二倍角公式也把所求的式子化为角正切，从而得解. 详解】， . 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，，结合同角三角函数的平方关系可解得的值，再根据商数关系可得的值，依次代入四个选项，逐项判断即可. 【详解】因为，所以， 则，即， 又，所以，则； 联立，解得，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上的值域为 C. 将图象向左平移个单位长度得到的图象，则的图象关于轴对称 D. 若方程在上恰有一个根，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，B：根据辅助角公式化简函数，根据正弦函数的图象和性质即可判断.对于C：根据三角函数的平移得到解析式，根据偶函数定义判断即可.对于D：因为方程的根的个数等价于两个函数的交点个数，则的根的个数等价于和两个函数的交点个数，画出两个函数的图象，根据题意判断即可. 【详解】，故的最小正周期为，A错误； 当时，，所以， 从而，B正确； 由题意知 ， 所以偶函数，其图象关于轴对称，C正确； 令，当时，，则方程在上恰有一个根等价于， 即在上恰有一个根， 作出，的图象与直线，如图所示， 可得当或，即或时，方程上恰有一个根，D错误． 故选：BC. 11. 已知是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，，则（ ） A. 的面积恒为 B. 存在，使得 C. D. 的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量共线，即可求解A，根据对称性可求解BC，根据数量积的定义求解D. 【详解】由，可得，即， 所以在正六边形的对角线上运动，所以， 所以的面积为定值，且，A正确； 因为正六边形关于直线对称，所以不论在何处，总有，B错误； 根据图形的对称性，当为的中点时，取到最大值， 当与或重合时，取到最小值，故的取值范围是，C正确； ，的取值范围是，D错误． 故选:AC． 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. ，是平面内两个单位向量，它们的夹角为，__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求，再求解. 【详解】由题意可得： ， 所以. 故答案为： 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用差角的余弦公式以及辅助角公式化简计算即可. 【详解】由题意知 . 故答案为：. 14. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据函数的平移规则得到的解析式，画出函数图象，结合的对称性计算可得. 【详解】因为函数，将的图象向左平移个单位长度得到， 函数的对称轴为，对称中心为，且为偶函数， 又函数的图象是由的图象将轴下方的部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变而得到， 所以的对称轴为， 又的图象是将的图象向上平移一个单位得到， 所以的图象如下所示： 因为关于的方程在上有个实数根， 即与在上有个交点， 又，，所以， 令与交点的横坐标从小到大依次为， 则关于对称，关于对称，关于对称，关于对称， 所以， 所以 . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2），，求的值； （3）若在方向上的投影向量为，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积的定义即可求解； （2）利用向量的夹角公式求解即可； （3）先求得投影向量，进而计算可求的最小值. 【小问1详解】 因为，，与的夹角为， 所以； 【小问2详解】 因为， ， ， 所以. 【小问3详解】 在方向上的投影向量为， 所以， 当时，的最小值为． 16. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，当，解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数，再由正弦型函数的单调性求解即可； （2）利用三角函数图象的变换求出的解析式，再由正弦型函数的图象与性质解不等式即可. 【小问1详解】 函数， 当，时，解得：，， 因此，函数的单调减区间为. 小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位，可得的图象， 再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象， 由，即，得，， 解得， 令，可得， 令，可得， 又，所以， 即当时，不等式的解集为. 17. 某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为.记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）. （1）求新路总长度的解析式； （2）求新路总长度的最小值． 【答案】（1），其中. （2）千米. 【解析】 【分析】（1）添加辅助线，分别解出，，，解出即可； （2）由基本不等式解出的最小值即可. 【小问1详解】 如图： 连接， ∵，可得， ， 在直角三角形MCP中，则，所以，， ， ， 其中，则. 【小问2详解】 ，当且仅当时取等号. 故新路总长度的最小值为千米. 18. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【小问1详解】 因为所以， 所以, 所以. 【小问2详解】 由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. 【小问3详解】 易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 19. 在平面直角坐标系中，我们把函数上满足（其中表示正整数）的点称为函数的“正格点”. （1）写出当时，函数图象上的正格点坐标； （2）若函数与函数的图象有正格点交点，求的值. （3）对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），，； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据正格点定义及正弦函数性质写出正格点坐标； （2）画出正弦、对数函数的大致图象，数形结合易知正格点为，代入函数求参数值； （3）由题设有，讨论、并结合对数函数性质求参数范围. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以函数的正格点为，，. 【小问2详解】 根据题设，可得两个函数大致图象如下， 函数，，与函数的图象只有一个“正格点”交点. ∴，则，又，可得. 【小问3详解】 由（2）知，，则， 所以，故； 当时，不等式不能恒成立； 当时，如下图知， 由，解得， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第二、三问，根据正弦函数、对数函数的图象及性质，及正格点的定义、不等式恒成立求参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$