精品解析：2025届湖南省长沙市芙蓉高级中学高三模拟数学试题

2025届湖南省长沙市芙蓉高级中学高三模拟数学试题 模拟考试 考试时间：120分钟 满分：150分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上 无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】根据对数型函数求值域得A，根据二次函数求得函数定义域得B，根据交集运算得解. 【详解】为函数的值域， 令或，， 为函数的定义域， 即，因为，所以函数定义域为， 故， 故选：D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的定义即可得到答案. 【详解】， 故选：C. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式得，然后根据充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】由得，故成立时，不一定成立， 比如，满足，但是，不满足； 反之当成立时，一定成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知，则“”是“直线与平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先由两直线平行的充要条件求出参数的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 所以“”是“直线与平行”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件及投影向量的求解方法，即可得出在向量上的投影向量为，化简即可. 【详解】因为，向量与向量的夹角为， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 6. 若1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5，成等比数列，则等差数列的公差为 A. 3 B. 3或－1 C. －3 D. 3或－3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意列关于a，b的方程组，求得a，b后可得等差数列的公差． 【详解】∵1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5成等比数列，则 ，解得或, ∵3，a+2，b+5成等比数列,故b+50,即，∴舍去， 即∴等差数列的公差为b-a=3． 故选A． 【点睛】本题考查了等差数列,等比数列的性质，考查了等差数列的定义.属于基础题. 7. 已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以， 即，所以在上，故的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点， 因为向量在向量上投影向量为， 故 由于为锐角，所以 故选：B． 8. 已知函数，则函数的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出的单调区间，从而可得函数的最小值. 【详解】函数的定义域为，且，令,可得. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 故. 故选:B. 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9. 已知函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 的图象关于点对称 C. 有2个零点 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明得函数图象的对称点判断选项B；利用函数单调性和零点存在定理判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D． 【详解】A．函数，，令，解得或， 故当时，当时，，当时， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极大值点，故A正确； B．， 所以的图象关于点对称，故B错误； C．，易知，的单调性一致，而， 故有2个零点，故C正确； D．当时，，而在上单调递增，故，故D错误． 故选：AC． 10. 设函数，且相邻两条对称轴之间的距离为，，，则（ ） A. ， B. 在区间上单调递增 C. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称 D. 当时，函数取得最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】先把化成的形式，结合两对称轴之间的距离为，求出周期，进而确定的值，在根据三角函数的性质进行判断. 【详解】因为，因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以其最小正周期为，所以； 又，所以，即，所以，故A错误； 对于B，令，得，所以的单调递增区间为，显然不是其子集，故B错误； 对于C，平移后得到图象的函数解析式为，为偶函数，故其图象关于轴对称，故C正确； 对于D，因为，当，即时取得最大值，故D正确. 故选:CD 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的最小值 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D. 【详解】, , 对于也成立， 所以，故A正确； 当时，,当n=17时,当时，, 只有最大值，没有最小值，故B错误； 因为当时，,∴，故C正确； ， 故D错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题. 和与项的关系,若数列的前 项为正值，往后都是小于等于零，则当时有，若数列的前 项为负值，往后都是大于或等于零，则当时有.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前项和只有最小值，没有最大值. 12. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 当时，的值域是 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据原式得到其对称性，结合偶函数则得到其周期性，再利用其偶函数性质并结合其的解析式即可判断CD. 【详解】因为，则关于直线对称， 则，因为函数是定义在上的偶函数， 则，则，则B正确， 则 则的图象关于直线对称，故A正确； 对C，因为函数是定义在上的偶函数，则当时，的值域与时值域相同， 当时，，显然其为增函数，则的值域为，即，故C错误； 对D，当时，，则， 当时，，根据的周期为4， 则，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则_____，_____.（写出满足条件的一组和） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，根据复数的乘除法运算，结合复数的模的计算公式，求出的关系即可. 【详解】设， 则， ， 由， 整理得，即， 所以， 可取， 所以. 故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可） 14. 已知抛物线的焦点为F，斜率为1的直线l过F与C交于A，B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】得到直线线l的方程，联立抛物线方程，得到，从而利用AB的中点到抛物线准线的距离列出方程，求出. 【详解】由题意得，准线方程为， 则直线， 与联立得， 设，则， 则AB的中点到抛物线准线的距离为， 解得. 故答案为：4 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用基本不等式，将等式转化为不等式，再根据三角函数的性质以及等号成立的条件，转化为，再利用正弦定理角化边，即可求解. 【详解】由基本不等式，，则，又，故，即基本不等式必须取等，，，． 故答案为： 16. 设随机变量，若，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由二项分布的期望公式可得，再根据二项分布的方差公式结合二次函数最值分析求解. 【详解】因为随机变量，则，解得， 又因为， 且函数在区间上单调递增， 可知， 所以的最大值为． 故答案为：. 四、解答题（共4小题，共70分） 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若，点D是线段AC上的一点，且，．求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，由题设得到，结合内角范围即得； （2）由等面积和余弦定理联立,求出即得三角形的周长. 【小问1详解】 由和正弦定理，(*)， 因 代入(*)化简得，,即， 因，故得，因,则. 【小问2详解】 由题意知，是的平分线.由可得， ，化简得，① 又由余弦定理，，即②， 将①代入②可得，，解得，（舍去）， 故的周长为. 18. 设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）分离参数，将问题转化为对于恒成立，构造函数利用导数求解函数的最值即可求解. 【小问1详解】 时，，则， ，故， 所以直线方程为，即； 【小问2详解】 ，当时，的最大值为， 对于恒成立，则， 即，，当时，不等式成立， 当，即对于恒成立， 令，则， 于是当时， ，递增；在，，递减， ， 因此 的取值范围为 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 19. 已知单调递增数列的前项和为，且． （1）求通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用关系求得，结合已知及等差数列的定义写出通项公式； （2）由题设，应用错位相减法、等比数列前n项和公式求. 【小问1详解】 由已知，时，即有，解得， 当时，由，得， 两式相减，得，即，则， 因为单调递增，且，则，， 所以，即，故是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，的通项公式． 【小问2详解】 由，得，，所以，① 则有，② ①－②，得， 所以． 20. 已知集合，实数满足. （1）若集合，且，，是集合中最小的三个元素，求集合A； （2）在（1）的条件下，若实数b构成的集合为B，且集合，若实数，且关于x的方程有实数解，请列出所有满足条件的有序数对. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据单调性得到最小的三个元素，得到答案； （2）先求出，得到，分和，结合根的判别式得到满足的条件，求出所有满足条件的有序数对. 【小问1详解】 随着的增大而增大， 又，故集合中最小的三个元素依次为 ， 故； 【小问2详解】 ， 当时，或1，当时，与元素互异性矛盾，舍去，满足要求， 当时，或2，两者均满足要求， 当时，（舍去）， 综上，， ， ，关于x的方程有实数解， 当时，，解得，满足要求， 故均可，满足条件的有序数对有， 当，需满足，即， 若，则，满足条件的有序数对有， 若，则，满足条件的有序数对有， 若，则，满足条件的有序数对有， 若，则，满足条件的有序数对有， 综上，满足条件的有序数对有， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届湖南省长沙市芙蓉高级中学高三模拟数学试题 模拟考试 考试时间：120分钟 满分：150分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上 无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则“”是“直线与平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 若1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5，成等比数列，则等差数列的公差为 A 3 B. 3或－1 C. －3 D. 3或－3 7. 已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则函数的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9. 已知函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 的图象关于点对称 C. 有2个零点 D. 当时， 10. 设函数，且相邻两条对称轴之间的距离为，，，则（ ） A. ， B. 在区间上单调递增 C. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称 D 当时，函数取得最大值 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的最小值 C. D. 12. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 当时，的值域是 D. 当时， 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则_____，_____.（写出满足条件的一组和） 14. 已知抛物线焦点为F，斜率为1的直线l过F与C交于A，B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则______． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______． 16. 设随机变量，若，则的最大值为_______． 四、解答题（共4小题，共70分） 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若，点D是线段AC上的一点，且，．求的周长． 18. 设函数. （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知单调递增数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 20. 已知集合，实数满足. （1）若集合，且，，是集合中最小的三个元素，求集合A； （2）在（1）的条件下，若实数b构成的集合为B，且集合，若实数，且关于x的方程有实数解，请列出所有满足条件的有序数对. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $