精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年高三下学期第七次质量检测（3月）数学试题

重庆市南开中学高2025 届高三第七次质量检测 数学试卷 注意事项： 1． 本试卷满分 150 分， 考试时间 120 分钟． 2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4． 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合,，则集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】由知道为奇数，从而求出集合，然后由集合的真子集公式求得结果. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故选：C 2. 若为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取可判断AB选项的正误；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项的正误. 【详解】取，则为第二象限角，，AB选项错误； 因为为第二象限角，则，，所以，，C错D对. 故选：D. 3. 设 为非零向量，则 “存在 ，使得 ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线定理和平面向量的数量积的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，存在正数，使得，所以，同向， 所以，即充分性是成立的； 反之，当非零向量夹角为锐角时，满足，而不成立，即必要性不成立， 所以“存在 ，使得 ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 故选：A. 4. 在等比数列中，若，则（ ） A. 1 B. 9 C. 1或9 D. 或9 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合等比中项运算求解，并根据同号取舍. 【详解】因为数列为等比数列， 则，则， 又因为，所以或9， 且，可知同号，所以. 故选：A. 5. 已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质以及期望的计算公式列式求解即可. 【详解】由分布列可得，解得， 由期望可得，解得. 故选：C. 6. 若函数的图像关于直线对称，则函数图像的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式（正弦）化简函数，由函数对称轴求出的值.由辅助角公式（余弦）化简函数，由的值求出函数的对称轴. 【详解】， 由题意可知是的解，即， ∴，当时，， ， ∴令，即，， ∴函数的对称轴为， 当时，. 故选：C. 7. 已知双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，是椭圆的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆方程可知的长，由垂直可知，然后设点坐标，得到方程组，解得点坐标，然后得到双曲线的渐近线斜率即，然后由双曲线离心率公式求得结果. 【详解】椭圆中，，，，∴， ∵， ∴ ， 设，则，解得，即， ∴双曲线的渐近线的斜率， ∴双曲线的离心率. 故选：A. 8. 已知函数 的定义域为 ，若函数 是奇函数， ． 记 的导函数为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，周期性，结合方程组法，以及复合函数的求导法则逐一求值即可. 【详解】由，得； 因为是奇函数，所以， 由，得，则； 由，得，所以，. 由，得，由，得， 由，得，所以. 因此，. 故选：B. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分． 9. 某班级的一次测验后， 随机抽取 7 名同学的成绩作为样本， 这 7 名同学的成绩分别为 80， 82， 83， 84， 85， 86， 88， 则（ ） A. 根据样本数据， 估计这次考试全班成绩上四分位数为 86 B. 根据样本数据， 估计这次考试全班成绩的标准差为 6 C. 当该样本中加入一个 84 形成新样本时，新样本数据的方差小于原样本数据的方差 D. 若该班成绩 服从正态分布 ，用这 7 名同学的成绩估计总体，则有 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据百分位数的定义可判断A，先计算平均数，再计算标准差可判断B，根据方差公式可判断C，根据正态分布的性质可判断D. 【详解】选项A：因为，所以上四分位数为第6个数，即86，故A正确； 选项B：， ， 则标准差，故B错误； 选项C：因为新平均数为84，所以新方差为，故C正确； 选项D：，因，，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图 1，在中，分别在上，且 ．将沿翻折得到图2，其中．记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 直线与所成角的正切值为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据勾股定理和线面垂直的判定定理、性质定理可判断A，根据，确定为异面直线与所成角的平面角，求解后可判断B；确定为的中点，为的中点，可得，又与不平行，从而可判断C；根据球的表面积公式计算即可判断D. 【详解】选项A：由图1，直角中，，， 因为，所以，且， ，，，， 由图2，在直角中，， 因为，且，所以， 所以在直角中，，又， 所以，所以， 又因为，，所以平面， 又平面，所以； 在中，，，，所以， 即，又，所以平面，故A正确； 选项B：因为，所以即为所求， 因为平面，平面，所以， 所以在直角中，，故B正确； 选项C：由上可知平面，，则的中点到距离相等， 因为平面，，则的中点到距离相等，所以为的中点， 同理可知为的中点， 所以，而与不平行，所以与不平行，故C错误； 选项D：由选项C可知：球的半径，球的半径， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，根据对数的运算性质可判断AB，利用作商法可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】令，则，，，. A选项：，故A正确； B选项：，故B错误； C选项：，故；，故；从而，故C正确； D选项：由A知，则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 直线被圆截得的弦长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为：. 13. 某年级将甲、乙、丙三位体育老师分配到 5 个不同班级指导学生体育活动，要求每位体育老师至少指导一个班级，每个班级只有一位体育老师指导，则不同的分配方案有_____种． 【答案】150 【解析】 【分析】先将5个班级分组，再进行分配即可. 【详解】将5个班级分成三组，有和两种类型， 故有种不同的分配方案. 故答案为：150. 14. 如图，边长为 的一组正三角形 的底边 依次排列在 轴上，其中 与坐标原点 重合． 若所有正三角形顶点 在第一象限，且均落在抛物线 上，则第 个正三角形的边长 _____． 【答案】 【解析】 【分析】为数列的前项和，则，得到，结合，化简得到，利用等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】记为数列的前项和，则， 即，整理得， 当时，可得， 所以，即， 因为，所以， 又因为，即数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为． 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，，，，，二面角大小为 ． （1）求的长度； （2）证明：平面． 【答案】（1）2 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）取中点，证明，，求出.由二面角的定义得到，由余弦定理求出的长； （2）由（1）可知，平面，从而得到，然后由线面垂直的判定即可得到平面. 小问1详解】 取中点，则， ∴，又∵且， ∴四边形为矩形，即且， 又∵，∴且， ∵平面平面，平面，平面， ∴二面角为，即， 在中，. 【小问2详解】 由（1）可知，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 又平面，平面，， ∴平面. 16. 2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人Unitree A1具备较强的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 销量 42 53 66 109 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差． （1）求的值(结果精确到0.1)； （2）求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差． 附： 回归系数，相关系数 ． 【答案】（1） （2）；残差为 【解析】 【分析】（1）根据题中数据可得，，，代入即可求的值； （2）根据线性回归方程必过样本中心点求的值，令，可得，即可得残差. 【小问1详解】 由表可得：，， 因为，可得， 又因为， 可得， 所以. 【小问2详解】 由表可知：， 由（1）可知回归直线方程为，且， 则，解得， 此时，，可得，符合题意， 所以， 对于回归直线方程，令，可得， 所以5月销售量的残差. 17. 已知函数，若，且对都有． （1）求的解析式； （2）若函数，且过点有3条直线与函数的图象相切．求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程求得，从而求得的解析式. （2）先求得的解析式，然后利用导数来求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意，①， ， 即， ，所以，结合①可得， 所以. 【小问2详解】 ，设切点为， 所以切线方程为， 代入得， ， 设， ， 所以在区间单调递减， 在区间单调递增， ， ， 画出的图象如图所示， 因为过点有条直线与函数的图象相切， 即与的图象有个交点，所以， 综上，的取值范围是. 18. 如图， 是抛物线 上一点，过点 的直线 与 轴分别交于 两点，且 是线段 的中点． （1）证明：直线 是抛物线 的切线； （2）若点 是抛物线 上异于点 的动点， ， 分别在线段 ， 上，且 ， 交 于点 ． ①证明： 点 是 的重心； ②若直线 过点 ，求 的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）设点的坐标，根据中点坐标公式得点的坐标，进而得直线的方程，与抛物线的方程联立，消元后得一元二次方程，计算得，即证明直线是抛物线的切线； （2）①由三点共线，设，再结合，可得，由是线段的中点，得，进而得，即可证明是的重心； ②设直线的方程，与抛物线方程联立，可得，进而可得点的坐标，根据两点间的距离公式可得的表达式，构造函数，利用导函数求的最小值，即可得的最小值. 【小问1详解】 设，因为是线段的中点，所以. 则，所以直线的方程为，即. 联立，整理得，所以， 因此，直线是抛物线的切线. 【小问2详解】 ①因为三点共线，所以. 又因为，设，则， 所以， 所以， 因为是线段的中点，所以，即， 所以，所以是重心. ②设直线，. 联立，整理得，所以，则， 由，，，得， 所以 令， 则， 因此，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值. 19. 一般地，任何一个复数 可以写成 ，其中 是复数的模， 是复数的辐角，我们称 叫做复数 的三角形式． 利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算．如： ， （1）若复数 ，求复数 的实部和虚部； （2）利用复数的三角形式计算：的值； （3）若复数 满足 ，记复数 证明： 且 ． 【答案】（1）实部为，虚部为0； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）转化为三角形式后再计算即可； （2）令，再代入根据三角运算即可得到答案； （3）首先分析出，再计算得，即证明，则则，再累加计算，最后放缩即可. 【小问1详解】 ， ， 复数的实部为，虚部为0； 【小问2详解】 由可得： ， 令，则 ， ， 【小问3详解】 由可得:， ，， 令,则. ， 又 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市南开中学高2025 届高三第七次质量检测 数学试卷 注意事项： 1． 本试卷满分 150 分， 考试时间 120 分钟． 2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4． 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合,，则集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 15 2. 若为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 3. 设 为非零向量，则 “存在 ，使得 ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在等比数列中，若，则（ ） A 1 B. 9 C. 1或9 D. 或9 5. 已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图像关于直线对称，则函数图像的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，是椭圆的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 的定义域为 ，若函数 是奇函数， ． 记 的导函数为 ，则 （ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分． 9. 某班级的一次测验后， 随机抽取 7 名同学的成绩作为样本， 这 7 名同学的成绩分别为 80， 82， 83， 84， 85， 86， 88， 则（ ） A. 根据样本数据， 估计这次考试全班成绩的上四分位数为 86 B. 根据样本数据， 估计这次考试全班成绩的标准差为 6 C. 当该样本中加入一个 84 形成新样本时，新样本数据的方差小于原样本数据的方差 D. 若该班成绩 服从正态分布 ，用这 7 名同学的成绩估计总体，则有 10. 如图 1，在中，分别在上，且 ．将沿翻折得到图2，其中．记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 直线与所成角的正切值为 C. D. 11. 已知正数 满足 ，则下列不等关系正确有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 直线被圆截得的弦长为_____． 13. 某年级将甲、乙、丙三位体育老师分配到 5 个不同班级指导学生体育活动，要求每位体育老师至少指导一个班级，每个班级只有一位体育老师指导，则不同分配方案有_____种． 14. 如图，边长为 的一组正三角形 的底边 依次排列在 轴上，其中 与坐标原点 重合． 若所有正三角形顶点 在第一象限，且均落在抛物线 上，则第 个正三角形的边长 _____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，，，，，二面角大小为 ． （1）求的长度； （2）证明：平面． 16. 2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人Unitree A1具备较强的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 销量 42 53 66 109 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差． （1）求的值(结果精确到0.1)； （2）求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差． 附： 回归系数，相关系数 ． 17. 已知函数，若，且对都有． （1）求的解析式； （2）若函数，且过点有3条直线与函数图象相切．求的取值范围． 18. 如图， 是抛物线 上一点，过点 直线 与 轴分别交于 两点，且 是线段 的中点． （1）证明：直线 是抛物线 的切线； （2）若点 是抛物线 上异于点 的动点， ， 分别在线段 ， 上，且 ， 交 于点 ． ①证明： 点 是 的重心； ②若直线 过点 ，求 的最小值． 19. 一般地，任何一个复数 可以写成 ，其中 是复数的模， 是复数的辐角，我们称 叫做复数 的三角形式． 利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算．如： ， （1）若复数 ，求复数 的实部和虚部； （2）利用复数的三角形式计算：的值； （3）若复数 满足 ，记复数 证明： 且 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$