第十章 二元一次方程组（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版2024）

第十章 二元一次方程组（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．已知是方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程的解求字母的值，将方程的解代入原方程计算即可求解． 【详解】解：是方程的一个解， ， 解得：， 故选：A． 2．方程，用含y的代数式表示x为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程，用含y的代数式表示x，则可把看作是关于x的一元一次方程，然后解关于x的方程即可． 【详解】解：， 移项得， 故选：D． 3．在代数式中，当x分别取，，，1，2，3时，对应代数式的值如表： x 1 2 3 3 5 7 则的值为（  ） A．3 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，二元一次方程组的应用，根据表格中相关数据，列出关于k、b的方程组，求出k、b的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 则， 故选：B． 4．用代入法解方程组，下列最合适的变形是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，根据最优化原则进行判断即可． 【详解】解：用代入法解方程组，下列最合适的变形是由②，得， 故选：D． 5．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查根据方程组的解的情况，求参数的值，先求出方程组的解，把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， 把代入，得：， 解得：； 故选A． 6．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据图示可以列出方程组． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：． 故选：B． 7．关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握三元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：把 代入得，， ∴， ∴， 故选：． 8．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，则的值为（    ） A．2 B．－2 C．0 D．－3 【答案】B 【分析】根据题意，方程②的一个解为，代入方程②，求得；方程①的一个解为，代入求得，再代入代数式即可求解． 【详解】解：根据题意，方程②的一个解为，代入方程②，求得 方程①的一个解为，代入方程①，求得 将，代入代数式得 故答案为B． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的有关知识，解题的关键是通过已知条件列出式子求得，． 9．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则安排（   ）名工人生产镜片． A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系．等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：由题意，得． 解得． 则安排20名工人生产镜片． 故选：B． 10．对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：，例如，若，且，则a，b的值分别为（    ） A．，1 B．2， C．，2 D．1， 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，根据新定义建立关于a，b的方程组是解答本题的关键．根据新定义建立关于a，b的方程组，然后用加减消元法求解即可． 【详解】解：根据题意，得 整理，得， 得， ∴， 将代入②得，， ∴． 故选B． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．已知方程的一个解是，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查二元一次方程的解，把方程的解代入方程中得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：把代入得， ∴． 12．已知方程组与有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】根据两个方程组解相同，可先求出x、y的值，再将x、y的值代入其余两个方程即可求出m、n的值． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 把x、y的值代入方程组， 可得， 解得． ∴m+n=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是先求出x、y的值． 13．为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据河道总长为180米和、两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解． 【详解】解：设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米， 依题意可得：． 故答案为：． 14．方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，先整理出，再代入，得出，再把代入，得出，则把代入解出，即可作答． 【详解】解： 由得出，整理得 把代入，得出 解得 把代入，得出 把代入，得出 ∴方程组的解为． 故答案为：． 15．甲、乙两地之间的路段由若干段坡路组成，小明爸爸开车从甲地去往乙地办事，从甲地到乙地用了小时，返回时用了小时．已知汽车在上坡时速度为28千米/小时，下坡时速度为42千米/小时，则从甲地到乙地的总路程是 千米． 【答案】154 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，设从甲地到乙地的上坡路程为千米，下坡路程为千米，根据题意可得，再进一步解方程组即可． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡路程为千米，下坡路程为千米，则 ， 整理得：， 解得：； ∴， ∴从甲地到乙地的总路程是154千米． 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（10分）按要求解下列方程组． (1)（用代入法解） (2)（用加减法解） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）根据代入消元法求解的步骤计算可得； （2）根据加减消元法求解的步骤计算可得． 【详解】（1）， 由①，得③， 将③代入②，得， 解这个方程，得：， 将代入③，得， 所以原方程组的解是； （2）， 得，③， ①+③，得， 解得， 将代入②，得， 所以原方程组的解是 17．（8分）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的a，b的值； (3)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 【答案】(1)甲把a看成了1，乙把b看成了3 (2)5 (3)-64 【分析】（1）根据题意把代入①求出a，然后把代入②求出b，进而问题得解； （2）根据题意把代入②求出b，然后把代入①求出a，进而问题得解； （3）由（2）可求出方程组的解，然后代值求解即可． 【详解】（1）解：把代入①，得，解得； 把代入②，得，解得． ∴甲把a看成了1，乙把b看成了3． （2）解：把代入①，得，解得：； 把代入②，得，解得：． （3）解：由（2）可得原方程组为， 解得原方程组的正确解为：． ∴． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解法及代数式的值，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 18．（8分）春节临近，某经销商购进A，B两种农产品若干次，若每次进价不变，第一次购进A种农产品6件和B种农产品3件，购买总费用为780元；第二次购进A种农产品5件和B种农产品6件，购买总费用为1000元． (1)求A，B两种农产品每件的进价分别是多少元？ (2)若该经销商第三次购进A，B两种农产品，购买总费用为1600元，且A，B两种农产品都购买，只能购进整数件，请问这次购买有哪几种方案？说明理由． 【答案】(1)A，B两种农产品每件的进价分别是80元，100元 (2)这次购买有3种方案，分别是：①购进A种农产品15件，B种农产品4件；②购进A种农产品10件，B种农产品8件；③购进A种农产品5件，B种农产品12件，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找准等量关系式是解题的关键． （1）设A，B两种农产品每件的进价分别是x元，y元，根据“第一次购进A种农产品6件和B种农产品3件，购买总费用为780元；第二次购进A种农产品5件和B种农产品6件，购买总费用为1000元”列方程组求解即可； （2）设第三次购进A，B两种农产品各m件，n件，根据“购买总费用为1600元”列出二元一次方程，然后根据m，n都是正整数求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种农产品每件的进价分别是x元，y元， 根据题意，得， 解得， 答：A，B两种农产品每件的进价分别是80元，100元； （2）解：设第三次购进A，B两种农产品各m件，n件， 根据题意，得， ∴， ∵m，n都是正整数， ∴或或， ∴这次购买有3种方案，分别是：①购进A种农产品15件，B种农产品4件；②购进A种农产品10件，B种农产品8件；③购进A种农产品5件，B种农产品12件． 19．（9分）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表 购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购买 6 5 980 第二次购买 3 6 840 第三次购买 9 8 760 （1）小明以折扣价购买商品A、B是第 　 　次购物； （2）求商品A、B的标价； （3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】（1）三；（2）A、B两种商品的标价分别为80元，100元；（3）商店是打5折出售商品A、B的 【分析】（1）根据三次总费用可得到小明以折扣价购买商品A、B是第三次购物； （2）设A、B两种商品的标价分别为x元，y元．根据题意，可列出方程组，即可求解； （3）设商店是打折出售的，根据单价乘以数量等于总价，即可求解． 【详解】（1）根据三次总费用可得到小明以折扣价购买商品A、B是第三次购物；    （2）设A、B两种商品的标价分别为x元，y元．根据题意，可得   ，   解得， 答：A、B两种商品的标价分别为80元，100元．    （3）设商店是打折出售的，则 (80×9+8×100)=760，解得=5 答：商店是打5折出售商品A、B的． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，明确题意，准确找到等量关系是解题的关键． 20．（8分）为适应体育中考评价改革，并满足学生多样化的锻炼需求，某校准备增订排球和跳绳．已知该校第一次购进10个排球，20条跳绳共花费1200元，第二次购进20个排球，10条跳绳共花费1800元． (1)问排球和跳绳的单价各是多少？ (2)元旦期间商店给出两种优惠方案．A方案：买两个排球送一条跳绳；B方案：排球和跳绳都打九折．若学校还需购买30个排球，35条跳绳，请问哪种方案更优惠． 【答案】(1)排球的单价是80元，跳绳的单价20元 (2)方案更优惠 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键． （1）设排球的单价是元，跳绳的单价是元，根据两次订购的数量和费用建立方程组，解方程组即可得； （2）结合（1）的结果，分别计算出两种方案的费用，由此即可得． 【详解】（1）解：设排球的单价是元，跳绳的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：排球的单价是80元，跳绳的单价20元． （2）解：方案：（元）， 方案：（元）， 因为， 所以方案更优惠． 21．（8分）阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次方程、二元一次方程组的求解，注意正确理解题意即可． （1）由题意得：,即可求解； （2）根据定义即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：, 解得： （2）解：， ， 则原方程组的解为 22．（12分）【综合与实践】设计运动会物资的购买方案． 【背景素材】八年级（1）班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料共需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料共需340元． 【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究． 【确定售价】（1）A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元/瓶？ 【方案探究】（2）购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元；（2）共有4种购买方案，方案1：购买32瓶A品牌运动饮料，5瓶B品牌运动饮料；方案2：购买24瓶A品牌运动饮料，10瓶B品牌运动饮料；方案3：购买16瓶A品牌运动饮料，15瓶B品牌运动饮料；方案4：购买8瓶A品牌运动饮料，20瓶B品牌运动饮料． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元，根据“买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料需325元；买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料需340元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m瓶A品牌运动饮料，n瓶B品牌运动饮料，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】解：（1）设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元， 根据题意得， 解得， 答：A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元； （2）设购买m瓶A品牌运动饮料，n瓶B品牌运动饮料， 根据题意得：， ∴， 又∵m,n均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案， 方案1：购买32瓶A品牌运动饮料，5瓶B品牌运动饮料； 方案2：购买24瓶A品牌运动饮料，10瓶B品牌运动饮料； 方案3：购买16瓶A品牌运动饮料，15瓶B品牌运动饮料； 方案4：购买8瓶A品牌运动饮料，20瓶B品牌运动饮料． 23．（12分）综合与探究 【问题情境】小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道题目：“已知的三边长分别为a，b，c（），且满足，求c的取值范围．” 【思路分析】小明说：“把看作一个整体，我能求出a的值．” 小红说：“我求不出c的取值范围，但我能用含c的代数式表示b．” 小明和小红一起去请教李老师，李老师说：“根据你们二人的思路求解，再结合三角形的三边关系，即可得到c的取值范围．” 【问题解决】 (1)你知道小明是如何计算a的值的吗？请你写出求解的过程． (2)请你用含c的代数式表示b，________． (3)请你根据李老师的提示，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及非负数的性质、一元一次不等式的应用等知识，根据三角形三边关系得出不等式是解题关键． (1)利用偶次方以及绝对值的性质化简求出即可； (2)利用进而求出即可； (3)利用三角形三边关系分别得出即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． （2）解：， ． （3）解：由三角形的三边关系，得， ． ， 解得． 又， ，即． 解得． ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．已知是方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．方程，用含y的代数式表示x为（   ） A． B． C． D． 3．在代数式中，当x分别取，，，1，2，3时，对应代数式的值如表： x 1 2 3 3 5 7 则的值为（  ） A．3 B．7 C． D． 4．用代入法解方程组，下列最合适的变形是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 5．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 6．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，则的值为（    ） A．2 B．－2 C．0 D．－3 9．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则安排（   ）名工人生产镜片． A．10 B．20 C．30 D．40 10．对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：，例如，若，且，则a，b的值分别为（    ） A．，1 B．2， C．，2 D．1， 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．已知方程的一个解是，则 ． 12．已知方程组与有相同的解，则 ． 13．为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ． 14．方程组的解为 ． 15．甲、乙两地之间的路段由若干段坡路组成，小明爸爸开车从甲地去往乙地办事，从甲地到乙地用了小时，返回时用了小时．已知汽车在上坡时速度为28千米/小时，下坡时速度为42千米/小时，则从甲地到乙地的总路程是 千米． 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（10分）按要求解下列方程组． (1)（用代入法解） (2)（用加减法解） 17．（8分）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的a，b的值； (3)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 18．（8分）春节临近，某经销商购进A，B两种农产品若干次，若每次进价不变，第一次购进A种农产品6件和B种农产品3件，购买总费用为780元；第二次购进A种农产品5件和B种农产品6件，购买总费用为1000元． (1)求A，B两种农产品每件的进价分别是多少元？ (2)若该经销商第三次购进A，B两种农产品，购买总费用为1600元，且A，B两种农产品都购买，只能购进整数件，请问这次购买有哪几种方案？说明理由． 19．（9分）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表 购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购买 6 5 980 第二次购买 3 6 840 第三次购买 9 8 760 （1）小明以折扣价购买商品A、B是第 　 　次购物； （2）求商品A、B的标价； （3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 20．（8分）为适应体育中考评价改革，并满足学生多样化的锻炼需求，某校准备增订排球和跳绳．已知该校第一次购进10个排球，20条跳绳共花费1200元，第二次购进20个排球，10条跳绳共花费1800元． (1)问排球和跳绳的单价各是多少？ (2)元旦期间商店给出两种优惠方案．A方案：买两个排球送一条跳绳；B方案：排球和跳绳都打九折．若学校还需购买30个排球，35条跳绳，请问哪种方案更优惠． 21．（8分）阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 22．（12分）【综合与实践】设计运动会物资的购买方案． 【背景素材】八年级（1）班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料共需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料共需340元． 【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究． 【确定售价】（1）A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元/瓶？ 【方案探究】（2）购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有哪几种购买方案？ 23．（12分）综合与探究 【问题情境】小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道题目：“已知的三边长分别为a，b，c（），且满足，求c的取值范围．” 【思路分析】小明说：“把看作一个整体，我能求出a的值．” 小红说：“我求不出c的取值范围，但我能用含c的代数式表示b．” 小明和小红一起去请教李老师，李老师说：“根据你们二人的思路求解，再结合三角形的三边关系，即可得到c的取值范围．” 【问题解决】 (1)你知道小明是如何计算a的值的吗？请你写出求解的过程． (2)请你用含c的代数式表示b，________． (3)请你根据李老师的提示，求c的取值范围． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$