精品解析：江西省吉安市第八中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年吉安八中九年级下学期第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下面各式中，结果比3大且是整数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算以及算术平方根，立方根，二次根式的混合运算，根据以上知识逐项计算，结合题意选出比3大且是整数的选项，即可求解． 【详解】解：A. ，但不是整数，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，但不是整数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2. 央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图案是中心对称图形，不符合题意； B、图案不是中心对称图形，符合题意； C、图案不是中心对称图形，不符合题意； D、图案不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 杭州亚运会开幕式上，由亿万星火汇聚而成的亚运数字火炬人惊艳全网.亚运数字火炬人由超数字火炬手汇聚而成，在万众瞩目中跨越钱塘江，点燃主火炬塔，其中的用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选A． 4. 如图，点，，在同一直线上，四边形是平行四边形，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平角、平分线的定义等知识，由平行四边形的性质得，再由平角求出，然后由平分线的定义即可得出结果，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 点、、在同一直线上， ， 平分， ， 故选：C． 5. 2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图． 对小明本周7天的校外体育活动时间，下列说法：①极差是18分钟；②平均时间为64分钟；③众数是63分钟；④中位数是57分钟．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据折线图分别求出极差，平均数，众数和中位数即可判断． 【详解】解：极差为（分钟），故①不正确； 平均时间为（分钟），故②正确； 众数为63分钟，故③正确； 本周7天的校外体育活动时间从小到大排列为55，57，63，63，65，70，75， 所以中位数为63分钟，故④不正确； 故选：B． 【点睛】此题考查了折线图，掌握折线图的特点以及极差，平均数，众数和中位数的计算方法是解题的关键． 6. 已知二次函数，的图象经过点、，图象上有三个，，．若当时，均有，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 时，y有最大值 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象上的y值与点离对称轴距离与开口方向的关系是解题的关键． 由时，均有可知抛物线开口向上，即，可判定A选项；由抛物线开口向上，再求得对称轴，可知时，y有最小值可判定B选项；当有，可判定C选项；根据二次函数的性质可判定D选项． 【详解】解：∵当时，均有， ∴该抛物线的开口方向向上，即，即A选项错误，不符合题意； ∵二次函数的图象经过点、， ∴对称轴为直线， ∴当，y有最小值，，故B错误； ∴当时，有，C正确； ∵， ∴点到对称轴的距离大于点的距离，即，即D错误． 故选C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解得应用，代数式求值，利用提公因式法可得，把，代入计算即可求解，正确利用因式分解对原式进行转化是解题的关键． 详解】解：， 故答案为：． 8. 若是方程的两个根，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系知识点，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系并准确运用． 先根据—元二次方程根与系数的关系得出和的值，再代入计算． 【详解】对于一元二次方程，若方程的两根为和，则． 在方程中，， ． 将代入可得： ． 故答案为：1 9. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是_____元． 【答案】53 【解析】 【分析】设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，根据“每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：53 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是解题的关键. 10. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为15． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 11. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，则该主塔的高度是______米． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴米， 在中，米， 即该主塔的高度是米， 故答案为：． 12. 如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 【答案】或或2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1） （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算零指数幂、化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，计算乘法，然后加减运算即可； （2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 14. 先化简：，再从，，0三个数中选择一个合适a值．代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式加减混合运算，代入求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 当时，原式． 15. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，过点作的一条平行线； （2）如图2，作一条直线把阴影部分分为面积相等的两部分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理及三角形的重心． （1）连接，证明，可得； （2）连接，连接交于点，交于点，连接交于点，作直线，则直线即为所作，利用三角形重心的性质和垂径定理即可得证． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所作， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴点是三角形的重心， ∴点是的中点， ∴直线是的垂直平分线， ∴直线把阴影部分分为面积相等的两部分． 16. 红兴谷研学基地作为全国首创全域研学旅游综合体和全国红色研学旅行示范基地，致力于进一步挖掘红色文化资源，传承红色基因．项目主要由A中心生态区、B探索体验区、C研学综合区和D红色兵工区四大板块组成，小邱想去红兴谷研学基地，以便近距离感受红色教育． （1）若小邱从中任意选择一个板块游玩，则选中C研学综合区的概率为_________； （2）若小邱从中任意选择两处游玩，请用画树状图或列表的方法求选中B探索体验区和D红色兵工区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【小问1详解】 解：小邱从中任意选择一个板块游玩，则选中C研学综合区的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画出树状图，如图所示： ∵共有12种等可能的情况数，其中选中B探索体验区和D红色兵工区的情况数有2种， ∴选中B探索体验区和D红色兵工区的概率为． 17. 如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． （1）点B的坐标为______； （2）求所在直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的相应性质是解题关键． （1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得出，即可确定点B的坐标； （2）根据点确定反比例函数解析式，然后即可得出，再由待定系数法确定一次函数解析式即可． 【小问1详解】 解：过点B作轴于D，如图所示： ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）得，代入， 得， ∴， ∵过点作x轴的垂线交双曲线于点C， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得， ∴直线的解析式为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元 （2）修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元． 【小问2详解】 解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 19. 已知，是抛物线与轴交点的横坐标． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程中根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是明确二次函数与x轴的交点是对应一元二次方程的解即可求解本题． （1）根据意义得到，代入题目中的数据求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式将转化为，将代数式代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，是抛物线与轴交点的横坐标， ∴，， ∴， 解得：（舍去），， ∴的值为． 20. 如图1，是某物体的三角支架实物图，由竖杆、支杆和连接杆组成，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中点C是支干上一可转动点，点P是中间竖杆上的一动点，当点P沿滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，与重合于竖干，经测量，． （1）当时，求竖杆最下端B到地面的距离； （2）点P从点A滑动至的中点，变化的度数是多少？（参考数据：≈1.73，结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是理解题意． （1）如图①，过点作于点．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再根据解直角三角形求出，，，即可求解． （2）如图②，当点位于点时，三点共线，即． 求出，再求出当点滑动至的中点时，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图①，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图②，当点位于点时，三点共线，即． 由题意，得． 当点滑动至的中点时，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 即变化了． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】 在某次训练完成一次动作后，记录了全红婵运动时的竖直高度与水平距离的几组数据如下： 水平距离 3 4 竖直高度 10 10 （1）根据表中数据，_____，关于的函数解析式为_____． 【解决问题】 （2）全红婵和陈芊汐完成了一次双人10米跳台训练，全红婵的数据如上表中所示，陈芋汐的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示全红婵，陈芋汐入水时入水点距跳台的水平距离，则_____；（填“”“”或“”） ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．全红婵在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好是米，她本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 【答案】（1），；（2）①；②不会失误，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据表中数据求出对称轴，再由顶点式求出函数解析式，即可得到的值； （2）①将代入两个函数解析式，求出，的值即可； ②将代入求出，即可进行判断． 【详解】解：（1）由表中数据可知，经过， 故对称轴 顶点坐标为 设关于的函数解析式为， 将代入， 得 解得 故关于的函数解析式为， 将代入，， ， 故答案为：，； （2）①将代入， 解得（舍去）或， ， 将将代入， 解得（舍去）或， ， ， 故答案为：． ②不会失误，理由如下： 将代入， 即， ， ， 全红婵本次训练不会失误． 22. 如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接． （1）求证：是的切线； （2）当时（如图2），求的长； （3）若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，则有，再证明可得，根据切线的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）如图2，连接 ，由（1）可知， ，再证明四边形为正方形，再求出，由勾股定理可得，再根据线段的和差即可解答； （3）如图3，连接，设，则，根据菱形的性质、切线的性质可得，进而得到，最后根据以及扇形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 证明：如图1，连接，则有． 在和中， ∴， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴，即， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图2，连接 ，由（1）可知， ． 当时，四边形为矩形． 又∵， ∴四边形为正方形． ∵， ∴，即 ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图3，连接，设，则， ∵四边形是菱形， ∴．则， ∵是的切线，即． ∴，即． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出最小值． 【答案】（１）；；（２）；（３）；（４） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形．熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． （1）根据矩形性质得，得，得，得；当时，，得，得； （2）作交于G，得，得四边形是平行四边形，根据，运用勾股定理求出，即得； （3）由已知可得，证明，得，可得，证明 和,得，即得； （4）在上取，连接，求出,，根据，得的最小值为， ，，得，，即得的最小值为． 【详解】解：（1）∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；； （2）不变．作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴,不变； （3）当时 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年吉安八中九年级下学期第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下面各式中，结果比3大且是整数的是（ ） A. B. C. D. 2. 央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 杭州亚运会开幕式上，由亿万星火汇聚而成的亚运数字火炬人惊艳全网.亚运数字火炬人由超数字火炬手汇聚而成，在万众瞩目中跨越钱塘江，点燃主火炬塔，其中的用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，，在同一直线上，四边形是平行四边形，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图． 对小明本周7天的校外体育活动时间，下列说法：①极差是18分钟；②平均时间为64分钟；③众数是63分钟；④中位数是57分钟．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知二次函数，的图象经过点、，图象上有三个，，．若当时，均有，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 时，y有最大值 C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 已知，，则______． 8. 若是方程的两个根，则__________． 9. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是_____元． 10. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______． 11. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，则该主塔的高度是______米． 12. 如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1） （2）解不等式组： 14. 先化简：，再从，，0三个数中选择一个合适的a值．代入求值． 15. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，过点作的一条平行线； （2）如图2，作一条直线把阴影部分分为面积相等的两部分． 16. 红兴谷研学基地作全国首创全域研学旅游综合体和全国红色研学旅行示范基地，致力于进一步挖掘红色文化资源，传承红色基因．项目主要由A中心生态区、B探索体验区、C研学综合区和D红色兵工区四大板块组成，小邱想去红兴谷研学基地，以便近距离感受红色教育． （1）若小邱从中任意选择一个板块游玩，则选中C研学综合区的概率为_________； （2）若小邱从中任意选择两处游玩，请用画树状图或列表的方法求选中B探索体验区和D红色兵工区的概率． 17. 如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． （1）点B的坐标为______； （2）求所在直线的解析式． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 19. 已知，是抛物线与轴交点的横坐标． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 20. 如图1，是某物体三角支架实物图，由竖杆、支杆和连接杆组成，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中点C是支干上一可转动点，点P是中间竖杆上的一动点，当点P沿滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，与重合于竖干，经测量，． （1）当时，求竖杆最下端B到地面的距离； （2）点P从点A滑动至的中点，变化的度数是多少？（参考数据：≈1.73，结果精确到） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】 在某次训练完成一次动作后，记录了全红婵运动时的竖直高度与水平距离的几组数据如下： 水平距离 3 4 竖直高度 10 10 （1）根据表中数据，_____，关于的函数解析式为_____． 【解决问题】 （2）全红婵和陈芊汐完成了一次双人10米跳台训练，全红婵的数据如上表中所示，陈芋汐的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示全红婵，陈芋汐入水时入水点距跳台的水平距离，则_____；（填“”“”或“”） ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．全红婵在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好是米，她本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 22. 如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接． （1）求证：是的切线； （2）当时（如图2），求的长； （3）若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成阴影图形的面积． 六、解答题（本大题共12分） 23. 马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$