精品解析： 重庆市长寿实验中学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

长寿实验中学校2025年春九（下）第一次定时作业 数学试题 （全卷共24题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列实数中最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 我国古代的二十四节气图标诸多呈现对称之美，下列图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知与位似，点是位似中心，若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第9个图中共有正方形的个数为（ ） A. 19个 B. 22个 C. 25个 D. 28个 7. 新能源汽车节能环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为24万辆，销售量逐年增加且年平均增长率相同，2024年预估销售量为29万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率．设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，为的中点，以为圆心，为半径作半圆与边相交于点、，连接，以为圆心，为半径作弧刚好经过点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 在矩形中，沿对角线将矩形折叠，顶点C落在点E处，，，在上取点F，使得，并延长交于点G，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知均为正数，为正整数．规定，下列说法：①若，则关于的方程有两个不相同的实数根；②若均为从小到大排列的连续正整数，且，则；③若，且，则中，小于2的数最多只有两个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 11. 正n边形的每个内角的度数为， 则n的值是_________． 12. 四张相同的卡片上分别写有数字，，2，3，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率为________． 13. 如图，为斜边上的中线，过点D作的垂线交于点E，过点B作的垂线交的延长线于点，则_________ 14. 若关于的不等式组有且只有2个偶数解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的积为______． 15. 如图，内接于，直径交弦于点E，延长交过点C的切线于点F，连接．若， ，，则________，________． 16. 一个四位自然数M，记作，若，则称M为“双11数”．例如：四位数4279，∵，∴4279是“双11数”．若一个“双11数”为且能被5整除，则这个数是__________；若M是一个“双11数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是__________ 三、解答题：（本大题共8个小题，每小题10分，共80分） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 某数学兴趣小组同学发现，任意一个（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．如图，在中，点D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴ __________， 在和中， ∴______， ∴_______， ∵ ∴__________． ∴四边形是平行四边形． 小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形 ________． 19. 重庆市某中学的学生德智体美劳全面发展．为了解学生体育素养情况，进行了体育检测，现从八年级和九年级的学生中各随机抽取20名学生的体育成绩（单位：分），进行整理、描述和分析．（成绩用表示，共分成四组：．，B．，C．，D．35分及以下），下面给出了部分信息： 八年级名学生的体育成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生的体育成绩在组中的数据是：，，，，，，． 九年级抽取学生的体育成绩统计图 八、九年级所抽取的学生的体育成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题 （1）上述图表中，______________，______________，______________． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的体育成绩较好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校八年级有人，九年级有人，估计该校八、九年级体育成绩优秀（）的学生共有多少人？ 20. 某文具店预测一款新文具很受学生喜欢，先用元购进一批这款文具，面市后果然供不应求，又用元购进这款文具，第二批文具的数量是第一批的倍，但单价比第一批贵元． （1）求第一批文具的进货单价多少元？ （2）若二次购进的文具按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于元，那么销售单价至少为多少元? 21. 周日早上，爷爷和小明约定到公园去锻炼身体，公园在小明家A的正东方向的处，但是由于AE道路施工，爷爷先沿正北方向走了300米到达处，再从处沿北偏东方向行走300米到达处，从处沿正东方向走了150米到达处，最后沿方向到达处，已知点在点的南偏东方向．爷爷先出发3分钟后小明从家选择另一路线步行前往处，已知点在点的南偏东方向，且点在点的正南方向． （1）求AE的长度（结果保留根号）； （2）若爷爷步行速度为50米/分，小明步行速度为70米/分，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？（参考数据：；） 22. 如图，在正方形中，．点从点出发，以速度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以速度的速度沿线段运动，连接、．当到达点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． （1）请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，若函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是______． 23. 如图，在平面直角坐标系中抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点其中，连接，，． （1）求该抛物线的表达式： （2）线段位于第一象限，且在线段上移动，轴交抛物线于点，连接．若，求的面积的最大值及此时点的坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点处，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 24. 在中，交于点D，点F在边上，交于点E． （1）如图1，若点E是的中点，，求的长； （2）如图2，点E是的中点，点F是中点，求证； （3）如图3，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接交于点M，N是直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．已知，，当最大时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长寿实验中学校2025年春九（下）第一次定时作业 数学试题 （全卷共24题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列实数中最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是实数的比较大小，正数总是大于0，负数总是小于0；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．据此比较各数大小，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：D． 2. 我国古代的二十四节气图标诸多呈现对称之美，下列图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”是解题的关键；因此此题可根据轴对称图形的定义可进行求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选B． 3. 在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，依次对所给选项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； A．，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； B．，此反比例函数的图象也一定经过此点，故选项符合题意； C．，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； D．，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，已知与位似，点是位似中心，若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的性质可得位似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与位似，点是位似中心，， ∴， ∴则与的面积比为， 故选：C ． 5. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键． 先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据无理数的估算即可得出结果． 【详解】解： ， ， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6. 将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第9个图中共有正方形的个数为（ ） A. 19个 B. 22个 C. 25个 D. 28个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律．依次求出图形中正方形的个数，发现规律“正方形的个数依次增加3”即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中正方形的总个数为：； 第②个图形中正方形的总个数为：； 第③个图形中正方形的总个数为：； 第④个图形中正方形的总个数为：； ， 依次类推，第个图形中正方形的总个数为个， 当时， （个， 即第9个图形中正方形的总个数为25个． 故选：C． 7. 新能源汽车节能环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为24万辆，销售量逐年增加且年平均增长率相同，2024年预估销售量为29万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率．设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均变化率的等量关系，增长为加，降低为减，列出方程即可． 【详解】解：由题意知，2023年销售量为万辆，2024年销售量为万辆， 所以， 故选D． 8. 如图，矩形中，，为的中点，以为圆心，为半径作半圆与边相交于点、，连接，以为圆心，为半径作弧刚好经过点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，扇形面积，解直角三角形，得出阴影部分面积等于是解题的关键．连接，，根据题意得出，是等边三角形，得出，根据阴影部分面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 依题意，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积， 故选：D． 9. 在矩形中，沿对角线将矩形折叠，顶点C落在点E处，，，在上取点F，使得，并延长交于点G，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质和折叠的性质得，利用勾股定理求出，证明得，代入数据求出，进而可求出． 【详解】解∶如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，． 由折叠的性质得，，，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 10. 已知均为正数，为正整数．规定，下列说法：①若，则关于的方程有两个不相同的实数根；②若均为从小到大排列的连续正整数，且，则；③若，且，则中，小于2的数最多只有两个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】①根据题意求出关于的方程，利用判别式确定根的情况即可；②根据题意可知，，⋯，，则，再计算即可；③利用反证法推理即可．本题考查判别式，数字的变化规律，反证法的应用，熟练掌握一元二次方程判别式与根的关系，反证法的定义是解题的关键． 【详解】解：①当时，， ∴， ∵， ∴关于的方程有两个不相同的实数根； 故①符合题意； ②均为从小到大排列的连续正整数，且， ∴， ∴ ， 故②符合题意； ③假设中，小于2的数至少有三个，不妨设，，，，，⋯，， ∴，，，，⋯，， ∴， 这与矛盾， ∴中，小于2的数最多只有两个， 故③符合题意． 故选：D． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 11. 正n边形的每个内角的度数为， 则n的值是_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查多边形外角和定理，多边形的外角和是360度，先求出每个外角的度数，根据外角和360度求解即可． 【详解】根据题意有每个外角的度数为：， ， 故答案为：6． 12. 四张相同的卡片上分别写有数字，，2，3，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，列表法或画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键．根据一次函数图象经过的象限去，确定，，再画树状图求概率即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种情况，其中满足条件的情况有4种， 即一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率为， 故答案为： ． 13. 如图，为斜边上的中线，过点D作的垂线交于点E，过点B作的垂线交的延长线于点，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，根据等腰三角形的性质得出，再根据勾股定理求出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵为斜边上的中线， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 14. 若关于的不等式组有且只有2个偶数解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的积为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到关于a的范围是解题的关键． 根据题意可以求得a的取值范围，从而可以得到符合条件的a的整数值，从而可以解答本题． 【详解】解：， 去分母得，， ， 根据题意得，，即， ∴是正数，且，即， ∴且，． ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式的解集为，， ∵关于的不等式组有且只有2个偶数解， ∴， ， ，， ∴所有符合条件的整数的值有， ， ∴所有符合条件的整数的值之积为30． 故答案为：30． 15. 如图，内接于，直径交弦于点E，延长交过点C的切线于点F，连接．若， ，，则________，________． 【答案】 ①. 9 ②. ## 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点，由是的直径，与相切于点，得，则，可证明，进而证明，得，由，，求得，则，由，求得，则，求得，由，求得，则，所以，求得，再证明，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】连接，作于点，则， ∵是的直径，与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9；． 16. 一个四位自然数M，记作，若，则称M为“双11数”．例如：四位数4279，∵，∴4279是“双11数”．若一个“双11数”为且能被5整除，则这个数是__________；若M是一个“双11数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了用字母表示四位数的自然数，整式的化简．关键是整式的化简． 双11数”为且能被5整除，根据定义可求这个数．表示出．，的最小值为2，能被7整除，求出的最小值即可． 【详解】解：， ， ， 能被5整除， 或5， ， ，， ． ． 设 ． ， 有题意可知，的最小值是2，当取最小值2时，， ， ． 当，即时，，不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即时，，能被7整除． ，，，，符合题意， 的最小值为． 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8个小题，每小题10分，共80分） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）根据零指数幂，化简绝对值，立方根，有理数的乘方以及特殊角的三角函数值进行计算即可求解； （2）根据分式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 某数学兴趣小组同学发现，任意一个（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．如图，在中，点D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴ __________， 在和中， ∴______， ∴_______， ∵ ∴__________． ∴四边形是平行四边形． 小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形 ________． 【答案】（1）见详解 （2）；；；；菱形 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可； （2）证明，得到，再证明，从而得到四边形为平行四边形；当时，四边形是菱形． 【小问1详解】 解：射线为所求，如图， 【小问2详解】 证明：点是的中点， ， 在和中， ， ∴， ， ， 四边形为平行四边形； 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是菱形． 理由：，四边形为平行四边形， 四边形是菱形． 故答案为：，，，，菱形． 【点睛】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 19. 重庆市某中学的学生德智体美劳全面发展．为了解学生体育素养情况，进行了体育检测，现从八年级和九年级的学生中各随机抽取20名学生的体育成绩（单位：分），进行整理、描述和分析．（成绩用表示，共分成四组：．，B．，C．，D．35分及以下），下面给出了部分信息： 八年级名学生的体育成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生的体育成绩在组中的数据是：，，，，，，． 九年级抽取学生的体育成绩统计图 八、九年级所抽取的学生的体育成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题 （1）上述图表中，______________，______________，______________． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的体育成绩较好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校八年级有人，九年级有人，估计该校八、九年级体育成绩优秀（）的学生共有多少人？ 【答案】（1）、、 （2） 解：八年级的体育成绩较好， 由表格知，九年级成绩的中位数小于八年级， 所以八年级成绩高分人数多于九年级， 所以八年级的体育成绩较好； （3）人 【解析】 【分析】本题考查平均数、众数、中位数的意义和求法，理清扇形统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）根据中位数和众数的概念求解即可； （2）根据中位数的意义求解即可； （3）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：八年级20名学生的体育成绩出现次数最多的是45，所以其众数， 九年级组的人数为人， ∴、两组共人， ∴九年级成绩的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为41、43， 所以其成绩的中位数， 九年级成绩在B组人数所占比例为， 所以D组人数所占比例为， 则， 故答案为：、、； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校八、九年级体育成绩优秀的学生共有人． 20. 某文具店预测一款新文具很受学生喜欢，先用元购进一批这款文具，面市后果然供不应求，又用元购进这款文具，第二批文具的数量是第一批的倍，但单价比第一批贵元． （1）求第一批文具的进货单价多少元？ （2）若二次购进的文具按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于元，那么销售单价至少为多少元? 【答案】（1）元； （2）元． 【解析】 【分析】（）设第一批文具的进货单价为元，则第二批文具的进货单价为元，根据题意列出分式方程即可求解； （）由（）求出两次购进文具的数量，设销售单价为元，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设第一批文具的进货单价为元，则第二批文具的进货单价为元， 由题意可得，， 解得， 经检验是原方程的解， 答：第一批文具的进货单价为元； 【小问2详解】 解：由（）可得，第一批文具的数量为件，第二批文具的数量为件， 设销售单价为元， 由题意可得，， 解得， 答：销售单价至少为元． 21. 周日早上，爷爷和小明约定到公园去锻炼身体，公园在小明家A的正东方向的处，但是由于AE道路施工，爷爷先沿正北方向走了300米到达处，再从处沿北偏东方向行走300米到达处，从处沿正东方向走了150米到达处，最后沿方向到达处，已知点在点的南偏东方向．爷爷先出发3分钟后小明从家选择另一路线步行前往处，已知点在点的南偏东方向，且点在点的正南方向． （1）求AE的长度（结果保留根号）； （2）若爷爷步行速度为50米/分，小明步行速度为70米/分，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？（参考数据：；） 【答案】（1）AE的长度为米 （2）小明先到达公园，理由见解析 【解析】 【分析】（1）延长AB、DC交于点，过点作于点．易得四边形是矩形，则有；在中，可求得，进而求得；在中可求得，由即可求解； （2）在中，可求得（米），在中，由含30度角直角三角形的性质及勾股定理可求得，则可求得爷爷与小明到达公园所用时间，再比较即可． 【小问1详解】 解：延长AB、DC交于点，过点作于点． 则， ∴四边形是矩形， ∴； 由题意得，米，米，，． 在中，米，， ∴， 米，由勾股定理得：米， 米； 在中，， ∴， 米， 米； 答：AE的长度为米． 【小问2详解】 解：在中，，米， （米）， 在中，，米， ∴， 由勾股定理得：米， ∴米， 爷爷到达所用时间： （分钟）， 小明到达所用时间： （分钟）， ， 小明先到达公园． 【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，理解题意，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键． 22. 如图，在正方形中，．点从点出发，以速度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以速度的速度沿线段运动，连接、．当到达点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． （1）请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，若函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】（1） （2）图见解析，当时，随x的增大而增大（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题考查动点函数图象问题，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解题的关键． （1）分两种情况，当时，点P在上，当时，点P在上，根据三角形面积公式分别列式即可； （2）根据（1）中所得解析式描点连线可得函数图象，根据图象增减性写出一条性质即可； （3）找出临界点：当直线经过点时，当直线与的图象相切时，分别求出b的值，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，，， 当时，点P在上， ， 当时，点P在上，， ， 综上可得：； 【小问2详解】 解：根据（1）中解析式列表得： x 0 1 2 3 4 5 6 y 0 3 6 9 8 5 0 描点连线，可得的函数图象如下图所示： 由图可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：如图， 当直线经过点时，， 解得； 联立与，得， 即， 当直线与的图象相切时，只有一个根， ， 解得， 结合图形可知，当时，函数的图象与直线有两个交点． 故答案为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点其中，连接，，． （1）求该抛物线的表达式： （2）线段位于第一象限，且在线段上移动，轴交抛物线于点，连接．若，求的面积的最大值及此时点的坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点处，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）的面积的最大值为， （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出，，然后用待定系数法求解即可． （2）过点D点作于G，先求得，即可由勾股定理求出，再用待定系数法求得直线解析式为，设，则，从而求得，利用三角形面积公式得，然后利用二次函数最值求解即可． （3）分两种情况，①当点P在直线下方时，②当点P在直线上方时，分别 求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，，分别代入，得 ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：过点D点作于G，如图， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 设直线解析式为：， 把，分别代入，得 ， 解得：， ∴直线解析式为：， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴D的横坐标为， 把代入，得， ∴． 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 把，分别代入，得 ， 解得：， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过， 又∵， ∴抛物线是向下平移了2个单位，向右平移2个单位，得到新抛物线的解析式为：， 即平移后新抛物线解析式为， 分两种情况：①当点P在直线下方时，如图， ， ∴， ∴设的解析式为， 把点代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 把代入新抛物线解析式为，得 ， 解得：，， ∴当时， ， 当时，， ∴； ②当点P在直线上方时，作点P关于直线的对称点Q，连接交于E，连接交新抛物线 于，如图， ∵点P关于直线的对称点Q， ∴，， ， ∴， ∴点是符合要求的点， 设点， ∵点P关于直线的对称点Q， ∴点E为线段的中点， ∴， 把代入直线解析式，得 ， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 化简整理，得， 解得：，， 当时，， ∴， 当时，， ∴（舍去）， 设直线解析式为， 把，代入，得 ， 解得：， ∴直线解析式为， 联立，， 解得：，， ∴． 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线与一次函数解析式，抛物线的图象性质，抛物线平移，一次函数的图象性质，抛物线与直线交点，三角形的面积，勾股定理，轴对称的性质，平行线的判定等，此题属抛物线综合题目，难度较大，综合运用相关知识是解题的关键． 24. 在中，交于点D，点F在边上，交于点E． （1）如图1，若点E是的中点，，求的长； （2）如图2，点E是的中点，点F是中点，求证； （3）如图3，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接交于点M，N是直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．已知，，当最大时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作于G，可得出，从而得出，，，进而得出及，从而得出，进一步得出结果； （2）取的中点G，连接，可证得，从而得出不妨设，则，从而得出，，证得，进而得出，从而； （3）作交的延长线于H，可证得，从而，进而证明，从而得出，从而，所以B、M、共线时，最大，此时在的延长线上，设，则，在中，由勾股定理得，求得x的值，从而得出，，可以得出点在上，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：作于G， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 取的中点G，连接， ∵F是的中点， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴ ∴， 不妨设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 作交的延长线于H， ∴ ∴ ∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴B、M、共线时，最大，此时在的延长线上， 设，则 ∴ 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到，在上， ∴点在上， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $