精品解析：湖南省衡阳市蒸湘区呆鹰岭中学、蒸湘中学、雨母山中学联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年上学期第一阶段自测题 九年级数学 提示： 1．本学科试题共三道大题，满分120分，时量120分钟． 2．本学科试题的作答一律答在答题卡上，选择题用2B铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框．直接在问卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程有实数解的是（　　） A. 2x2﹣x+1＝0 B. x2﹣2x+2＝0 C. x2+3x﹣2＝0 D. x2+2＝0 3. 下列运算中错误是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，弦的长为6，圆心O到的距离，则的半径长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 5. 如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. “任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件 B. 调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式 C. 抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确 D. 十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是 8. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数有最大值，最大值是5 D. 当时，y随x的增大而增大 9. 如图，在中，，，，则长为（ ） A. 5 B. C. D. 2 10. 如图，在矩形中，是边中点，于点，连接，分析下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算：_______． 12. 从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__． 13. 已知、是方程的两个实数根，则________． 14. 如图，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子与甲的影子的末端恰好在同一点，已知甲、乙两同学相距1m，甲身高1.8m，乙身高1.5m，则甲的影子是________m． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝_____． 16. 如图，点A，B，C在上，，则________度． 17. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为___________． 18. 已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 _____． 三、解答题（8个小题，19、20题各6分，21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分，共66分．） 19. 计算：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点为位似中心，在轴的右侧将各边放大为原来的两倍得到． （1）画出； （2）分别写出、、三点的对应点、、的坐标． 21. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 22. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角________度； （2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 23. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米． （1）求教学楼的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 24. 某服装店销售一批衬衫，每件进价元，开始以每件元价格销售，每星期能卖出件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价元，每星期能卖出件． 已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； 聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低元，销售会增加件，若店主想要每星期获利元，应把售价定为多少元？ 25. 已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC． (1)求证：BD是⊙O的切线； (2)求证：CE2＝EH•EA； (3)若⊙O的半径为，sinA＝，求BH的长． 26. 如图1，平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式； （3）如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）． ①求点和点的坐标； ②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期第一阶段自测题 九年级数学 提示： 1．本学科试题共三道大题，满分120分，时量120分钟． 2．本学科试题的作答一律答在答题卡上，选择题用2B铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框．直接在问卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数列式计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2. 下列一元二次方程有实数解的是（　　） A. 2x2﹣x+1＝0 B. x2﹣2x+2＝0 C. x2+3x﹣2＝0 D. x2+2＝0 【答案】C 【解析】 【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断． 【详解】A选项中，，故方程无实数根； B选项中，，故方程无实数根； C选项中，，故方程有两个不相等的实数根； D选项中，，故方程无实数根； 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键． 3. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据二次根式的运算法则分别判断即可： A、和不是同类根式，不可合并，故此选项运算错误，符合题意； B、，故此选项运算正确，不合题意； C、，故此选项运算故此选项运算正确，不合题意； D、，故此选项运算正确，不合题意． 故选A． 考点：二次根式的运算. 4. 如图，在中，弦的长为6，圆心O到的距离，则的半径长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键，先根据垂径定理求得的长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， 由勾股定理可得：， 故选：C． 5. 如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解． 【详解】解：∵PA，PB是的切线， ∴， ， ， 则， 故选B． 【点睛】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键． 6. 如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； 故选：． 7. 下列说法正确的是（ ） A. “任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件 B. 调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式 C. 抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确 D. 十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理可判断A，由抽样调查与普查的含义可判断B，C，由简单随机事件的概率可判断D，从而可得答案． 【详解】解：“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件，表述正确，故A符合题意； 调查全国中学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，故B不符合题意； 抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越不准确，故C不符合题意； 十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率不是，与三种灯的闪烁时间相关，故D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是必然事件的含义，调查方式的选择，简单随机事件的概率，三角形的内角和定理的含义，掌握“以上基础知识”是解本题的关键． 8. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数有最大值，最大值是5 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可． 【详解】解：对于y=（x-1）2+5， ∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误； 顶点坐标为（1，5），故B错误； 该函数有最小值，最小值是5，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，故D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 9. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作，分别解，即可得出结果． 【详解】解：过点作，如图 在中，，， ∴， 中，，， ∴， ∴； 故选B． 10. 如图，在矩形中，是边的中点，于点，连接，分析下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．①四边形是矩形，，则，又，于是，故①正确；②由，又，所以，故②正确；③过作交于，得到四边形是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④根据得到，求出，，，即可得到． 【详解】解：如图，过作交于， 四边形矩形， ，，， 于点， ，， ，故①正确； ， ， ， ， ， ，故②正确， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 于点，， ， ，故③正确； ， ， ， ， 又， 故④正确； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算：_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据乘法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：4． 12. 从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__． 【答案】##04 【解析】 【分析】先确定无理数的个数，再除以总个数． 【详解】解：，是无理数， （恰好是无理数）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键． 13. 已知、是方程的两个实数根，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，可直接求出x1+x2的值 【详解】根据题意得x1+x2=−=−=4 故答案为4 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键 14. 如图，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子与甲的影子的末端恰好在同一点，已知甲、乙两同学相距1m，甲身高1.8m，乙身高1.5m，则甲的影子是________m． 【答案】6 【解析】 【详解】解：设甲的影长是x米， ∵BC⊥AC，ED⊥AC， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵CD=1m，BC=1.8m，DE=1.5m， ∴， 解得：x=6． 所以甲的影长是6米． 故答案是6． 考点：相似三角形的应用． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可得到cosB＝sinA＝． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵sinA＝＝， ∴cosB＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB．熟知相关定义是解题关键． 16. 如图，点A，B，C在上，，则________度． 【答案】31 【解析】 【分析】根据圆周角定理进行求解即可； 【详解】解：由圆周角定理可知： 故答案为：31． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 17. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的母线长为扇形的半径，圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．根据圆锥的侧面展开图中弧的长等于圆锥底面周长求解即可． 【详解】解：这个圆锥的侧面展开图中的长为． 故答案为：． 18. 已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围． 【详解】解：如图所示： 当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0）， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为， 即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）， 当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1； 当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即 解得， 所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换． 三、解答题（8个小题，19、20题各6分，21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分，共66分．） 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先进行零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点为位似中心，在轴的右侧将各边放大为原来的两倍得到． （1）画出； （2）分别写出、、三点的对应点、、的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），， 【解析】 【分析】本题考查了作图—位似变换．熟练掌握关于原点位似的图形的变化特点是关键． （1）由以原点为位似中心，在y轴的右侧将放大为原来的两倍得到，根据位似的性质，可求得点，，的坐标，继而画出； （2）由（1）即可求得，，两点的对应点，，的坐标． 【小问1详解】 解：∵以原点为位似中心，在轴的右侧将放大为原来的两倍得到′， ∴，，； 如图，即为所作图形 【小问2详解】 解：由（1）得：，，． 21. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， 【小问2详解】 ∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 22. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角________度； （2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①200；②见解析；③54 （2）1120 （3） 【解析】 【分析】（1）①由组的人数及其所占百分比可得样本容量；②由总人数减去除组的人数即可得到组的人数；③用乘以 组人数所占比例即可； （2）用乘以组人数所占比例即可； （3）根据题意列出树状图即可求解 【小问1详解】 解：（1）①； ② 组人数， 补全的条形统计图如图所示： ③； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 从甲、乙、丙、四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性结果有2种， 因此，（恰好抽中甲、乙两人）． 【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米． （1）求教学楼的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 【答案】（1）教学楼的高度为米 （2）无人机刚好离开视线的时间为12秒 【解析】 【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解； （2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解． 【小问1详解】 解：过点B作于点G， 根据题意可得：，米，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∴米， ∵长为米， ∴（米）， 答：教学楼的高度为米． 【小问2详解】 解：连接并延长，交于点H， ∵米，米， ∴米， ∵米， ， ∴， ∴，米， ∴（米）， ∵无人机以米/秒的速度飞行， ∴离开视线的时间为：（秒）， 答：无人机刚好离开视线的时间为12秒． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 24. 某服装店销售一批衬衫，每件进价元，开始以每件元的价格销售，每星期能卖出件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价元，每星期能卖出件． 已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； 聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低元，销售会增加件，若店主想要每星期获利元，应把售价定为多少元？ 【答案】应把售价定185元或175元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得每次降价的百分率； （2）根据题意可以列出相应的方程，求出相应的售价. 【详解】解：设每次降价的百分率为， 解得，，（舍去）， 即每次降价的百分率是； 设店主将售价降价元， 解得，， ∴，， 即应把售价定为元或元. 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件. 25. 已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC． (1)求证：BD是⊙O的切线； (2)求证：CE2＝EH•EA； (3)若⊙O的半径为，sinA＝，求BH的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【详解】【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线； （2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论； （3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可． 【详解】（1）如图， ∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC， ∴∠ODB=∠ABC， ∵OF⊥BC， ∴∠BFD=90°， ∴∠ODB+∠DBF=90°， ∴∠ABC+∠DBF=90°， 即∠OBD=90°， ∴BD⊥OB， ∴BD是⊙O的切线； （2）连接AC，如图2所示： ∵OF⊥BC， ∴， ∴∠CAE=∠ECB， ∵∠CEA=∠HEC， ∴△CEH∽△AEC， ∴， ∴CE2=EH•EA； （3）连接BE，如图3所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵⊙O的半径为，sin∠BAE=， ∴AB=5，BE=AB•sin∠BAE=5×=3， ∴EA==4， ∵， ∴BE=CE=3， ∵CE2=EH•EA， ∴EH=， ∴在Rt△BEH中，BH=. 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式； （3）如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）． ①求点和点的坐标； ②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）①或；②16 【解析】 分析】（1）将点和点代入，即可求解； （2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式； （3）①通过联立方程组，求出点和点坐标即可； ②求出直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，，则，，可求，，由，分别求出的最大值4，的最大值4，即可求解． 【小问1详解】 解：将点和点代入， ∴，解得， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的顶点， ∵顶点关于原点的对称点为， ∴抛物线的解析式为， ∴． 【小问3详解】 由题意可得，抛物线的解析式为， ①联立方程组， 解得或， ∴或； ②设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图所示： 设，， 则，， ∴， ， ∵，， ∴当时，有最大值， 当时，有最大值， ∵， ∴当最大时，四边形面积的最大值为16． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$