热点06 锐角三角函数（10大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点•重点•难点】专练（广东专用）

热点06 锐角三角函数 中考数学中数与式部分主要考向分为四类： 一、特殊角的三角函数值相关运算（每年1道，3分） 二、解直角三角形（每年1-2道，3-6分） 三、解直角三角形实际应用（每年1题，8分） 四：锐角三角函数和几何交汇(每年1-2题，6-10分) 广东中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。其中，特殊角的三角函数值主要和实数相关概念放一起考察计算题，而解直角三角形及其各种应用则选择、填空、简答题都有出现，解答题一般会出实际应用，难度不大，需要加强练习，现在越来越重视三角函数和其他知识点交汇的类型，往往以压轴出现，需要重视。 考向一：特殊角的三角函数值的运算 【题型01 特殊角的三角函数值】 特殊角的三角函数值表 α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 1．（2025·广东清远·一模）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的计算，先进行乘方，零指数幂和负整数指数幂，特殊角的三角函数值的计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 2．（2025·广东清远·模拟预测）计算：． 【答案】1 【知识点】化简绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，绝对值、零次幂，先运算乘方、化简绝对值、零次幂以及特殊角的三角函数，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 3．（2024·广东梅州·一模）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】此题考查了实数的混合运算．代入特殊角是三角函数值、利用零指数幂法则、求算术平方根的法则、负整数指数幂法则进行计算即可． 【详解】解： ． 4．（2025·广东深圳·一模）计算：． 【答案】 【知识点】化简绝对值、有理数的乘方运算、求一个数的立方根、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了含特殊角的三角形函数的混合运算，先化简乘方，立方根，正切值，绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 5．（2025·广东广州·一模）计算： 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂及锐角三角函数分别化简，然后进行计算． 【详解】解：原式 ． 6．（2025·广东·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了实数的运算，根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整指数幂以及二次根式的化简即可解答本题. 【详解】原式 ． 【题型02 由三角函数值求锐角】 记忆特殊角的三角函数值结论，利用反推思想求解 1．（2023·广东湛江·模拟预测）若的内角满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记特殊角的三角函值是解答本题的关键．由非负数的性质得，求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即的形状是直角三角形． 故选：A． 1．（2023·广东湛江·模拟预测）若的内角满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记特殊角的三角函值是解答本题的关键．由非负数的性质得，求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即的形状是直角三角形． 故选：A． 考向二：解直角三角形 【题型03 利用三角函数求边长】 解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。 1．（2024·广东·模拟预测）如图，直径为的经过点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、求角的余弦值 【分析】此题考查了圆周角定理、锐角三角函数的知识．连接，结合圆周角定理及勾股定理可知，由圆周角定理可知，结合余弦的定义即可求解．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【详解】解：如图，连接， ， 为的直径， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， 故选：D． 2．（2024·广东广州·一模）如图，点为菱形的边上一点，且，，点为对角线上一动点，若的周长最小值为6，则 ． 【答案】/ 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、利用菱形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解、求角的正弦值 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称—最短路径问题，勾股定理逆定理，锐角三角函数，推出是直角三角形是解题关键．连接、，根据菱形好轴对称的性质，得到，进而求出，再利用勾股定理逆定理，推出是直角三角形，再求正弦值即可． 【详解】解：如图，连接、， 四边形是菱形，，， ，点和点关于对称，， ， ， 的周长， 的周长最小值为6， ， ，，， ， 是直角三角形，， ， ， 故答案为： 3．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，点E 是边上的中点，F   是延长线上一点，以为长作正方形如图所示，连接交于点M，  若时，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】取的中点O，连接，则，设正方形的边长为，根据点E是正方形的边的中点，得到，得到，得到，得到，得到，结合三角形外角性质得到 ， 得到, 得到，根据，，求得，即得. 【详解】取的中点O，连接，如图，设正方形的边长为，则， ∵正方形的边长为4，点E是边上的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了正方形与三角形综合．添加辅助线，熟练掌握正方形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，三角形外角性质，正切定义，是解决问题的关键． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）在等腰中，，D是上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据三线合一证明、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交BC的延长线于点F，由正切函数得，设，，利用勾股定理分别求出，，，则，再求出，则，，，进而得， ，根据得，设，，则，，由正切函数，，即可求解． 【详解】解：过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交的延长线于点F，如图所示： ， 在中，， ∴设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设，， ， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， ， ∴， 解得：， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，正切函数，勾股定理，掌握似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，能构建相似三角形，并能熟练利用正切函数和勾股定理进行求解是解题的关键． 【题型04 构造法求边长或者面积】 利用锐角三角函数的定义，作辅助线：做垂线求解 1．（2024·广东广州·三模）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为 ． 【答案】80 【知识点】解直角三角形的相关计算、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，进而求出，，最后利用矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：，负值舍去， ∴，， ∴矩形的面积． 故答案为：80 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，将绕点D旋转得到，此时点A、E、D三点共线，若，时，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】作交线段于点P，根据旋转的性质得到为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，结合解直角三角形、勾股定理和等腰直角三角形的性质，可得，，，再证明，可得算出，最后结合勾股定理可求得的长． 【详解】解：作交线段于点P， 绕点D旋转得到， 为等腰直角三角形， ，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 为等腰直角三角形， 则，， ， ∴，即 ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 3．（2024·广东深圳·三模）如图，将平行四边形沿折叠，点的对应点恰好为边上的三等分点（），若，，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，根据三角函数的定义得到，设，，根据勾股定理得到，求得，，根据平行四边形的性质得到，，求得，得到，得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于， ， ， ， 设，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 点是边上的三等分点， ， ， ，， 四边形是矩形， ， 将平行四边形沿折叠，点的对应点恰好为边上的三等分点， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（2024·广东河源·二模）如图，均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，过点B作于H，先求出，再由等边三角形的性质得到，解直角三角形得到，则，证明，则，可得；同理可得，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于H， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 同理可得， ∴， 故答案为：． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，的长为6，点E是边上的动点，连接，将菱形沿着折叠，将菱形沿DE折叠，得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点．连接，延长交于点F，连接，若为直角三角形，且时，的长为 ． 【答案】/ 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】过点作直线的垂线，垂足为点过点于点，先证明，得到，，则，在中，解直角三角形得，，在中，由勾股定理得，，解得：，在中，，同上可求：，则，在中，由勾股定理得，． 【详解】解：过点作直线的垂线，垂足为点过点于点， 设，由题意得， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴, ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由折叠知， ∴， 设，则， 在中，,， ∴在中，由勾股定理得，， 解得：， 在中，， 同上可求：， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 6．（2024·广东深圳·三模）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 如图，作于．利用勾股定理求出，再证明，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作于． 四边形是正方形，， ，， ，， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 考向三：解直角三角形的实际应用 【题型05 仰角俯角问题】 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角. 俯角：视线在水平线下方的叫俯角 1．（2024·广东中山·一模）如图，线段分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，则乙建筑物的高为多少？ 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用：仰角俯角问题，易得四边形是矩形，由矩形的性质得，在中，由的正切函数可求出的长，进而根据即可算出答案． 【详解】解：由题意得：四边形是矩形， ， 在中，， ， 答：乙建筑物的高为． 2．（2023·广东阳江·一模）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为，观测旗杆底部B点的仰角为（参考数据：）． (1)若已知米，求建筑物的高度； (2)若已知旗杆的高度米，求建筑物的高度． 【答案】(1)25米 (2)20米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用． （1）由题意可知是等腰直角三角形，所以； （2）直接利用，进而得出的长求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵米， ∴米， 答：建筑物的高度为25米； （2）解：设米， 根据题意可得：， 解得：， 答：建筑物的高度为20米． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1，佛山电视塔坐落于佛山市禅城区文华公园内，它集广播电视发射、旅游观光以及饮食娱乐于一体，是佛山市标志性建筑之一． 小梁和小罗利用卷尺和自制的测角仪对电视塔的高度进行了测量． 如图2，小梁站在点A 处利用测角仪测得电视塔顶端D 的 仰 角为，小罗站在点B 处利用测角仪测得电视塔顶端D的仰角为．已知测角仪高度均为， 两人相距．( 点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，点A，B，C 在一条直线上) (1)求电视塔的高度． (结果精确到． 参考数据：，， ，) (2)根据“景点简介”显示，佛山电视塔总高为．请提出一条减小误差的合理化建议 ． 【答案】(1)的高度约为； (2)减小误差可多次测量，去测量数据的平均值． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意可得，再根据锐角三角函数表示出的长，结合图形列出方程，解方程得到答案； （2）结合（1）误差为，进而可得减小误差的建议：多次测量，求平均值． 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 由题意知，四边形和四边形均为矩形． ，，． 设，则． 在中， ， ， 在中， ， ， ． 解得． 答：电视塔的高度约为； （2）误差为． 减小误差可多次测量，去测量数据的平均值． 4．（2024·广东中山·三模）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：点、、在同一水平线上． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)1米 (2)米 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活应用所学知识成为解题的关键． （1）如图：过点D作交于点H，设米，米，在中运用勾股定理列方程求解即可； （2）如图，过点作交于点，设米，再证四边形为矩形可得米、， 进而得到，最后根据正切函数列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点D作交于点H， 由题意知米， 斜面的坡度为， ， 设米，米， 在中，， ，解得：，舍， 米． 答：王刚同学从点到点的过程中上升的高度为米． （2）解：如图，过点作交于点， 设米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， ， 在中，， ，解得：， 米． 答：大树的高度是米． 5．（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． (1)求的长； (2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长约为8米； (2)模拟装置从点下降到点的时间为秒． 【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键． （1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可； （2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， 由题意可知，， ， 在中，，米， ， 米， 即的长约为8米； （2）解：米，米， 米， 在中，，米， ， 米， 米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间为秒， 即模拟装置从点下降到点的时间为秒． 【题型06 方向角问题】 方向角遵循——上北下南，左西右东。 因为这类题目常和特殊角结合，故作辅助线时，谨记一个原则：不能破坏已有的特殊角。 1．（2025·广东清远·模拟预测）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当  之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） (1)求的长． (2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 【答案】(1)海里 (2)最短 【知识点】用勾股定理解三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了方位角问题(解直角三角形的应用)，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，得，海里，，然后在中，（海里），则，即可作答． （2）分别算出每条路径的总长，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过D点作的垂线交于E点， 根据题意有：，海里，， 在中，（海里）； 在等腰直角中，， ∴（海里）； （2）解：由（1）知，海里，海里，海里，海里， ∴走路线时，（海里）； ∴走路线时，（海里）, 则（海里）, （海里）； ∴（海里）， 则 即选择最短． 2．（2024·广东中山·一模）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，米．点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东．（参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？ 【答案】(1)283米 (2)经过点B到达点D较近 【知识点】含30度角的直角三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． （1）过作的垂线，垂足为，可得四边形是矩形，从而得到米，再证得为等腰直角三角形，即可求解； （2）分别求出两种路径的总路程，即可求解． 【详解】（1）解：过作于，如图： 由已知可得四边形是矩形， 米， ∵点在点的北偏东，即， ∴是等腰直角三角形， 米， 答：步道DE的长度约为283米． （2）解：由（1）知是等腰直角三角形，米， 米， ∵点在点的北偏东，即， ∴， ∵米， ∴米，米， ∵米， ∴经过点到达点路程为米， 米， 米， 米， ∴经过点到达点路程为米， ， ∴经过点到达点较近． 3．（2023·广东东莞·一模）如图，某船于上午11时30分在A处观察海岛B在它的北偏东，该船以10海里/小时的速度向东航行至C处，再观察海岛B在它的北偏东，且船距离海岛30海里．    (1)求该船到达C处的时刻． (2)若该船从C处继续向东航行，何时到达B岛正南的D处？ 【答案】(1)14时30分 (2)在16时到达B岛正南的D处 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了解直角三角形中的方位角问题，准确求解题中的角度是解题的关键． （1）证明，根据等角对等边得到，即可得到答案； （2）利用余弦的求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：海里， ∴， ∴， ∴（海里）， ∵船的速度为10海里/时， ∴（小时）， ∴船到达C点的时间为：14时30分； （2）在中，，海里， ∴（海里）， ∵（小时）， ∴在16时到达B岛正南的D处． 4．（2024·广东汕头·一模）如图，是一条东西走向的海岸线，码头和码头相距30海里，在码头南偏东的海岛处有一艘轮船正向码头正南方向的海岛行驶，轮船到达海岛后测得海岛在海岛的北偏东75°方向上，而码头在海岛的北偏西30°方向上． (1)已知关于两角和的公式，请利用公式计算； (2)利用（1）的结论，求码头与海岛之间的距离．（参考数据，，，，结果精确到海里）． 【答案】(1) (2)码头与海岛之间的距离为海里 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）根据公式得即可； （2）作于点，设，则，，利用（1）的结论解直角三角形即可． 【详解】（1）解： = = （2）如图，作于点 ∵，， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形 设，， 在中 ∴ 解得： ∴． 答：码头与海岛之间的距离为海里． 5．（2024·广东中山·一模）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向． (1)求∠C的度数； (2)求B，C两地的距离．（运算结果保留根号） 【答案】(1) (2)两地的距离为千米 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、三角形内角和定理的应用、两直线平行内错角相等 【分析】 本题考查了解直角三角形中与方位角有关的应用： （1）由平行线的性质得，由平角可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果； （2）过点B作，垂足为G，则在中，由正弦函数关系可求得的长度，再在中，由正弦函数关系即可求得的长度，即两地的距离． 【详解】（1）解：如图： 由题意得：，，，， ，           ，              ， ， 的度数为；            （2）解：过点B作，垂足为G， 在中，千米，， （千米），         在中，， （千米），               两地的距离为千米． 【题型07 坡度坡比问题】 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α， 坡度越大，坡角越大，坡面越陡 1．（2024·广东汕头·三模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚处出发，已知西面山坡的坡角为．同时，乙从东边山脚处出发，东面山坡的坡度，坡面米．求甲、乙两人出发时的水平距离． 【答案】米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作，设，则，利用勾股定理可得、，再根据坡度角计算出，最后根据线段的和差即可解得． 【详解】解：如图:过点A作， 由题意得：， 设，则， ，解得：， ，， ， ，解得：， 米． 答：甲、乙两人出发时的水平距离米． 2．（2024·广东江门·一模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚B处出发，已知西面山坡的坡度（坡度：坡面的垂直高度与水平长度的比，即）．同时，乙从东边山脚C处出发，东面山坡的坡度，坡面米． (1)求甲、乙两人出发时的水平距离． (2)已知甲每分钟比乙多走10米．两人同时出发，并同时达到山顶A．求：甲、乙两人的登山速度． 【答案】(1)米 (2)甲的登山速度为60分钟/米，乙的登山速度为50分钟/米； 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点A作，根据坡度比设，则，利用勾股定理即可求解； （2）设乙的速度为v分钟/米，则甲的速度为分钟/米，列分式方程即可求解． 【详解】（1）解：过点A作，如图， 由题意得：，， ∴设，则， ∴，解得：， ∴， ∴，解得：， ∴米； （2）解：由（1）得：，， ∴， 设乙的速度为v分钟/米，则甲的速度为分钟/米， 由题意得：，解得：， 经检验：是分式方程的解， 则， ∴甲的登山速度为60分钟/米，乙的登山速度为50分钟/米； 3．（2024·广东深圳·一模）如图所示，折线是一段登山石阶，其中，部分的坡角为，部分的坡角为，． (1)求石阶路（折线）的长． (2)如果每级石阶的高不超过，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，） 【答案】(1)120米 (2)472级 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】（1）根据，可得，结合，计算即可． （2）先计算的长度，单位化成厘米后除以20，计算即可． 本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∵． （2）∵， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴（级）． 答：这一段登山石阶至少有472级台阶． 4．（2023·广东茂名·二模）如图，一楼房后有一假山，其坡度为：，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为．注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 (1)求休息亭的铅直高度； (2)求楼房AB的高．(结果保留根号) 【答案】(1)9米； (2)米． 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）过点作的延长线于，于点，根据，得出，进而即可求解； （2）在中，，则米，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：过点作的延长线于，于点， 在中，， ， 米． 答：休息亭的铅直高度为米； （2）解：∵米，， ∴， ∴米， 米， 在中， ， 米， 米． 答：楼房的高为米． 【题型08 其他实际问题】 从实际问题中抽象出几何图形，如三角形，四边形，平行四边形，矩形，菱形，正方形。利用相关知识点解决实际问题 1．（2024·广东·模拟预测）如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知 ，，与的夹角 为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据： ）    【答案】农夫所在的E处到地面的高度为米． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点作于，先利用三角形内角和等边对等角求出，，解直角三角形，求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于H，    ∵米，，米，米， ∴，米，米， ∴， 在中，米； 答：农夫所在的E处到地面的高度为米． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，是一种家用健身卷腹机，由圆弧形滑轨，可伸缩支撑杆和手柄构成． 图①是其侧面简化示意图． 滑轨 支撑杆与手柄在点A处连接，其中D，A，B三点在一条直线上． (1)如图①，固定若 求的度数； (2)如图②， 固定， 若 时，圆弧形滑轨所在的圆恰好与直线相切于点 B， 求滑轨 的长度． （结果精确到0.1， 参考数据：π取3.14， 【答案】(1) (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、切线的性质定理、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）过点作，垂足为，根据平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据已知过点作，作的垂直平分线，交于点，连接，从而可得，进而可得圆弧形滑轨所在的圆的圆心为，先利用三角形的外角性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，最后根据垂直定义可得，从而可得，进而可得为等边三角形，再根据等边三角形的性质可得，，从而利用弧长公式进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，弧长的计算，切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 的度数约为； （2）解：如图，过点作，垂足为， 圆弧形滑轨所在的圆恰好与直线相切于点， 过点作，作的垂直平分线，交于点，连接， ， 圆弧形滑轨所在的圆的圆心为， ，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， 滑轨的长度， 滑轨的长度约为． 3．（2025·广东佛山·一模）如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩，，垂直于地面放置，醒狮少年从点跳跃到点，随后纵身跃至点，已知，，，．（参考数据：，，） (1)在图2中，________； (2)醒狮少年在某次演出时需要从点直接腾跃至点进行“采青”，请求出“采青”路径的长度； (3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩的影子顶端恰好落在点处，梅花桩的影子顶端恰好与点重合，请在图3中画出梅花桩，的影子并计算出的高度； (4)如图4，保持不变，通过调整梅花桩的高度，使得的值最小，请求出此时的高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)的长度约为 (3)见解析，的高度约为 (4)的高度约为 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）延长至，根据平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点作直线，分别交，于点，，过点作直线，交于点，连接，则四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，由矩形的性质可得，，，再解直角三角形结合勾股定理计算即可得解； （3）线段，为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子．再利用相似三角形的性质求解即可； （4）作点关于的对称点，连接交于，连接，，则，则就是的最小值，由（2）得，由轴对称得，再利用相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：延长至， 由题意可得：， ∴，， ∴； （2）解：如图，过点作直线，分别交，于点，，过点作直线，交于点，连接． 由题意得， ∴四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴． 即“采青”路径的长度约为． （3）解：如图，线段，为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子． ∵，， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， 解得． 经检验且符合题意，所以的高度约为米． （4）解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接并延长交于，连接，， ∴，则就是的最小值， 由对称性质可知：， 同理（2）得， 由轴对称得， ∴． ∵ ∴， ∴． 即， 解得， ∴， ∴此时的高度约为． 【点睛】本题考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）“彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履行的一项法定义务，我市设立了“礼让行人”交通标识．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究． 【问题情景】 如图，某无红绿灯的路口有一行人从点A处出发，通过斑马线时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点B（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去，此时．已知行人的速度是，每个车道宽，双向车道中间有宽的隔离带． 【问题解决】 (1) ； (2)若在B点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点C时，小汽车前沿离行人还有，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车从点B开始减速到停下这一段的行驶的距离．（参考数据：） 【答案】(1)8 (2)31米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意、数形结合解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意计算AC长度即可； （2）根据，求出的长度，即可得出行驶距离． 【详解】（1）解：根据题意得：（米）， 故答案为：8； （2）由题意可知，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：小汽车从点B开始减速到停下这一段的行驶的距离为31米． 5．（2024·广东东莞·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把 称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线． (1)如果入射角，则 °； (2)现在测得dm，dm．（参考数据：，，） ①求入射角α的度数； ②如果光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【答案】(1) (2)①；② dm 【知识点】矩形性质理解、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了三角函数在物理学科中的应用，正确理解题意，注意计算的准确性即可． （1）由题意得，根据、即可求解； （2）①求出即可求解；②根据题意可得，进而可求出，据此即可求解； 【详解】（1）解：由题意得： ∴ ∵四边形为矩形， ∴ ∴ 故答案为： （2）解：①∵dm，dm． ∴ ∴ 由（1）可得： ∴ ②如图所示： 由①可知： ∵ ∴ ∵ dm， ∴ dm， ∵ dm． ∴ dm 考向四：锐角三角函数和其他知识交汇 【题型09 三角函数与四边形的综合】 牢记三角函数的概念以及四边形的判定和性质，利用几何知识点解决问题 1．（2025·广东·模拟预测）如题图所示，在中，，的垂直平分线分别交，于D，E两点．若，求的长． 【答案】 【知识点】已知正弦值求边长、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，利用正弦值求边长，勾股定理，利用垂直平分线的性质得出，进一步求出，再利用勾股定理求出，再利用正弦函数建立等式求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴在中， ， ∴在中， ． 即 ． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、解直角三角形的相关计算、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）证，运用平行四边形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：在中，， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：或,（舍去）， 即， 由（1）得：， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接、． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据翻折变换的性质和正方形的性质可用证； （2）设，用x表示出、，然后在直角中，根据勾股定理列方程并解出方程即可得出结论； （3）作出，垂足为H，运用相似三角形的知识求出、，即可求出的值． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∵将沿对折至， ∴，，， ∴，， 在和中， ∵， ∴； （2）解：∵正方形中，，， ∴，， ∴，， 根据题意知，， 由（1）知， ∴，不妨设，则， 在直角中，根据勾股定理，得， 解得， ∴； （3）解：由（2）知，，， 作，垂足为H， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 设，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识；注意折叠中的对应关系，注意掌握方程思想的应用是解此题的关键． 4．（2025·广东·模拟预测）【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______； （2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，请求出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）证明，根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作于点，得出，证明，可得出答案； （3）过点作于点，过点作，交延长线于点，先得出，再得出，设，则，得出，根据相似三角形的性质得出，得出，在求出x的值即可． 【详解】解：（1）当时，和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）． 理由：如图， 过点作于点， ， ，， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， ． ． 线段绕点顺时针旋转得到线段， ． ． 是以为底边的等腰三角形，， ，． ． ． ． ， ． 设，则， ， ， ． ． ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．（2025·广东清远·模拟预测）【知识技能】 （1）如图1，在三角形纸片中，，点D在上，将沿直线翻折后，点B落在点E处，如果，那么线段的长为多少？ 【数学理解】 （2）如图2矩形中，，点E为上一点：且，将沿翻折，得到，连接并延长，与相交于点F，则的值为： 【拓展探索】 （3）如图3，在矩形纸片中，，点E为射线上的一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）2.5或10 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（1）解得到，根据翻折的性质得到，则，那么； （2）由矩形得到，由沿翻折，得到，可知，过点作于M，可得，在中，则，，则，可得，求出，在中，即可求解； （3）当点F在矩形内部时，由折叠的性质得，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理即可求解；当点F在矩形外部时，由折叠的性质得，同①得，则，设，则，同理在中， 由勾股定理即可求． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵由沿直线翻折后，可知 ∴，        ∵，     ∴，              ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，                       ∴；           （2）解：∵四边形是矩形 ∴， 由沿翻折，得到，可知： ， 如图过点作于M， ∵， ∴， 在中， ∴，， ∴，               ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴            在中，，，， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， 设线段的垂直平分线交于点M，交于点N， 则， ∴四边形为矩形， 则，，   分两种情况： ①如图，当点F在矩形内部时，由折叠的性质得， 在中，由勾股定理得， ∴，                 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得 即的长为；     ②如图，当点F在矩形外部时， 由折叠的性质得， 同①得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即的长10，     综上所述，当点F刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或10． 【点睛】本题考查了解直角三角形，折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型10 三角函数与圆的综合】 牢记三角函数的概念以及圆的性质，利用几何知识点解决问题 1．（2025·广东清远·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）根据平行线的性质得，，再结合等边对等角得，再证明，则，即可作答． （2）先设，则结合勾股定理表示，运用，分别得出在，则，得，通过证明，即，得，即可作答． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是切线． （2）解：∵， ∴设，则， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 解得， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，解直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交延长线于点，为上一点，且．    (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余和圆的切线的判定定理解答即可； （2）设与交于点，连接，，利用圆周角定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理求得，设，则，利用勾股定理列出方程求得值，再证明利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ． ， ， ， ． ， 是的半径， 为的切线； （2）解：设与交于点，连接，，如图，   为的直径， ， ， 四边形为矩形． ．， 在中， ，， ． 设，则． ， ， 解得：， ，． ． ，， ∴， ∴， ∴，   ． ， ， ． ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 3．（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．      (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、直角三角形的两个锐角互余、角平分线性质的实际应用 【分析】（1）连接，根据直角三角形中两锐角互余得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据直角三角形中两锐角互余得出，根据等角的余角相等得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等即可证明； （2）连接，过点G作，垂足为K，过点G作，垂足为M，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，根据等腰直角三角形的性质和特殊角的三角函数值求出，，根据锐角三角函数的定义和同弧所对的圆周角相等求出，，根据三角形的面积求出，，即可求出． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， 是直径， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）解：如图，连接，过点G作，垂足为K，过点G作，垂足为M，   是直径， ， 又平分，， ，， 在等腰直角中，， ， ， ，， ， ，则， ， ， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，角平分线的性质等，正确做出辅助线，通过三角形的面积求出是解题的关键． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，内接于，是的直径的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线 (2)若的半径为，，求的长和的值； (3)过圆心作的平行线交的延长线于点．若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)1，； (3)3． 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了切线的判定、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角函数等，解题的关键是证明相似三角形． （1）由等腰三角形的性质得到，再证明，即可得到结论； （2）证明，得到，求出即可得到答案； （3）根据平行线分线段成比例定理得到，设，则，得到，求出即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，，， ， ； ，， ， ， 在中，， ； （3）解：∵， ， ，， ， 设，则， ， 是直角三角形， 在中，， ， 解得，， ，即的半径为． 5．（2024·广东东莞·一模）如图1，是中的平分线，，以为半径的与相交于点，且． (1)求证：是切线； (2)如图2，设与的切点为，连接．当时，求的半径； (3)若是线段的中点，连与交于，在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、证明某直线是圆的切线、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质得出，根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，即可证得是切线； （2）连接，根据切线得出，根据“直径所对的圆周角是直角”，得出，推出，根据等边对等角，由，得出，则，公共角，证明，得出，由，得，计算求出、，计算，最后根据，计算即可求得的半径； （3）连接，过点作，交的延长线于，由（2）得，，，，，得出，，结合勾股定理得出，求出、，根据，求出，根据勾股定理计算，根据与的切点为，得出，，根据勾股定理计算，得出，由，得出，求出，根据是线段的中点，求出，推出，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，得出，，结合，计算，根据计算，求出的值，根据的边上的高和的边上的高相等，则，得出答案即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作于， ∵是的平分线，，，为半径， ∴，点也在圆上，即也为半径， 又∵， ∴是切线； （2）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径为； （3）解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵由（2）得，，，，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与的切点为， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相等， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质、圆的切线的判定、角平分线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键． 一、单选题 1．（2025·广东深圳·一模）在中，，那么的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊三角函数的值，三角形内角和定理，根据三角形内角和定义求出，再由特殊三角函数的值即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、等边三角形的判定、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了偶次方、绝对值、三角函数、等边三角形的判定等知识点，能熟记等边三角形的判定是解此题的关键．先由非负性得，再解运用有一个角是的等腰三角形是等边三角形，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴是等边三角形， 故选C 3．（2024·广东梅州·一模）如图所示，在矩形中，，点M，N分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处．则的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、求角的正切值 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接交于点F，设，则；由矩形的性质和勾股定理可得；再根据折叠的性质可得、垂直平分，易得，再根据勾股定理可得、，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：如图：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴， ∵， ∴，解得： ， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数 与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 过点A作轴，过点B作轴，证明得到，再由反比例函数性质可求出，再利用正弦定义求的值即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A与点B分别在反比例函数 与的图像上， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．（2025·广东深圳·一模）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（　　）米． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】过点E作于点I，利用三角函数得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质可得，最后勾股定理求得，即可． 【详解】解：过点E作于点I， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长为米，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查了正切函数的应用，平行线的性质，等腰三角形的三线合一性质，余角的性质，熟练掌握正切函数，等腰三角形的性质是解题的关键． 二、填空题 6．（2024·广东汕头·二模）如图，将三角板的直角顶点放置在直线上的点处，使斜边．则的余弦值为 ． 【答案】 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题考查特殊角三角函数值的计算，根据平行线的性质及特殊角的三角函数值解答，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 7．（2024·广东·模拟预测）如图，，，分别是直线，上的点，，，则直线与之间的距离为 【答案】 【知识点】求平行线间的距离、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，两平行线间的距离．作于，根据锐角三角函数求出，根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离即可求解． 【详解】解：作于，如图： ∵，， ∴， 则直线与之间的距离为． 故答案为：． 8．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡的坡比为得出，再根据米，得出的值，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴（米）， ∴（米）． 故答案为：． 9．（2025·广东清远·一模）如图，在中，，，，，点在边上，将沿直线翻折，使点落在点处，连接并延长，交的延长线于点，若，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，折叠的性质，利用折叠的性质求得，再解直角三角形得到的长，即可解答，熟练利用折叠的性质求出是解题的关键． 【详解】解：将沿直线翻折，使点落在点处， ， ， ，即， 解得， ， 在中，， ， 故答案为：． 10．（2024·广东广州·模拟预测）如图，为的直径，点A是弧的中点，交于E点，的切线与的延长线交于点F，，．则（1）弧的长＝ ；（2） ． 【答案】 2 【知识点】切线的性质定理、求弧长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先证明，进而证明，利用相似三角形的性质求出，进而利用勾股定理求出，则，，，进而推出，再证明是等边三角形，进一步可得弧长， （2）结合（1）求解，证明，得到，则． 【详解】解：（1）如图，连接， 连接， ∵点A是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的长π． （2） 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵为的直径，是切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．2． 【点睛】本题考查的是切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，圆周角定理的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题 11．（2024·广东惠州·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、利用二次根式的性质化简、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查实数的运算．利用特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质计算即可． 【详解】解： ． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上． (1)求的值． (2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】(1) (2)图见解析， 【知识点】作垂线(尺规作图)、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求角的正弦值 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键． （1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得； （2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴． （2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下： 在中，． 13．（2024·广东东莞·一模）如图1是一张折叠型方桌子，图是其侧面结构示意图，支架与交于点，测得，． (1)若，求的长； (2)将桌子放平后，两条桌腿叉开角度，求距离地面的高．结果保留整数参考数值， 【答案】(1)AB的长为cm (2)AB距离地面的高为48cm 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了相似三角形的判定及性质、解直角三角形的应用， （1）先证明，再由相似三角形的性质求出的长即可； （2）过点作于点，于点，在中，，在中，，，进而作答即可． 【详解】（1）解：，， 与是等腰三角形， ， ， ， 即的长为； （2）过点作于点，于点，如图， ∵， ∴E、O、F三点共线， ，与是等腰三角形， ， 在中， ， 在中， ， ， 距离地面的高为． 14．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，O为边上一点，已知过点B且经过边上的点D，．连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，由，，，根据“”证明，得，即可证明是的切线； （2）设的半径为r，则，，由，求得，再证明，得，则，求得的半径长为． 【详解】（1）证明：连接， ，，， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：设的半径r，则，， ， ， ，， ， ， ， ∴， ， 解得， 的半径长为． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明是解题的关键， 15．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作一条直线分别交、的延长线于点、，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，垂足为，，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，正切三角形函数的计算，掌握菱形的性质，相似三角形的性质，正切三角形函数的计算是解题的关键． （1）在菱形中，，，，，可证，则有，由对角线相互平方的四边形是平行四边形即可求证； （2）设，可证，则，即，再证，即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图所示， 设， ∵，，即， ∴， 又∵菱形，则对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（2024·广东韶关·二模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，， (1)求证：是的切线； (2)若点P是上的一点，连接． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)①；② 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据，证明，再根据圆周角定理得出，即可证明，即可证明； （2）①连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到； ②过点作交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解． 本题考查圆的综合应用，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ． ， ， ， ， 为的直径， ， ， 是的切线； （2）解：①如图，连接， 是的中点， ， ， 为的直径， ， ， ， ． ， 设的半径为，则， 解得， 经检验，是方程的解， ， ， ， ， ． ②如图，过点作交于点， ， ，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 17．（2023·广东深圳·模拟预测）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）    (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 【答案】(1)屋顶到横梁的距离为 (2)房屋的高约为 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据成轴对称图形的特征进行求解、解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据轴对称的性质可得，，再利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，先设，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 在中，， 屋顶到横梁的距离为； （2）解：过点作，垂足为，如图所示：    则， 设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， 经检验是原方程的根， ， ， 房屋的高约为． 18．（2024·广东·中考真题）【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明； （2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明后即可证明； （3）通过解直角三角形得到，，过点C作于点M，易证，得到，即可求得，进而，从而点M是的中点，过点D作，交于点P，连接，，，根据三线合一得，证明，即可求的，过点P作于点N，则四边形是矩形，得到，因此点N是的中点，进而，再证，得到，根据，即可推出，因此当点G与点P重合时，满足． 【详解】证明：（1）是的中位线， 且． 又绕点D按逆时针方向旋转得到 ． （2）由题意可知：，，． 作，则且， 又， ． 根据外角定理 ， ， ． 又，是的中位线， ， ， ， ， ， ． （3）存在点使得． ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点M， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M是的中点， ∴是的垂直平分线， 过点D作，交于点P，连接，， ∴， ∴根据三线合一得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过点P作于点N，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点N是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴当点G与点P重合时，满足． 【点睛】本题考查了旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握知识点以及灵活运用是解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点06 锐角三角函数 中考数学中数与式部分主要考向分为四类： 一、特殊角的三角函数值相关运算（每年1道，3分） 二、解直角三角形（每年1-2道，3-6分） 三、解直角三角形实际应用（每年1题，8分） 四：锐角三角函数和几何交汇(每年1-2题，6-10分) 广东中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。其中，特殊角的三角函数值主要和实数相关概念放一起考察计算题，而解直角三角形及其各种应用则选择、填空、简答题都有出现，解答题一般会出实际应用，难度不大，需要加强练习，现在越来越重视三角函数和其他知识点交汇的类型，往往以压轴出现，需要重视。 考向一：特殊角的三角函数值的运算 【题型01 特殊角的三角函数值】 特殊角的三角函数值表 α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 1．（2025·广东清远·一模）计算：． 2．（2025·广东清远·模拟预测）计算：． 3．（2024·广东梅州·一模）计算：． 4．（2025·广东深圳·一模）计算：． 5．（2025·广东广州·一模）计算： 6．（2025·广东·模拟预测）计算：． 【题型02 由三角函数值求锐角】 记忆特殊角的三角函数值结论，利用反推思想求解 1．（2023·广东湛江·模拟预测）若的内角满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 1．（2023·广东湛江·模拟预测）若的内角满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 考向二：解直角三角形 【题型03 利用三角函数求边长】 解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。 1．（2024·广东·模拟预测）如图，直径为的经过点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·一模）如图，点为菱形的边上一点，且，，点为对角线上一动点，若的周长最小值为6，则 ． 3．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，点E 是边上的中点，F   是延长线上一点，以为长作正方形如图所示，连接交于点M，  若时，则的长为 ． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）在等腰中，，D是上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为 ． 【题型04 构造法求边长或者面积】 利用锐角三角函数的定义，作辅助线：做垂线求解 1．（2024·广东广州·三模）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为 ． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，将绕点D旋转得到，此时点A、E、D三点共线，若，时，则的长为 ． 3．（2024·广东深圳·三模）如图，将平行四边形沿折叠，点的对应点恰好为边上的三等分点（），若，，，则 ． 4．（2024·广东河源·二模）如图，均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，，则的值为 ． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，的长为6，点E是边上的动点，连接，将菱形沿着折叠，将菱形沿DE折叠，得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点．连接，延长交于点F，连接，若为直角三角形，且时，的长为 ． 6．（2024·广东深圳·三模）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是 考向三：解直角三角形的实际应用 【题型05 仰角俯角问题】 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角. 俯角：视线在水平线下方的叫俯角 1．（2024·广东中山·一模）如图，线段分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，则乙建筑物的高为多少？ 2．（2023·广东阳江·一模）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为，观测旗杆底部B点的仰角为（参考数据：）． (1)若已知米，求建筑物的高度； (2)若已知旗杆的高度米，求建筑物的高度． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1，佛山电视塔坐落于佛山市禅城区文华公园内，它集广播电视发射、旅游观光以及饮食娱乐于一体，是佛山市标志性建筑之一． 小梁和小罗利用卷尺和自制的测角仪对电视塔的高度进行了测量． 如图2，小梁站在点A 处利用测角仪测得电视塔顶端D 的 仰 角为，小罗站在点B 处利用测角仪测得电视塔顶端D的仰角为．已知测角仪高度均为， 两人相距．( 点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，点A，B，C 在一条直线上) (1)求电视塔的高度． (结果精确到． 参考数据：，， ，) (2)根据“景点简介”显示，佛山电视塔总高为．请提出一条减小误差的合理化建议 ． 4．（2024·广东中山·三模）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：点、、在同一水平线上． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 5．（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． (1)求的长； (2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 【题型06 方向角问题】 方向角遵循——上北下南，左西右东。 因为这类题目常和特殊角结合，故作辅助线时，谨记一个原则：不能破坏已有的特殊角。 1．（2025·广东清远·模拟预测）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当  之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） (1)求的长． (2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 2．（2024·广东中山·一模）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，米．点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东．（参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？ 3．（2023·广东东莞·一模）如图，某船于上午11时30分在A处观察海岛B在它的北偏东，该船以10海里/小时的速度向东航行至C处，再观察海岛B在它的北偏东，且船距离海岛30海里．    (1)求该船到达C处的时刻． (2)若该船从C处继续向东航行，何时到达B岛正南的D处？ 4．（2024·广东汕头·一模）如图，是一条东西走向的海岸线，码头和码头相距30海里，在码头南偏东的海岛处有一艘轮船正向码头正南方向的海岛行驶，轮船到达海岛后测得海岛在海岛的北偏东75°方向上，而码头在海岛的北偏西30°方向上． (1)已知关于两角和的公式，请利用公式计算； (2)利用（1）的结论，求码头与海岛之间的距离．（参考数据，，，，结果精确到海里）． 5．（2024·广东中山·一模）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向． (1)求∠C的度数； (2)求B，C两地的距离．（运算结果保留根号） 【题型07 坡度坡比问题】 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α， 坡度越大，坡角越大，坡面越陡 1．（2024·广东汕头·三模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚处出发，已知西面山坡的坡角为．同时，乙从东边山脚处出发，东面山坡的坡度，坡面米．求甲、乙两人出发时的水平距离． 2．（2024·广东江门·一模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚B处出发，已知西面山坡的坡度（坡度：坡面的垂直高度与水平长度的比，即）．同时，乙从东边山脚C处出发，东面山坡的坡度，坡面米． (1)求甲、乙两人出发时的水平距离． (2)已知甲每分钟比乙多走10米．两人同时出发，并同时达到山顶A．求：甲、乙两人的登山速度． 3．（2024·广东深圳·一模）如图所示，折线是一段登山石阶，其中，部分的坡角为，部分的坡角为，． (1)求石阶路（折线）的长． (2)如果每级石阶的高不超过，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，） 4．（2023·广东茂名·二模）如图，一楼房后有一假山，其坡度为：，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为．注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 (1)求休息亭的铅直高度； (2)求楼房AB的高．(结果保留根号) 【题型08 其他实际问题】 从实际问题中抽象出几何图形，如三角形，四边形，平行四边形，矩形，菱形，正方形。利用相关知识点解决实际问题 1．（2024·广东·模拟预测）如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知 ，，与的夹角 为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据： ）    2．（2024·广东·模拟预测）如图，是一种家用健身卷腹机，由圆弧形滑轨，可伸缩支撑杆和手柄构成． 图①是其侧面简化示意图． 滑轨 支撑杆与手柄在点A处连接，其中D，A，B三点在一条直线上． (1)如图①，固定若 求的度数； (2)如图②， 固定， 若 时，圆弧形滑轨所在的圆恰好与直线相切于点 B， 求滑轨 的长度． （结果精确到0.1， 参考数据：π取3.14， 3．（2025·广东佛山·一模）如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩，，垂直于地面放置，醒狮少年从点跳跃到点，随后纵身跃至点，已知，，，．（参考数据：，，） (1)在图2中，________； (2)醒狮少年在某次演出时需要从点直接腾跃至点进行“采青”，请求出“采青”路径的长度； (3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩的影子顶端恰好落在点处，梅花桩的影子顶端恰好与点重合，请在图3中画出梅花桩，的影子并计算出的高度； (4)如图4，保持不变，通过调整梅花桩的高度，使得的值最小，请求出此时的高度（结果精确到）． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）“彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履行的一项法定义务，我市设立了“礼让行人”交通标识．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究． 【问题情景】 如图，某无红绿灯的路口有一行人从点A处出发，通过斑马线时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点B（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去，此时．已知行人的速度是，每个车道宽，双向车道中间有宽的隔离带． 【问题解决】 (1) ； (2)若在B点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点C时，小汽车前沿离行人还有，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车从点B开始减速到停下这一段的行驶的距离．（参考数据：） 5．（2024·广东东莞·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把 称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线． (1)如果入射角，则 °； (2)现在测得dm，dm．（参考数据：，，） ①求入射角α的度数； ②如果光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 考向四：锐角三角函数和其他知识交汇 【题型09 三角函数与四边形的综合】 牢记三角函数的概念以及四边形的判定和性质，利用几何知识点解决问题 1．（2025·广东·模拟预测）如题图所示，在中，，的垂直平分线分别交，于D，E两点．若，求的长． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 3．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接、． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的值． 4．（2025·广东·模拟预测）【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______； （2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，请求出的长． 5．（2025·广东清远·模拟预测）【知识技能】 （1）如图1，在三角形纸片中，，点D在上，将沿直线翻折后，点B落在点E处，如果，那么线段的长为多少？ 【数学理解】 （2）如图2矩形中，，点E为上一点：且，将沿翻折，得到，连接并延长，与相交于点F，则的值为： 【拓展探索】 （3）如图3，在矩形纸片中，，点E为射线上的一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【题型10 三角函数与圆的综合】 牢记三角函数的概念以及圆的性质，利用几何知识点解决问题 1．（2025·广东清远·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交延长线于点，为上一点，且．    (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 3．（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．      (1)求证：； (2)若，，求． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，内接于，是的直径的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线 (2)若的半径为，，求的长和的值； (3)过圆心作的平行线交的延长线于点．若，，求的半径． 5．（2024·广东东莞·一模）如图1，是中的平分线，，以为半径的与相交于点，且． (1)求证：是切线； (2)如图2，设与的切点为，连接．当时，求的半径； (3)若是线段的中点，连与交于，在（2）的条件下，求的值． 一、单选题 1．（2025·广东深圳·一模）在中，，那么的值是（   ） A． B．1 C． D． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 3．（2024·广东梅州·一模）如图所示，在矩形中，，点M，N分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处．则的值是（　　） A．2 B． C． D． 4．（2025·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数 与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东深圳·一模）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（　　）米． A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·广东汕头·二模）如图，将三角板的直角顶点放置在直线上的点处，使斜边．则的余弦值为 ． 7．（2024·广东·模拟预测）如图，，，分别是直线，上的点，，，则直线与之间的距离为 8．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）    9．（2025·广东清远·一模）如图，在中，，，，，点在边上，将沿直线翻折，使点落在点处，连接并延长，交的延长线于点，若，则线段的长为 ． 10．（2024·广东广州·模拟预测）如图，为的直径，点A是弧的中点，交于E点，的切线与的延长线交于点F，，．则（1）弧的长＝ ；（2） ． 三、解答题 11．（2024·广东惠州·模拟预测）计算：． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上． (1)求的值． (2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 13．（2024·广东东莞·一模）如图1是一张折叠型方桌子，图是其侧面结构示意图，支架与交于点，测得，． (1)若，求的长； (2)将桌子放平后，两条桌腿叉开角度，求距离地面的高．结果保留整数参考数值， 14．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，O为边上一点，已知过点B且经过边上的点D，．连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 15．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作一条直线分别交、的延长线于点、，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，垂足为，，求的值． 16．（2024·广东韶关·二模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，， (1)求证：是的切线； (2)若点P是上的一点，连接． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 17．（2023·广东深圳·模拟预测）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）    (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 18．（2024·广东·中考真题）【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$