第五单元《数学广角—鸽巢问题》-六年级下学期数学易错盘点+典例分析+规避策略+举一反三（人教版）

知识梳理+易错盘点+典例分析+规避策略+举一反三 《数学广角—鸽巢问题》 知识梳理 1． 鸽巢原理 （1） 基本概念 “鸽巢原理”，也叫“抽屉原理”，是组合数学中的一个重要原理。 把3个苹果放进2个抽屉里，一定有1个抽屉里至少有2个苹果；5只鸽子飞进4个鸽笼，一定有1个鸽笼里至少飞进2只鸽子，这两个简单的例子所体现的数学原理就是“鸽巢原理”。 （2） 抽屉原理 抽屉原理1：把多于n个物体任意放进n个“抽屉”中（n是非0自然数），总有1个“抽屉”中至少放进2个物体。 例如：把4支铅笔放入3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。 “总有”：表示一定有、肯定有、一定存在；“至少”：表示最少、最低限度、不少于。 抽屉原理2：把多于kn个物体任意放进n个“抽屉”中（k、n均是非0自然数），总有1个“抽屉”中至少放进（k+1）个物体。 例如：8只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼里至少飞进3只鸽子。 （3） 求至少数（题型特征：总有/一定……至少……） 物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商+1 【提示】：①至少数=商+1，并非“商+余数”； ②有余数时，至少数=商+1；没余数时，至少数=商。 （4） 解题步骤 ①分析题意，将实际问题转化为“抽屉问题”，明确谁是“物体”、谁是“抽屉”。当题目没直接给出“抽屉”时，需根据题目已知条件和要求构造“抽屉”； ②把“物体”放入“抽屉”； ③利用抽屉原理解答。 2． 鸽巢原理的逆向应用 （1）已知抽屉数和至少数，求物体数（题型特征：至少……保证……） 方法1：转化为“抽屉问题”解答。 ①当至少数=2时，物体数=抽屉数+1，即物体数比抽屉数多1。 如果有n（n是非0自然数）个“抽屉”，要保证有1个“抽屉”至少放进了2个物体，那么至少需要有（n+1）个物体； ②当至少数＞2时，物体数=（至少数-1）×抽屉数+1。 如果有n个“抽屉”，要保证有一个“抽屉”至少放进了（k+1）（n、k均是非0自然数）个物体，那么至少需要有（kn+1）个物体。 方法2：从最不利的情况考虑。 从“最不凑巧”、“最糟糕”的极端情况考虑问题，如果最不利的情况都能满足题目要求，那么其他情况必然也能满足题目要求。 （2）已知物体数和至少数，求最大抽屉数。 （物体数-1）÷（至少数-1）=商……余数 最大抽屉数=商 3． 摸球问题（“相同型”） 方法1：从最不利的情况考虑。 要想保证摸出n个同色球，最不利的情况是每种颜色各摸（n-1）个，再加1。 方法2：转化为“抽屉问题”，利用公式求解。 把摸出的球看作待分的物体，把球的颜色看作抽屉，已知抽屉数和至少数，求物体数。 利用“物体数=（至少数-1）×抽屉数+1”求解。 当至少数=2时，物体数=抽屉数+1，也就是要保证摸出2个同色球，摸出的球数至少要比颜色数多1，与每种颜色的球数无关。 4． 摸球问题（“不同型”） 要想保证摸出n个不同色球，最不利的情况是把（n-1）种颜色全部取出，再加1。 易错盘点 易错点1：抽屉问题求至少数时出错 规避策略：用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。 物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商+1 【提示】：至少数=商+1，并非“商+余数”；没余数时，至少数=商。 例1：（判断）因11÷3=3……2，所以把11本书放进3个抽屉中，总有一个抽屉里至少放5本书。（ ） 例2：张叔叔参加飞镖比赛，投了4镖，总成绩是33环，且每一镖的成绩都是整数环。张叔叔至少有一镖不低于9环。（ ） 易错点2：无法准确判断谁是“物体”，谁是“抽屉” 规避策略：分析题意，将实际问题转化为“抽屉问题”，明确谁是“物体”、谁是“抽屉”。当题目没直接给出“抽屉”时，需根据题目已知条件和要求构造“抽屉”。 例1：一次数学考试，六（2）班最高分是98分，最低分是76分，每人的得分都是整数，要确保班上至少有3名学生得分相同，六（2）班至少有多少名学生？ 例2：38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 易错点3：“抽屉原理”逆用求物体数时出错 规避策略： 题型特征：至少……保证…… 方法1：转化为“抽屉问题”解答。 ①当至少数=2时，物体数=抽屉数+1，即物体数比抽屉数多1。 ②当至少数＞2时，物体数=（至少数-1）×抽屉数+1。 方法2：从最不利的情况考虑。 从“最不凑巧”、“最糟糕”的极端情况考虑问题，如果最不利的情况都能满足题目要求，那么其他情况必然也能满足题目要求。 例1：（判断）把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。（ ） 例2：有12张扑克牌打乱后反扣在桌面上，其中有5张是红桃，7张黑桃，至少要摸出（ ）张扑克牌，才能保证一定能摸到红桃。 A. 5 B. 7 C. 8 典例分析 例1：将5本数学绘本分给3名学生，下面说法错误的是（ ）。 A．存在1名学生至少有2本数学绘本 B．可能有1名学生有3本数学绘本 C．可能会有2名学生均有1本数学绘本 D．总有1名学生至少有3本数学绘本 例2：某班有男生25人、女生18人，下面说法正确的是（ ）。 A. 至少有2名男生是在同一个月出生的 B. 至少有2名女生是在同一个月出生的 C. 至少有5个人是在同一个月出生的 D. 以上选项都错误 例3：一批鸽子要飞回8个笼子，总有一个鸽笼里至少飞进4只鸽子。这批鸽子至少有（ ）只。 例4：从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌。 （1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？ （2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？ （3）至少取多少张牌，保证有2张花色相同？ （4）至少取多少张牌，保证有2张红桃？ 举一反三 1． （判断）9个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐3人。（ ） 2． （判断）某班有1个小书架，39个同学可以任意借阅。小书架上至少要有40本书，才能保证至少有一个同学借到2本或2本以上的书。（ ） 3． （判断）任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的差是偶数。（ ） 4． 26个小朋友乘5只小船至少有（ ）人坐在同一船里。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5． 手工课上老师给学生发折纸，有红、黄、蓝三种，每人发一种，如果这个班有37名学生，那么至少有（ ）名学生拿到相同颜色的折纸。 A．11 B．12 C．13 D．14 6． 把一些书放进5个抽屉里，总有一个抽屉至少放2本书。这些书可能有（ ）本。 A. 5 B. 2 C. 8 D. 4 7． 一个不透明的袋子里有7个形状大小完全相同球，其中4个红球，3个黄球。在摸球游戏中，保证摸出的球中至少有1个红球，那一次至少摸出球的个数是（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8． 把45根香蕉最多放进（ ）个盘子里，才能保证至少有一个盘子里放进7根香蕉。 A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 9． 某市5月份的天气有阴、晴、多云、小雨、阵雨五种类型，至少有（ ）天是同一种天气。 10． 某校开展关爱留守儿童活动，8名来自5个家庭的儿童因此受益，总有一个家庭至少有（ ）名儿童受益。 11． 把25枚棋子放入下图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（ ）枚。 12． 小军和家人到驻马店的皇家驿站游玩，在“羽箭俱乐部”玩射箭，射了8支箭，成绩是57环。小军射出的箭至少有一箭不低于（ ）环。 13． 希望小学六年级准备开展“中华好诗词”活动，六（1）班有45名学生，男、女生的人数比是3∶2。从中随机选取，至少选出（ ）人才能保证选出的学生中男、女生都有？ 14． 一场篮球比赛中共投中11个三分球，已知这场比赛共有5人投中三分球，则投中三分球最多的队员至少投中（ ）个三分球；若要保证5位投中三分球的队员中其中一位队员至少投中4个三分球，这场比赛至少要投中（ ）个三分球。 15． 逸夫小学的六年级有若干学生，若已知学生中至少有两人的生日是同一天，那么，六年级至少有（ ）个学生；其中六（3）班有68名学生，那么在六（3）班中至少有（ ）个人在同一月出生。 16． 有同样大小的红、黄、蓝三种颜色的珠子各14颗，放在一个盒里。一次摸出14颗，总会有一种颜色的珠子不少于（ ）颗。一次摸出16颗，至少会有（ ）种颜色。 17． 五A班进行投篮比赛，规定：“空心球”（即投进且球不触及篮框和篮板）得5分，投进但触及篮框或篮板得2分，其余得0分。每人投2次，若不管怎么投，都至少有7人得分相同，那么五A班至少有（ ）人。 18． 六年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩都在60分以下，其余学生的成绩均在75~95之间（包括75分和95分）。问：至少有几名学生的成绩相同？ 19． 学校组织学生去游览西湖、灵隐寺、博物馆，规定每人至少去一处，最多去两处．六（1）班有36名同学，至少有多少名同学的目的地是相同的？ 20． 新年晚会上，老师让每个同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五种颜色，摸的时候看不到颜色，结果发现，总有两个人取得的球相同，由此可知，参加取球的至少有多少人？ 21． 涂色游戏。 （1） 把一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每个面只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有（ ）个面涂的颜色相同。 （2） 把27个相同的正方体按下面所示排列放置，组合成一个大的正方体，在外表面的每一个小格任意涂红、黄、蓝、绿四种颜色（每小格只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有（ ）个小格涂的颜色相同。 22． 在北京奥运会女子射箭个人决赛中，中国选手张娟娟以110∶109环战胜韩国选手朴成贤，获得冠军（射箭比赛最高10环，共射12支剑），小明认为张娟娟至少获得2次10环的成绩，你认为他说得对吗？ 23． 淘气和果果从口袋里抽手套，一次只能任意摸1只且不用放回口袋里，已知有黑色和白色的手套各5双，那么至少摸多少次，才能保证摸到一副手套？（一副手套：颜色相同，一左一右） 24． 一个布袋里有红、白、蓝、绿四种球各10个，它们的大小和质量都一样。 （1）至少要摸出多少个，才能保证其中至少有4个颜色相同的球？ （2）至少要摸出多少个，才能保证有4种不同颜色的球？ 25． 一个鱼缸里有4种花色的金鱼，每种花色各有10条，从中任意捞鱼。 （1）至少捞出多少条鱼，才能保证有3条花色相同的金鱼？ （2）至少捞出多少条鱼，才能保证有3种花色不同的金鱼？ 26． 一副扑克牌红桃、黑桃、方块、梅花各13张（取出大、小王）共52张。 （1）一次至少拿出多少张牌，才能保证有2张牌是同花色的？ （2）一次至少拿出多少张牌，才能保证4种花色的牌都有？ （3）一次至少拿出多少张牌，才能保证有2张牌的点数相同？ （4）一次至少拿出多少张牌，才能保证至少有一张的点数为8？ 27． 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20。 28． 任意给出4个不同的自然数，其中必有两个数的差是3的倍数。为什么？ ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 知识梳理+易错盘点+典例分析+规避策略+举一反三 《数学广角—鸽巢问题》 知识梳理 1． 鸽巢原理 （1） 基本概念 “鸽巢原理”，也叫“抽屉原理”，是组合数学中的一个重要原理。 把3个苹果放进2个抽屉里，一定有1个抽屉里至少有2个苹果；5只鸽子飞进4个鸽笼，一定有1个鸽笼里至少飞进2只鸽子，这两个简单的例子所体现的数学原理就是“鸽巢原理”。 （2） 抽屉原理 抽屉原理1：把多于n个物体任意放进n个“抽屉”中（n是非0自然数），总有1个“抽屉”中至少放进2个物体。 例如：把4支铅笔放入3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。 “总有”：表示一定有、肯定有、一定存在；“至少”：表示最少、最低限度、不少于。 抽屉原理2：把多于kn个物体任意放进n个“抽屉”中（k、n均是非0自然数），总有1个“抽屉”中至少放进（k+1）个物体。 例如：8只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼里至少飞进3只鸽子。 （3） 求至少数（题型特征：总有/一定……至少……） 物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商+1 【提示】：①至少数=商+1，并非“商+余数”； ②有余数时，至少数=商+1；没余数时，至少数=商。 （4） 解题步骤 ①分析题意，将实际问题转化为“抽屉问题”，明确谁是“物体”、谁是“抽屉”。当题目没直接给出“抽屉”时，需根据题目已知条件和要求构造“抽屉”； ②把“物体”放入“抽屉”； ③利用抽屉原理解答。 2． 鸽巢原理的逆向应用 （1）已知抽屉数和至少数，求物体数（题型特征：至少……保证……） 方法1：转化为“抽屉问题”解答。 ①当至少数=2时，物体数=抽屉数+1，即物体数比抽屉数多1。 如果有n（n是非0自然数）个“抽屉”，要保证有1个“抽屉”至少放进了2个物体，那么至少需要有（n+1）个物体； ②当至少数＞2时，物体数=（至少数-1）×抽屉数+1。 如果有n个“抽屉”，要保证有一个“抽屉”至少放进了（k+1）（n、k均是非0自然数）个物体，那么至少需要有（kn+1）个物体。 方法2：从最不利的情况考虑。 从“最不凑巧”、“最糟糕”的极端情况考虑问题，如果最不利的情况都能满足题目要求，那么其他情况必然也能满足题目要求。 （2）已知物体数和至少数，求最大抽屉数。 （物体数-1）÷（至少数-1）=商……余数 最大抽屉数=商 3． 摸球问题（“相同型”） 方法1：从最不利的情况考虑。 要想保证摸出n个同色球，最不利的情况是每种颜色各摸（n-1）个，再加1。 方法2：转化为“抽屉问题”，利用公式求解。 把摸出的球看作待分的物体，把球的颜色看作抽屉，已知抽屉数和至少数，求物体数。 利用“物体数=（至少数-1）×抽屉数+1”求解。 当至少数=2时，物体数=抽屉数+1，也就是要保证摸出2个同色球，摸出的球数至少要比颜色数多1，与每种颜色的球数无关。 4． 摸球问题（“不同型”） 要想保证摸出n个不同色球，最不利的情况是把（n-1）种颜色全部取出，再加1。 易错盘点 易错点1：抽屉问题求至少数时出错 规避策略：用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。 物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商+1 【提示】：至少数=商+1，并非“商+余数”；没余数时，至少数=商。 例1：（判断）因11÷3=3……2，所以把11本书放进3个抽屉中，总有一个抽屉里至少放5本书。（ × ） 【答案】：× 【分析】：11本书放进3个抽屉，11个物体放进3个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 11÷3=3（本）……2（本） 3+1=4（本） 所以，总有一个抽屉里至少放4本。原题干说法错误，答案为：×。 例2：张叔叔参加飞镖比赛，投了4镖，总成绩是33环，且每一镖的成绩都是整数环。张叔叔至少有一镖不低于9环。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：由题可知，投了4镖，总成绩33环。 33÷4=8（环）……1（环），假设每镖都是8环，则比实际成绩少1环，8+1=9（环）。 所以，张叔叔至少有一镖不低于9环。原题干说法正确，答案为：√。 易错点2：无法准确判断谁是“物体”，谁是“抽屉” 规避策略：分析题意，将实际问题转化为“抽屉问题”，明确谁是“物体”、谁是“抽屉”。当题目没直接给出“抽屉”时，需根据题目已知条件和要求构造“抽屉”。 例1：一次数学考试，六（2）班最高分是98分，最低分是76分，每人的得分都是整数，要确保班上至少有3名学生得分相同，六（2）班至少有多少名学生？ 【答案】：47 【分析】：最高分98分、最低分76分，且得分都是整数，一共有98-76+1=23（个）整数，也就是得分情况有23种，要确保班上至少有3名学生得分相同，从最不利的情况考虑，每种得分有（3-1）名学生，此时有学生（3-1）×23；这种情况再多1名，无论这人得多少分，都能保证班上至少有3名学生分数相同。所以，至少有学生（3-1）×23+1=47（名 ）。 【提示】：此类题目在计算不同分数的种类时，注意用最高分减去最低分后，再加1。即从n到m包含数的个数等于（m-n+1）（m＞n，m、n均为整数） 【解】：（3-1）×23+1=47（名） 答：六（2）班至少有47名学生。 例2：38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 【答案】：7 【分析】：此题关键在于排列组合构造“抽屉”。 由题可知，38名学生每人答2道题，求至少有几名学生的成绩相同，需要先确定有多少种成绩。每人答2道题，答对一道题得2分、不答不得分、答错扣1分，得分情况如下： 全部答对：2×2=4（分）； 1题答对、1题不答：2+0=2（分）； 1题答对、1题答错：2-1=1（分）； 1题不答、1题答错：-1分； 2题不答：0分； 2题答错，-2分。 38名学生总共有4、2、1、-1、0、-2，合计6种得分情况。 6种得分情况看作6个抽屉，38名学生看作38个物体，38个物体放进6个抽屉，求至少数。 38÷6=6（名）……2（名） 6+1=7（名） 所以，至少有7名学生的成绩相同。 【解】：共有6种得分情况：全部答对（4分）、1题答对+1题不答（2分）、1题答对+1题答错（1分）、1题不答+1题答错（-1分）、2题不答（0分）、2题答错（-2分），把这6种得分情况看作6个抽屉。 38÷6=6（名）……2（名） 6+1=7（名） 答：至少有7名学生的成绩相同。 易错点3：“抽屉原理”逆用求物体数时出错 规避策略： 题型特征：至少……保证…… 方法1：转化为“抽屉问题”解答。 ①当至少数=2时，物体数=抽屉数+1，即物体数比抽屉数多1。 ②当至少数＞2时，物体数=（至少数-1）×抽屉数+1。 方法2：从最不利的情况考虑。 从“最不凑巧”、“最糟糕”的极端情况考虑问题，如果最不利的情况都能满足题目要求，那么其他情况必然也能满足题目要求。 例1：（判断）把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：把一些书放进5个抽屉，要确保总有1个抽屉至少有3本，从最不利的情况考虑，每个抽屉先放进（3-1）本，此时需要书（3-1）×5；这种情况下再放1本，无论放进哪个抽屉，都能保证总有1个抽屉至少有3本。所以，至少需要有（3-1）×5+1=11（本）。 原题干说法正确，答案为：√。 例2：有12张扑克牌打乱后反扣在桌面上，其中有5张是红桃，7张黑桃，至少要摸出（   C   ）张扑克牌，才能保证一定能摸到红桃。 A. 5 B. 7 C. 8 【答案】：C 【分析】：由题可知，有红桃5张、黑桃7张。 要保证一定能摸到红桃，从最不利的情况考虑，先把7张黑桃全部摸出，这种情况下再摸1张，必定是红桃。所以，至少要摸出7+1=8（张），故选C。 典例分析 例1：将5本数学绘本分给3名学生，下面说法错误的是（ D ）。 A．存在1名学生至少有2本数学绘本 B．可能有1名学生有3本数学绘本 C．可能会有2名学生均有1本数学绘本 D．总有1名学生至少有3本数学绘本 【答案】：D 【分析】：由题可知，5本绘本分给3名学生，也就是5个物体放进3个抽屉，求至少数，利用抽屉原来解答。 5÷3=1（本）……2（本） 1+1=2（本） 所以，总有1名学生至少有2本数学绘本。 平均分后，3人每人1本，剩下的2本有2种分配情况：一是分给不同的2个人，即5=2+2+1；二是分给同一个人，即5=3+1+1，此时1人有3本、2人均有1本。 综上，A、B、C3种说法正确，故选D。 例2：某班有男生25人、女生18人，下面说法正确的是（ B ）。 A. 至少有2名男生是在同一个月出生的 B. 至少有2名女生是在同一个月出生的 C. 至少有5个人是在同一个月出生的 D. 以上选项都错误 【答案】：B 【分析】：一年12个月，把12个月看作12个抽屉。 选项A，某班有男生25人，把25人看作25个物体，放进12个抽屉，25÷12=2（名）……1（名），2+1=3（名），因此至少有3名男生是在同一个月出生的。说法错误； 选项B，某班有女生18人，把18人看作18个物体，放进12个抽屉，18÷12=1（名）……6（名），1+1=2（名），因此至少有2名女生是在同一个月出生的。说法正确； 选项C，某班共有25+18=43（人），把43人看作43个物体，放进12个抽屉，43÷12=3（人）……7（人），3+1=4（人），因此至少有4个人是在同一个月出生的。说法错误。 综上，故选B。 例3：一批鸽子要飞回8个笼子，总有一个鸽笼里至少飞进4只鸽子。这批鸽子至少有（ 25 ）只。 【答案】：25 【分析】：从最不利的情况考虑。 由题可知，鸽子飞入8个笼子，要保证有其中1个笼子里至少有4只，从最不利的情况考虑，每个笼子先飞进（4-1）只，此时有鸽子（4-1）×8；这种情况下再飞进1只，无论飞进哪个笼子，都能保证有1个笼子里至少有4只鸽子。所以，这些鸽子至少有（4-1）×8+1=25（只）。 例4：从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌。 （1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？ （2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？ （3）至少取多少张牌，保证有2张花色相同？ （4）至少取多少张牌，保证有2张红桃？ 【答案】：（1）14张；（2）5张；（3）5张；（4）41张 【分析】：一副扑克牌，取出两张王牌后还有52张，包含13个点数，每种点数有52÷13=4（张），即4种花色。 （1）要保证有2张牌的点数相同，从最不利的情况考虑，每种点数各取出（2-1）张，这种情况下再取1张，无论取出的是什么点数，都能保证有2张牌的点数相同。所以，至少取牌（2-1）×13+1=14（张）； （2）保证2张牌的点数不同，从最不利的情况考虑，把其中1种点数的4张牌全部取出，这种情况下再取1张，无论取出的是什么点数，都能保证有2张牌的点数不同。所以，至少取牌52÷13+1=5（张）； （3）保证2张牌的花色相同，剩下的52张牌包含4种花色。从最坏的情况考虑，每种花色取出（2-1）张，这种情况下再取1张，无论取出的是什么花色，都能保证有2张花色相同。所以，至少要取出（2-1）×4+1=5（张）； （4）要保证有2张红桃，从最坏的情况考虑，把除红桃外的其他3种花色全部取出，此时共取出13×3；这种情况下再取2张，一定能保证有2张红桃。所以，至少要取出3×13+2=41（张）。 【解】：（1）（2-1）×13+1=14（张） 答：至少要取出14张牌。 （2）52÷13+1=5（张） 答：至少要取出5张牌。 （3）（2-1）×4+1=5（张） 答：至少要取出5张牌。 （4）3×13+2=41（张） 答：至少要取出41张牌。 举一反三 1． （判断）9个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐3人。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：由题可知，9个人坐4把椅子，也就是9个物体放进4个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 9÷4=2（人）……1（人） 2+1=3（人） 所以，总有1张凳子上至少坐了3人。原题干说法正确，答案为：√。 2． （判断）某班有1个小书架，39个同学可以任意借阅。小书架上至少要有40本书，才能保证至少有一个同学借到2本或2本以上的书。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：转化为抽屉问题，利用公式求解。 由题可知，把39个同学看作39个抽屉，把书的本数看作待分的物体，也就是若干物体放进39个抽屉，且一定有1个抽屉里至少有2个物体。 抽屉数是39、至少数是2，求物体数。 至少数是2，则物体数=抽屉数+1，也就是要保证至少有1个同学借到2本书，书的本数要比人数多1。所以，至少要有书39+1=40（本）。原题干说法正确，答案为：√， 3． （判断）任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的差是偶数。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：自然数有奇数和偶数2种，把这2种看作2个抽屉，3个自然数看作3个物体，3个物体放进2个抽屉。 3÷2=1（个）……1（个），1+1=2（个），总有1个抽屉里至少有2个物体，也就是3个自然数中一定有2个数同为奇数或同为偶数。 奇数-奇数=偶数，偶数-偶数=偶数，所以任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的差是偶数。 原题干说法正确，答案为：√。 4． 26个小朋友乘5只小船至少有（ C ）人坐在同一船里。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】：C 【分析】：由题可知，26个小朋友乘5只小船，也就是26个物体放进5个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 26÷5=5（人）……1（人） 5+1=6（人） 所以，至少有6人坐在同一船里，故选C。 5． 手工课上老师给学生发折纸，有红、黄、蓝三种，每人发一种，如果这个班有37名学生，那么至少有（ C ）名学生拿到相同颜色的折纸。 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】：C 【分析】：由题可知，37名学生发3种折纸，也就是37个物体放进3个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 37÷3=12（名）……1（名） 12+1=13（名） 所以，至少有13名学生拿到相同颜色的折纸，故选C。 6． 把一些书放进5个抽屉里，总有一个抽屉至少放2本书。这些书可能有（ C ）本。 A. 5 B. 2 C. 8 D. 4 【答案】：C 【分析】：把一些书放进5个抽屉，要保证总有1个抽屉至少放2本，从最不利的情况考虑，每个抽屉先放进（2-1）本，此时需要书（2-1）×5；这种情况下再放1本，无论放进哪个抽屉，都能保证总有1个抽屉至少放2本。所以，这些书至少有（2-1）×5+1=6（本）。 这些书至少有6本，选项ABD均小于6，不符合。故选C。 7． 一个不透明的袋子里有7个形状大小完全相同球，其中4个红球，3个黄球。在摸球游戏中，保证摸出的球中至少有1个红球，那一次至少摸出球的个数是（ D ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：D 【分析】：由题可知，有7个球，其中4个红球、3个黄球，要保证摸出的球中至少有1个红球，从最不利的情况考虑，把3个黄球全部摸出，这种情况下再摸1个，就能保证摸出的球中至少有1个红球。所以，一次至少摸出球3+1=4（个），故选D。 8． 把45根香蕉最多放进（ C ）个盘子里，才能保证至少有一个盘子里放进7根香蕉。 A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】：C 【分析】：由题可知，45根香蕉放进若干盘子里，把45根香蕉看作45个物体，盘子数看作抽屉数。要保证至少有1个盘子里放进7根香蕉，每个盘子里先放（7-1）根，之后再放1根，无论这1根放进哪个盘子，都能保证至少有1个盘子里放进7根香蕉，也就是香蕉数至少要比盘子数的（7-1）倍多1。 （45-1）÷（7-1）=7（个）……2（个），所以最多放进7个盘子里，故选C。 9． 某市5月份的天气有阴、晴、多云、小雨、阵雨五种类型，至少有（ 7 ）天是同一种天气。 【答案】：7 【分析】：5月份有31天，把31天看作31个物体，5种天气类型看作5个抽屉，31个物体放进5个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 31÷5=6（天）……1（天） 6+1=7（天） 所以，总有一种天气至少有7天。 10． 某校开展关爱留守儿童活动，8名来自5个家庭的儿童因此受益，总有一个家庭至少有（ 2 ）名儿童受益。 【答案】：2 【分析】：由题可知，8名受益儿童来自5个家庭，也就是8个物体放进5个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 8÷5=1（名）……3（名） 1+1=2（名） 所以，总有1个家庭至少有2名儿童受益。 11． 把25枚棋子放入下图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（ 7 ）枚。 【答案】：7 【分析】：由题可知，把25枚棋子放入图中的4个小三角形内，把4个小三角形看作4个抽屉，25个物体放入4个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 25÷4=6（枚）……1（枚） 6+1=7（枚） 所以，一定有一个小三角形至少放入7枚。 12． 小军和家人到驻马店的皇家驿站游玩，在“羽箭俱乐部”玩射箭，射了8支箭，成绩是57环。小军射出的箭至少有一箭不低于（ 8 ）环。 【答案】：8 【分析】：由题可知，射了8支箭，总成绩是57环。 57÷8=7（环）……1（环），假设每次射箭都是7环，则比实际成绩少1环，7+1=8（环）。 所以，小军射出的箭至少有一箭不低于8环。 13． 希望小学六年级准备开展“中华好诗词”活动，六（1）班有45名学生，男、女生的人数比是3∶2。从中随机选取，至少选出（ 28 ）人才能保证选出的学生中男、女生都有？ 【答案】：28 【分析】：由题可知，六（1）班有45名学生，且男生∶女生=3∶2，则男生有45×=27（人）、女生有45-27=18（人）。 要保证选出的学生中男、女都有，从最不利的情况考虑，男生27人全部选出，此时再选1人，就能保证选出的人中男、女都有。所以，至少选出27+1=28（人）。 14． 一场篮球比赛中共投中11个三分球，已知这场比赛共有5人投中三分球，则投中三分球最多的队员至少投中（ 3 ）个三分球；若要保证5位投中三分球的队员中其中一位队员至少投中4个三分球，这场比赛至少要投中（ 16 ）个三分球。 【答案】：3；16 【分析】：（1）由题可知，5人投中11个三分球，把11个三分球看作11个物体，5人看作5个抽屉，11个物体放进5个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答即可。 11÷5=2（个）……1（个） 2+1=3（个） 所以投中三分球最多的队员至少投中3个三分球。 （2）要保证5位投中三分球的队员中其中一位至少投中4个，从最不利的情况考虑，5位投中的队员每人投中（4-1）个三分球，此时投中（4-1）×5；再投中1个，无论谁投中，都能保证其中一位队员至少投中4个三分球。所以这场比赛至少要投中三分球（4-1）×5+1=16（个）。 15． 逸夫小学的六年级有若干学生，若已知学生中至少有两人的生日是同一天，那么，六年级至少有（ 367 ）个学生；其中六（3）班有68名学生，那么在六（3）班中至少有（ 6 ）个人在同一月出生。 【答案】：367；6 【分析】：（1）由题可知，学生中至少有2人的生日在同一天，求至少有多少学生。 平年有365天，闰年有366天，题目中未明确平年还是闰年，从最不利的情况考虑，按1年366天计算。 要确保至少有2人的生日在同一天，每天有1人过生日，此时有学生366人；再多1人，无论这1人哪天过生日，都能保证至少有2人的生日在同一天。所以，六年级至少366+1=367（人）； （2）1年有12个月，把12个月看作12个抽屉，68名学生看作68个物体，68个物体放进12个抽屉，求至少数。 68÷12=5（人）……8（人） 5+1=6（人） 所以，六（3）班中至少有6个人在同一月出生。 16． 有同样大小的红、黄、蓝三种颜色的珠子各14颗，放在一个盒里。一次摸出14颗，总会有一种颜色的珠子不少于（ 5 ）颗。一次摸出16颗，至少会有（ 2 ）种颜色。 【答案】：5；2 【分析】：（1）由题可知，3种颜色的球，把3种颜色看作3个抽屉，一次摸出14颗，把14颗球看作14个物体，也就是14个物体放进3个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 14÷3=4（颗）……2（颗） 4+1=5（颗） 所以，总会有一种颜色的珠子不少于5颗。 （2）由题可知，每种颜色的珠子各14颗，一次摸出16颗，从最不利的情况考虑，某一种珠子14颗全部被摸出，再摸出另外一种颜色珠子2颗。所以，至少会有颜色1+1=2（种）。 17． 五A班进行投篮比赛，规定：“空心球”（即投进且球不触及篮框和篮板）得5分，投进但触及篮框或篮板得2分，其余得0分。每人投2次，若不管怎么投，都至少有7人得分相同，那么五A班至少有（ 37 ）人。 【答案】：37 【分析】：由题可知，投1次，“空心球”得5分（①）、投进但触及篮框或篮板得2分（②）、其余得0分（③），每人投2次，得分情况如下： （1）投2次，每次得分相同： 全部①：5+5=10（分）； 全部②：2+2=4（分）； 全部③：0+0=0（分）； 投2次，每次得分不同： ①+②：5+2=7（分）； ①+③：5+0=5（分）； ②+③：2+0=2（分）； 综上，共有10、4、0、7、5、2，6种得分情况。 6种得分情况，要保证至少有7人得分相同。从最不利的情况考虑，6种得分情况每种有（7-1）人，此时有人6×（7-1）人；再多1人，无论得多少分，都能保证至少有7人得分相同。所以五A班至少有6×（7-1）+1=37（人）。 18． 六年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩都在60分以下，其余学生的成绩均在75~95之间（包括75分和95分）。问：至少有几名学生的成绩相同？ 【答案】：3 【分析】：由题可知，47名学生参加竞赛，其中3人成绩在60分以下，剩余（47-3）名学生成绩在75~95之间，且成绩都是整数，求至少有几名学生的成绩相同。 剩余学生47-3=44（名），把44名学生看作44个物体；75~95（包括75分和95分），成绩有95-75+1=21（种），把21种成绩看作21个抽屉，也就是把44个物体放进21个抽屉，求至少数。 【解】：剩余学生：47-3=44（名） 95-75+1=21（个） 44÷21=2（名）……2（名） 2+1=3（名） 答：至少有3名学生的成绩相同。 19． 学校组织学生去游览西湖、灵隐寺、博物馆，规定每人至少去一处，最多去两处．六（1）班有36名同学，至少有多少名同学的目的地是相同的？ 【答案】：6 【分析】：由题可知，有36名同学去游览3个地方，且规定每人至少去1处、最多去2处。求至少有多少名同学的目的地相同，需要先确定有多少种游览方式。 ①去1处：3个地点任选其一，3种； ②去2处：西湖+灵隐寺、西湖+博物馆、灵隐寺+博物馆，3种； 共有游览方式：3+3=（6种），把6种游览方式看作6个抽屉，36名同学看作36个物体，把36个物体放进6个抽屉，求至少数，用抽屉原理解答。 【解】：游览方式如下： ①去1处：3个地点任选其一，3种； ②去2处：西湖+灵隐寺、西湖+博物馆、灵隐寺+博物馆，3种； 游览方式合计有3+3=6（种），把6种游览方式看作6个抽屉。 36÷6=6（名） 答：至少有6名同学的目的地是相同的。 20． 新年晚会上，老师让每个同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五种颜色，摸的时候看不到颜色，结果发现，总有两个人取得的球相同，由此可知，参加取球的至少有多少人？ 【答案】：16 【分析】：由题可知，球有5种颜色，每人摸2个，且总有2个人取得的球相同，求参加取球至少有多少人，要先确定球的取法，如下： ①2个球同色：2红、2黄、2白、2蓝、2绿，5种； ②2个球不同色：红+黄、红+白、红+蓝、红+绿、黄+白、黄+蓝、黄+绿、白+蓝、白+绿、蓝+绿，10种； 合计5+10=15（种）取法，要确保总有2个人取得的球相同，15种取法各1人，这种情况下再多1人，无论按哪种取法，总有2人取得的球相同。所以，参加取球至少有15+1=16（人）。 【解】：球的取法如下： ①2个球同色：2红、2黄、2白、2蓝、2绿，5种； ②2个球不同色：红+黄、红+白、红+蓝、红+绿、黄+白、黄+蓝、黄+绿、白+蓝、白+绿、蓝+绿，10种； 5+10=15（种），合计15种取法。 15+1=16（人） 答：参加取球的至少有16人。 21． 涂色游戏。 （1） 把一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每个面只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有（ 2 ）个面涂的颜色相同。 （2） 把27个相同的正方体按下面所示排列放置，组合成一个大的正方体，在外表面的每一个小格任意涂红、黄、蓝、绿四种颜色（每小格只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有（ 14 ）个小格涂的颜色相同。 【答案】：（1）2；（2）14 【分析】：（1）把正方体的6个面分别涂上4种颜色，且每个面只涂1种颜色，即6个物体放进4个抽屉，求至少数。 6÷4=1（面）……2（面） 1+1=2（面） 所以，至少有2个面涂的颜色相同。 （2）大正方体每面有9个小格，6面合计有9×6=54（个）小格。 54个小格涂上4种颜色，且每个小格只涂1种颜色，即54个物体放进4个抽屉，求至少数。 54÷4=13（个）……2（个） 13+1=14（个） 所以，至少有14个小格涂的颜色相同。 22． 在北京奥运会女子射箭个人决赛中，中国选手张娟娟以110∶109环战胜韩国选手朴成贤，获得冠军（射箭比赛最高10环，共射12支剑），小明认为张娟娟至少获得2次10环的成绩，你认为他说得对吗？ 【答案】：正确 【分析】：由题可知，张娟娟射箭12次共得到110环。 110÷12=9（环）……2（环），假设每次射箭都是9环，则比实际成绩还少2环，把这2环任意分给2次射箭，因此至少获得2次10环的成绩。所以，小明的说法正确。 【解】：射箭12次共得到110环，110÷12=9（环）……2（环） 假设每次射击都是9环，则比实际成绩还少2环，把这2环任意分给2次射箭，因此至少获得2次10环的成绩，才能达到110环的成绩。 所以，小明的说法正确。 23． 淘气和果果从口袋里抽手套，一次只能任意摸1只且不用放回口袋里，已知有黑色和白色的手套各5双，那么至少摸多少次，才能保证摸到一副手套？（一副手套：颜色相同，一左一右） 【答案】：11 【分析】：由题可知，2种颜色的手套各5双，一副手套，颜色相同，且一左一右，要保证摸到一副手套，从最不利的情况考虑，把2种颜色左手的5只手套全部摸出，此时摸（5×2）次；这种情况下再摸一只，无论摸出的是什么颜色，或左或右手，都能保证和之前摸出的手套配成一副。所以，至少摸5×2+1=11（次）。 【解】：10+1=11（次） 答：至少摸11次，才能保证摸到一副手套。 24． 一个布袋里有红、白、蓝、绿四种球各10个，它们的大小和质量都一样。 （1）至少要摸出多少个，才能保证其中至少有4个颜色相同的球？ （2）至少要摸出多少个，才能保证有4种不同颜色的球？ 【答案】：（1）13；（2）31 【分析】：（1）由题可知，有红、白、蓝、绿4种颜色，要保证其中至少有4个颜色相同的球，从最坏的情况考虑，每种颜色各摸出（4-1）个，此时共摸出（4-1）×4；这种情况下再摸1个，无论摸出的是什么颜色，都能保证至少有4个颜色相同的球。所以，至少摸出（4-1）×4+1=13（个）； （2）要保证4种不同颜色的球，从最坏的情况考虑，把其中（4-1）种颜色球全部摸出，此时共摸出10×（4-1）；再摸出1个，就能保证有4种不同颜色的球。所以，至少要摸出10×（4-1）+1=31（个）。 【解】：（1）（4-1）×4+1=13（个） 答：至少要摸出13个，才能保证其中至少有4个颜色相同的球。 （2）10×（4-1）+1=31（个） 答：至少要摸出31个，才能保证有4种不同颜色的球。 25． 一个鱼缸里有4种花色的金鱼，每种花色各有10条，从中任意捞鱼。 （1）至少捞出多少条鱼，才能保证有3条花色相同的金鱼？ （2）至少捞出多少条鱼，才能保证有3种花色不同的金鱼？ 【答案】：（1）9；（2）21 【分析】：（1）由题可知，金鱼有4种花色，要保证捞出的鱼中有3条花色相同的，从最不利的情况考虑，每种花色捞出（3-1）条，此时捞鱼（3-1）×4；这种情况下再捞1条，无论捞出的是什么花色，都能保证有3条花色相同的金鱼。所以，至少要捞出金鱼（3-1）×4+1=9（条）； （2）要保证有3种花色不同的鱼，从最不利的情况考虑，把其中2种花色的鱼全部捞出，这种情况再捞出1条，无论捞出的是什么花色，都能保证有3种花色不同的金鱼。所以，至少捞出金鱼10×2+1=21（条）。 【解】：（1）4×（3-1）+1=9（条） 答：至少捞出9条鱼，才能保证有3条花色相同的金鱼。 （2）10×2+1=21（条） 答：至少捞出21条鱼，才能保证有3条花色不同的金鱼。 26． 一副扑克牌红桃、黑桃、方块、梅花各13张（取出大、小王）共52张。 （1）一次至少拿出多少张牌，才能保证有2张牌是同花色的？ （2）一次至少拿出多少张牌，才能保证4种花色的牌都有？ （3）一次至少拿出多少张牌，才能保证有2张牌的点数相同？ （4）一次至少拿出多少张牌，才能保证至少有一张的点数为8？ 【答案】：（1）5张；（2）40张；（3）14张；（4）49张 【分析】：一副扑克牌，取出两张王牌后，有4种花色，每种花色13张，合计13×4=52（张）。 （1） 要保证有2张牌是同花色，从最不利的情况考虑，4种花色的牌各摸出1张，此时摸出（4×1）张，这种情况再摸出1张，无论摸出的是什么花色，都能保证有2张牌是同花色。所以，一次至少拿出4×1+1=5（张）； （2）要保证4种花色的牌都有，从最不利的情况考虑，3种花色的牌全部摸出，此时摸出牌（13×3）张，这种情况下再摸出1张，都能保证4种花色的牌都有。所以，一次至少拿出13×3+1=40（张）； （3）一副扑克取出大、小王后，共有13种点数，每种点数4张，要保证有2张牌的点数相同，从最不利的情况考虑，13种点数各摸出1张，此时摸出（13×1）张，这种情况下再摸出1张，都能保证有2张牌的点数相同。素以，一次至少拿出13×1+1=14（张）； （4）共有13种点数，每种点数4张，要保证至少有1张的点数是8，从最不利的情况考虑，把除8外的另外（13-1）种点数全部摸出，此时摸出牌（13-1）×4，这种情况下再摸出1张，就能保证至少有一张的点数是8。所以，所以，一次至少拿出（13-1）×4+1=49（张）。 【解】：（1）4×1+1=5（张） 答：一次至少要拿出5张牌，才能保证有2张牌是同花色的。 （2）13×3+1=40（张） 答：一次至少要拿出40张牌，才能保证4种花色的牌都有。 （3）13×1+1=14（张） 答：一次至少要拿出14张牌，才能保证有2张牌的点数相同。 （4）（13-1）×4+1=49（张） 答：一次至少要拿出49张牌，才能保证至少有一张的点数为8。 27． 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20。 【答案】：见详解 【分析】：从1开始的连续10个奇数分别是：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，这10个数按2个数的和为20可分为（1,19）、（3,17）、（5,15）、（7,13）、（9,11），共5组。 把这5组数看作5个抽屉，从中任取6个数。 6÷5=1（个）……1（个） 1+1=2（个） 必有2个数取于同一抽屉，所以一定有2个数的和是20。 【解】：从1开始的连续10个奇数分别是：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，这10个数按2个数的和为20可分为（1,19）、（3,17）、（5,15）、（7,13）、（9,11），共5组。 把这5组数看作5个抽屉，从中任取6个数。 6÷5=1（个）……1（个） 1+1=2（个） 必有2个数取于同一抽屉，所以一定有2个数的和是20。 28． 任意给出4个不同的自然数，其中必有两个数的差是3的倍数。为什么？ 【答案】：见详解 【分析】：1个自然数除以3，余数有0、1、2，共3种可能。 把3种可能看作3个抽屉，4个自然数看作4个物体，4个物体放进3个抽屉。 4÷3=1（个）……1（个） 1+1=2（个） 总有1个抽屉里至少有2个物体，也就是4个数中必有2个数除以3后的余数相同，这样的2个数的差是3的倍数。 【解】：1个自然数除以3，余数有0、1、2，共3种可能，把3种可能看作3个抽屉。 4÷3=1（个）……1（个） 1+1=2（个） 4个自然数中必有2个数除以3后的余数相同，这样的2个数的差是3的倍数。 所以，任意给出4个不同的自然数，其中必有两个数的差是3的倍数。 ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$