精品解析：重庆市四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高一下学期三月检测数学试题（B卷）

2024-2025学年度（下）高2027届3月检测 数学试题（B卷） （满分150分，120分钟完成） 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分，每题有且仅有一个正确答案） 1. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ） A. 24 B. 25 C. 7 D. 8 3. 已知等比数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 已知直线上有动点，点为圆上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，则该圆台的（ ） A. 高为4 B. 母线与底面所成角为 C. 侧面积为 D. 体积为 10. 已知数列前n项和，则（ ） A. B. C. 数列的前2n项和为 D. 11. 已知曲线E过原点，且除原点外所有点均满足其到原点的距离的立方与该点的横纵坐标之积的比值为定值，下列结论正确的是（ ） A. 曲线E关于对称 B. 若点在曲线E上，则其方程为 C. 对于任意，曲线E围成的图形的面积一定小于 D. 存在，使得曲线E上有5个整点（即横，纵坐标均为整数的点） 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 直线，，当时，直线与之间的距离为__________. 13. 数列中，，若，则_____. 14. 已知双曲线的右焦点为F，在双曲线左支上取一点M，若直线MF与以双曲线实轴为直径的圆相切于N，若向量，则双曲线C的离心率为__________. 四、解答题（共5题，共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程） 15. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线． （1）求证：直线与圆总有两个不同的交点； （2）在①，②最小，③过A，B两点分别作圆的切线，切线交于点，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解； 设圆的圆心为，直线与圆交于A，B两点，当__________时，求直线的方程． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 17. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）设求的前n项和. 18. 已知椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且（为坐标原点）的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于，（，异于点）两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值. 19. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数图象上，其中n为正整数． （1）证明：数列“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设，数列的前n项和为，且恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（下）高2027届3月检测 数学试题（B卷） （满分150分，120分钟完成） 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分，每题有且仅有一个正确答案） 1. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系可得，即可根据模长公式求解. 【详解】由于与垂直，故，解得， 故， 故选：C 2. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ） A. 24 B. 25 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 分析】由双曲线标准方程得，然后根据关系求得． 【详解】由题意，，， 故选：D． 3. 已知等比数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由条件结合等比数列通项公式求，由此可求结论, 【详解】数列为等比数列，设数列公比为， 因为，， 所以， 所以，即， 故. 故选：C. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 5. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可 【详解】, 可知数列可看作从第8项起以3为周期的数列， 因为， 所以， 故选：B 6. 已知直线上有动点，点为圆上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出圆心到直线的距离，再减去该圆半径即为最小值. 【详解】由可知，该圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 故圆心到直线上的点的长度最短为， 则. 故选：B. 7. 正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，以A为原点，方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系，从而得到和的坐标.又因为，从而得到异面直线BE与AF夹角余弦的最大值. 【详解】设， 以A为原点，方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系， 可得，， 故所求角的余弦值为，当时取“”． 故选：D 8. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】椭圆与双曲线有相同焦点得到．根据双曲线和椭圆的定义可得，，在中由三边的关系得出其为直角三角形，利用面积公式求结论． 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② ①2②2得， 所以， ①2②2得， 所以， 又，故， 所以， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故选：A． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，则该圆台的（ ） A. 高为4 B. 母线与底面所成角为 C. 侧面积为 D. 体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形、侧面积及体积公式逐项求解判断. 【详解】依题意，圆台轴截面等腰梯形的上、下底边长分别，腰长， 对于A，圆台的高等于圆台轴截面等腰梯形的高，A正确； 对于B，母线与底面所成角等于圆台轴截面等腰梯形的底角，，B错误； 对于C，圆台的侧面积，C正确； 对于D，圆台的体积，D正确. 故选：ACD 10. 已知数列的前n项和，则（ ） A. B. C. 数列的前2n项和为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意设可求首项，继而利用与关系求得通项公式，判断各选项，即得答案． 【详解】A选项，由已知，不适合，A正确，从而B错误； 时，，所以， C选项，数列的前项和为： ，C正确； D选项， ，D错． 故选：AC. 11. 已知曲线E过原点，且除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点的横纵坐标之积的比值为定值，下列结论正确的是（ ） A. 曲线E关于对称 B. 若点在曲线E上，则其方程为 C. 对于任意，曲线E围成的图形的面积一定小于 D. 存在，使得曲线E上有5个整点（即横，纵坐标均为整数的点） 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可得，即可根据点的对称求解A，代入即可求解B，根据对称性以及圆的面积可判断C，根据，得且，或者且，将此范围内的整数点代入到验证即可求解D. 【详解】对于A，先求曲线方程，设曲线上除原点外一点为， 由已知，即. 若点在曲线上，则也满足曲线方程，所以曲线关于直线对称，A正确； 对于B，将代入曲线方程，得，即，故，此时方程为，B错误； 对于C，，所以， 由可知，，故的图象位于内, 故，C正确； 对于D，由于，所以且，或者且， 由可知，， 故其图象在第一，三象限，由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点， 则曲线在第一象限内只能有两个整点， 当整点为时，，此时第一象限的整点只有在曲线上，其有3个整点，不满足题意； 当整点为时，，此时第一象限的整点也在曲线上，且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意， 当整点为时，，此时第一象限的整点只有在曲线上，其有3个整点，不满足题意； 当整点为时，，此时第一象限整点也在曲线上，且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意， 综上可得D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：由于，所以且，或者且， 结合可知，，即可代入整数点求解. 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 直线，，当时，直线与之间的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由两直线平行列方程求，根据平行直线间距离公式求解即可. 【详解】因为直线，，， 所以，解得或， 当时，直线，，两直线重合，不满足要求， 当时，直线，，两直线平行，满足要求， 所以当时，直线与之间的距离为. 故答案为：. 13. 数列中，，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得数列是等比数列，再根据等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】因为， 令，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， ， 所以，所以. 故答案为：. 14. 已知双曲线的右焦点为F，在双曲线左支上取一点M，若直线MF与以双曲线实轴为直径的圆相切于N，若向量，则双曲线C的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为，可得相似于，且相似比为，结合双曲线的定义可得，在直角中，由勾股定理得出的等量关系，再由双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为， 直线与圆相切， ， ， 为的中点，， 相似于，且相似比为， 故. . 在双曲线中，由双曲线定义知， 为直角三角形， ，即，解得， 故双曲线的离心率为. 故答案为:. 四、解答题（共5题，共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程） 15. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线． （1）求证：直线与圆总有两个不同的交点； （2）在①，②最小，③过A，B两点分别作圆的切线，切线交于点，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解； 设圆的圆心为，直线与圆交于A，B两点，当__________时，求直线的方程． 【答案】（1）见解析 （2）选①②③ 【解析】 【分析】（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可得证； （2）求出圆心及半径， 选①，根据，得，从而可求得弦得长度，即可求出圆心到直线的距离，从而求出的值，即可得出答案， 选②，当直线所过定点为弦的中点时，最小，此时，求出直线的斜率，即可得出答案， 选③，由过A，B两点分别作圆的切线，切线交于点，可得，求出直线的斜率，即可得出答案. 【小问1详解】 解：直线化为， 令，解得， 所以直线过定点， 又，所以定点在圆内， 所以直线与圆相交， 即直线与圆总有两个不同的交点； 【小问2详解】 将圆得方程化为标准方程：， 则，半径， 选①，因为，所以， 在中，，即弦得长为， 所以圆心到直线的距离， 即，解得， 所以直线； 选②，当直线所过定点为弦的中点时，最小， 此时，，所以， 即，解得， 所以直线； 选③，因为过A，B两点分别作圆的切线，切线交于点， 所以，，所以， 即，解得， 所以直线. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再由平面证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 在菱形中，连接， 由已知底面是菱形，， 为等边三角形， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以. 因为平面，平面， 且，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，平面，则有， 由（1）知，，故，，两两垂直， 如图建立空间直角坐标系， 因为是的中点，，，所以， 因为底面是菱形，， 所以， 所以为等边三角形，由（1）也为等边三角形， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 又因为平面， 所以平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）设求的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系化简可得，从而可得结论； （2）由（1）可知，，则，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可求的前n项和. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又因为，所以，， 所以，故数列是以首项为3，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知，，即， 所以. 所以，① ，② 由①－②，得， 所以. 故的前项和为. 18. 已知椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且（为坐标原点）的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于，（，异于点）两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设，直接建立的方程组，即可求出结果； （2）解法1：设出直线方程，分斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，根据条件，可直接求出直线方程为，从而求出点到直线的距离，当斜率存在时，设直线方程为，联立椭圆方程得到，利用韦达定理，结合条件，即可找出与的关系，从而求出结果；解法2：根据条件，巧妙的构造齐次式，从而得出，即可解决问题. 【小问1详解】 由题意可得解得 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解法1：韦达定理 设点，，由（1）易求得， 当直线的斜率不存在时，设其方程为（且）， 所以由，且，得到， 即，解得或（舍） 此时点到直线的距离为， 当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立消去并整理得. 则，，， 所以，即. 所以， ， 整理得，即， 所以或. 若，则直线的方程为， 所以直线过点，不合题意； 若，则直线的方程为， 所以直线过定点. 又因为，所以点在椭圆内. 则点到直线的距离为. 所以点到直线距离的最大值为. 解法2：齐次式法 易求得，设点，，则， 椭圆的方程为，即， ， 设直线方程为，联立并齐次化，得 整理得， 即， 方程的两根为，，由韦达定理得， 从而，与对照， 则解得故直线过定点， 、JKK;显然，点到直线距离的最大值为. 19. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数． （1）证明：数列“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设，数列的前n项和为，且恒成立，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可； （2）求出表达式，再分段求和即可.通过参变分离求最值即可求解； 【小问1详解】 点在函数的图象上， ，， 数列是“平方递推数列”， 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以1为首项、2为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 故数列的奇数项构成1为首项，4为公差的等差数列，偶数项构成2为首项，4为公比的等比数列， 由等差数列求和公式及等比数列求和公式可得： 所以等价于： 化简可得： ， 令，则，当且仅当时取等号，等号无法成立， 当，即时，；当，即时，； 所以， 所以的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $