重难点13 平行四边形的判定八大重难点题型-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点13 平行四边形的判定 八大重难点题型 ▲知识点一：平行四边形的判定： 平行四边形的判定1（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形. 平行四边形的判定2： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言：∵AB = CD，AD = CB，∴四边形ABCD 是平行四边形. 平行四边形的判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言：∵∠A =∠C，∠B =∠D，∴四边形 ABCD 是平行四边形. 平行四边形的判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言：∵AO = CO，DO = BO，∴四边形ABCD 是平行四边形. 平行四边形的判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言：∵ AB∥CD，AB = CD，∴四边形ABCD 是平行四边形. ▲知识点二：三角形的中位线 ★1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ★2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. 几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且DE =BC． ★3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段. ★4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半. ★5、三角形的中线与中位线 相同点：都是与中点有关的线段. 不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 【题型一 利用定义进行平行四边形的判定】 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（　　） A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180° 【分析】先证AB∥CD，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】解：应增加的条件是：∠ABD＝∠CDB，理由如下： ∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 2．（2024秋•招远市期末）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． 【解答】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型． 3．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 　　． 【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵AD∥EF，CD∥GH， ∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC， ∴图中平行四边形有：▱ABCD，▱ABHG，▱CDGH，▱BCFE，▱ADFE，▱AGOE，▱BEOH，▱OFCH，▱OGDF共9个． 即共有9个平行四边形． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 4．如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形． 【分析】根据平行线的性质和判定证得EB∥DC，再根据平行四边形的判定即可证得结论． 【解答】证明：∵EF∥AC， ∴∠EDC+∠C＝180°， 又∵∠EDC＝∠CBE， ∴∠CBE+∠C＝180°， ∴EB∥DC， ∵DE∥BC，BE∥CD， ∴四边形BCDE是平行四边形． 【点评】此题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，根据平行线的性质和判定证得EB∥DC是解决问题的关键． 5．（2024春•江阳区校级期中）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：四边形AECF是平行四边形． 【分析】利用角平分线的性质再结合平行四边形的性质进而得出AE∥CF，即可得出结论． 【解答】证明：∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠FAE∠BAD，∠FCE∠BCD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC， ∴∠FAE＝∠FCE，∠FAE＝∠AEB， ∴∠FCE＝∠AEB， ∴AE∥CF， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF为平行四边形． 【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 6．（2024•交城县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，分别连接CE，AF交对角线BD于点G，H，连接EH，FG． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）求证：四边形EHFG是平行四边形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD＝CB，AB＝CD，∠ABF＝∠CDE，而DE＝AEAD，BF＝CFCB，所以DE＝BF，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABF≌△CDE； （2）由BC∥AD，得∠FBH＝∠EDG，由△ABF≌△CDE，得∠BFH＝∠DEG，即可证明△BFH≌△DEG，则FH＝EG，再证明四边形AECF是平行四边形，则FH∥EG，所以四边形EHFG是平行四边形． 【解答】证明：（1）∵点E，F分别是边AD，BC的中点， ∴DE＝AEAD，BF＝CFCB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AB＝CD，∠ABF＝∠CDE， ∴DE＝BF， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）． （2）∵BC∥AD， ∴∠FBH＝∠EDG， ∵△ABF≌△CDE， ∴∠BFH＝∠DEG， 在△BFH和△DEG中， ， ∴△BFH≌△DEG（ASA）， ∴FH＝EG， ∵CF∥AE，CF＝AE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF∥CE， ∴FH∥EG， ∴四边形EHFG是平行四边形． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等式的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明DE＝BF，从而证明△ABF≌△CDE是解题的关键． 【题型二 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定】 1．（2024秋•临淄区期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AO＝CO，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC 【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、由AB＝DC，AD∥BC，不能判定这个四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定这个四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、AO＝CO，AB＝DC，不能判定这个四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由AB∥DC，AB＝DC，能判定这个四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 2．（2024秋•莱芜区期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD＝BC，OB＝OD B．AB＝CD，AC＝BD C．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，BC∥AD 【分析】由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】解：A、AB∥CD，OB＝OD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； B、AB＝CD，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO， 在△ABO和△CDO中， ， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项符合题意； D、AB＝CD，BC∥AD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 3．（2024春•禹州市期中）依据所标数据，一定为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、由数据可知，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由数据可知，一组对边平行且相等，能判定为平行四边形，故选项B符合题意； C、由数据可知，只有一组对边平行，不能判定为平行四边形，故选项C不符合题意； D、由数据可知，有三条边相等，不能判定为平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 4．（2025•雁塔区校级三模）如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF且BE＝CF，求证：四边形ABED是平行四边形． 【分析】由AB∥DE、AC∥DF利用平行线的性质可得出∠B＝∠DEF、∠ACB＝∠F，由BE＝CF可得出BC＝EF，进而可证出△ABC≌△DEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出AB＝DE，再结合AB∥DE，即可证出四边形ABED是平行四边形． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF， ∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B＝∠DEF，∠ACE＝∠F， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． ∴AB＝DE， ∵AB∥DE， ∴四边形ABED是平行四边形． 【点评】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质找出AB＝DE是解题的关键． 5．（2024•新城区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BD上一点，且BE＝BC，AB＝EF，∠ABD＝∠BFE，求证：四边形ABCD为平行四边形． 【分析】证明△ABD≌△EBF（ASA），得出AD＝BE，由平行四边形的判定可得出结论． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠EBF， ∵∠ABD＝∠BFE， ∴∠A＝∠BEF， 在△ABD和△EBF中， ， ∴△ABD≌△EBF（ASA）， ∴AD＝BE， 又∵BE＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，证明△ABD≌△EBF是解题的关键． 【题型三 利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定 1．下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．2：3：4：5 B．3：3：4：4 C．4：3：3：4 D．4：3：4：3 【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故只有选项D能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对边相等，故不能判定． 【解答】解：根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知D正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，运用了两组对边分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 2．（2024秋•栖霞市期末）下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB＝AD，CB＝CD，不能四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意； D、由AB∥CD，AD＝BC，不能四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 3．（2024春•覃塘区期中）若一个四边形的四边的长依次为a，b，c，d，且满足（a﹣c）2+（b﹣d）2＝0，则该四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【分析】根据（a﹣c）2+（b﹣d）2＝0这个方程可求出四边的关系，即对边相等，从而判断四边形形状． 【解答】解：∵（a﹣c）2+（b﹣d）2＝0， ∴a＝c，b＝d． ∴这个四边形是平行四边形． 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形和非负数的性质偶次方是解题的关键． 4．（2024春•南召县期末）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上 的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD． 求证：四边形DBEC是平行四边形． 【分析】先证明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可证四边形BECD是平行四边形 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF， ∵点F是BC的中点， ∴BF＝CF， 在△DCF和△EBF中， ， ∴△EBF≌△DCF（AAS）， ∴DC＝BE， ∴四边形BECD是平行四边形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质. 5．如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形． 【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，由等边三角形的性质得出BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，证明△ADE≌△CBF（SAS），得出DE＝BF，则可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB， ∵△ABE和△CDF是等边三角形， ∴BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°， ∴∠DCB﹣∠DCF＝∠DAB﹣∠BAE， 即∠DAE＝∠FCB， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）， ∴DE＝BF， 又∵BE＝DF， ∴四边形BFDE为平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的判定和性质是本题的关键． 【题型四 利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定】 1．下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　） A．3：4：3：4 B．3：3：4：4 C．2：3：4：5 D．3：4：4：3 【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有A能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定． 【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确． 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 2．一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，我们判定其为平行四边形的依据是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【分析】根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形即可得出结论． 【解答】解：∵一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°， ∴度数为88°的两个内角是一组相等的对角，度数为92°的两个内角是另一组相等的对角， ∴这个四边形是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 3．（2024春•丰顺县期末）要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（　　） A．OC＝5 B．OC＝3 C．CD＝3 D．CD＝9 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【解答】解：∵AD＝BC＝9，AB＝CD＝5， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵OB＝OD＝7，OA＝OC＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 4．如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】证出AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的判定可得出结论． 【解答】证明：∵∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠DCB＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠D+∠DCB＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 5．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于点G，交AD于点E，交BC的延长线于点F，∠DEF＝∠CFG．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC，进而利用平行线的性质和平行四边形的判定解答即可． 【解答】证明：∵∠DEF＝∠CFG， ∴AD∥BC， ∴∠D＝∠DCF， ∵∠B＝∠D， ∴∠B＝∠DCF， ∴AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】此题考查平行四边形的判定，关键是根据两组对边平行的四边形是平行四边形解答． 【题型五 利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定】 1．（2024春•巴中期末）已知：如图，四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是：　　 ．（只需填一个你认为正确的条件即可） 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的四边形可知：添加BO＝DO可以使四边形ABCD是平行四边形． 【解答】解：添加BO＝DO， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：BO＝DO． 【点评】本题考查了平行四边形的判定：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形． 2．（2024春•志丹县期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，O是BD的中点． 求证：四边形ABCD为平行四边形． 【分析】可证明△AOB≌△COD（AAS），得到AO＝CO，即可解答． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠OCD＝∠OAB． ∵O是BD的中点， ∴OD＝OB． 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴AO＝CO． ∵OD＝OB， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟知证明平行四边形的条件是解题的关键． 3．（2024春•柳南区校级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】利用边角边定理证得△DEC≌△FEB，从而得到DC＝BF，∠C＝∠EBF，进一步得到AB∥DC，然后得到DC＝AB，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD为平行四边形即可． 【解答】证明：在△DEC与△FEB中， ， ∴△DEC≌△FEB（AAS）， ∴DC＝BF，∠C＝∠EBF， ∴AB∥DC， ∵AB＝BF， ∴DC＝AB， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【点评】考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 4．（2024春•沿河县期中）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F是BD上的点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形． 【分析】连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA＝OC，OB＝OD；然后结合已知条件证得OE＝OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论． 【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF， ∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法是解决问题的关键． 5．（2024春•黑山县期末）如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点． （1）求证：OD＝OC． （2）求证：四边形AFBE平行四边形． 【分析】（1）利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质即可得解． （2）此题已知OA＝OB，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了． 【解答】证明：（1）∵AC∥BD， ∴∠C＝∠D， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∴OD＝OC； （2）∵OD＝OC， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴OFOD，OEOC， ∴EO＝FO， 又∵OA＝OB， ∴四边形AFBE是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【题型六 利用三角形中位线定理求线段的长度】 1．（2024秋•岱岳区期末）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝12m，则A，B之间的距离是（　　） A．48m B．24m C．12m D．6m 【分析】根据题意知CD是△OAB的中位线，利用中位线的定理可知AB＝2CD即可解答． 【解答】解：∵C，D是OA，OB的中点， ∴CD是△OAB的中位线， ∴AB＝2CD＝2×12＝24（m）， 故选：B． 【点评】本题主要考查三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 2．（2025•南岗区校级开学）若三角形的三条中位线长分别为3cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 【分析】根据三角形的中位线定理求出三角形的三条边长，即可求解． 【解答】解：∵三角形的三条中位线长分别为3cm，3cm，4cm， ∴三角形的三条边长分别为6cm，6cm，8cm， ∵6+6+8＝20（cm）， ∴原三角形的周长为20cm． 故选：C． 【点评】本题考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解答的关键． 3．（2024秋•雨花区校级期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝6，BC＝9，则EF的长为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【分析】由三角形中位线定理推出DE∥BC，DEBC＝4.5，BD＝AD，由平行线的性质推出∠DFB＝∠CBF，由角平分线定义得到∠DBF＝∠CBF，因此∠DFB＝∠DBF，判定DF＝BD，求出BDAB＝3，得到DF＝3，于是EF＝DE﹣DF＝1.5． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC，BD＝AD， ∴∠DFB＝∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠CBF， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴DF＝BD， ∵AB＝6， ∴BDAB＝3， ∴DF＝3， ∵BC＝9， ∴DE9＝4.5， ∴EF＝DE﹣DF＝4.5﹣3＝1.5． 故选：C． 【点评】本题考查三角形中位线定理，角平分线定义，关键是由三角形中位线定理推出DE∥BC，DEBC，由等角对等边判定DF＝DB． 4．（2024•亭湖区校级模拟）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AD平分∠BAC，且AD⊥CD于点D．若AB＝6，AC＝3，则DE的长为 　 ． 【分析】延长CD，交AB于点F，证明△FAD≌△CAD，根据全等三角形的性质得到AF＝AC＝6，CD＝DF，进而求出FB，再根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：如图，延长CD，交AB于点F， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠CAD， ∵AD⊥CD， ∴∠ADF＝∠ADC＝90°， 在△FAD和△CAD中， ， ∴△FAD≌△CAD（ASA）， ∴AF＝AC＝3，CD＝DF， ∵AB＝6， ∴BF＝AB﹣AF＝6﹣3＝3， ∵CD＝DF，CE＝EB， ∴DE是△BFC的中位线， ∴DEFB3， 故答案为：． 【点评】此题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形求出CD＝DF是解题的关键． 5．（2024春•分宜县期末）如图，在边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG． （1）求EF的长． （2）求DG的长． 【分析】（1）直接利用三角形中位线定理进而得出DE＝2，且DE∥AC，再利用勾股定理即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质得出EG以及DG的长即可． 【解答】解：（1）连接DE， ∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝2，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝2， ∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°， ∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°， ∴FCEC＝1， 故EF， （2）∵G为EF的中点， ∴EG， ∴DG． 【点评】此题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质和三角形中位线定理，正确得出EG的长是解题关键． 【题型七 利用三角形中位线定理证明】 1．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 【分析】连接AC，由三角形的中位线定理可得EF=AC，EF∥AC；GH=AC，GH∥AC；于是可得EF=GH，EF∥GH，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解. 【解答】证明：连接AC , ∵E，F，G，H是四边形ABCD的中点, ∴EF，HG分别是△BCA和△DCA的中位线, ∴EF∥AC，HG∥AC，且EF=AC=HG, ∴EF∥HG， EF=HG， ∴四边形EFGH是平行四边形. 【点评】本题考查了中点四边形、平行四边形的判定，根据三角形中线定义找出EF∥HG、EF=HG是解题的关键． 2．（2024春•新邵县期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线AC的中点，E，F是AD，BC的中点，∠PFE＝∠PEF，求证：AB＝DC． 【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据∠PEF＝∠PFE得到PF＝PE，等量代换可得结论． 【解答】证明：在△ABC中，P，F是AC，BC的中点， ∴PF是△ABC的中位线， ∴， 同理， ∵∠PEF＝∠PFE， ∴PF＝PE， ∴AB＝CD． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等角对等边，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 3．（2024•濉溪县校级开学）已知，如图△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E为AD的中点，CE延长线交AB于点F．求证：AFFB． 【分析】过点D作DG∥CF，交AB于点G，易证EF是△AGD的中位线，DG是△BCF的中位线，得AF＝GF＝BG，即可得出结论． 【解答】证明：过点D作DG∥CF，交AB于点G， 在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴BD＝CD， ∴DG是△BCF的中位线， ∴BG＝GF， ∵点E为AD的中点，EF∥GD， ∴EF是△ADG的中位线， ∴AF＝GF， ∴AF＝GF＝BG， ∴AFFB． 【点评】本题考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确的添加辅助线得到AF＝GF＝BG． 4．（2024秋•沂源县期末）如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O． （1）求证：OEEC； （2）若OD＝2，求AB的长． 【分析】（1）证明四边形EFCD是平行四边形即可得出结论； （2）证明DF是△ABC的中位线即可求解． 【解答】（1）证明：∵ED，EF是中位线， ∴ED∥FC，EF∥DC， ∴四边形EFCD是平行四边形， ∵对角线CE和DF相交于点O， ∴OE； （2）解：∵EC，DF是平行四边形EFCD的对角线，OD＝2， ∴DF＝2OD＝4， ∵ED，EF是△ABC的中位线， ∴点D，F分别是AC，BC的中点， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF， ∴AB＝2DF＝8． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 5．（2024秋•昌平区期末）已知：△ABC中，AB＝BC＝6，D为AC中点．过点D作DE∥BC，交AB于点E，在DE的延长线上有一点F，连接AF，满足AF＝AD． （1）求证：BE＝DE． （2）若AC＝6，试判断△AEF的形状，并证明． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出E为AB中点，则DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质及等量代换即可得解； （2）根据等腰三角形的性质得出BD⊥AC，根据勾股定理求出BD＝3，进而推出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质及角的和差求出∠FAE＝90°，据此即可得解． 【解答】（1）证明：∵D为AC中点，DE∥BC， ∴E为AB中点， ∴BEAB，DE是△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵AB＝BC， ∴BE＝DE； （2）解：△AEF是直角三角形，理由如下： 如图，连接BD， ∵AC＝6，D为AC中点， ∴AD＝3， ∵AB＝BC＝6，D为AC中点， ∴BD⊥AC， ∴BD3， ∴∠BAD＝30°， ∵AE＝BE，DE＝BE， ∴AE＝DE， ∴∠BAD＝∠ADE＝30°， ∵AF＝AD， ∴∠F＝∠ADE＝30°， ∴∠FAD＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴∠FAE＝∠FAD﹣∠BAD＝90°， ∴△AEF是直角三角形． 【点评】此题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题的关键． 【题型八 平行四边形性质与判定的综合运用】 1．（2024春•泰来县校级期末）如图，AB∥CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，关于下列结论：①DE∥BF；②∠DAC＝∠ACB；③点B到AC的距离是线段BF的长度；④∠DAC+∠ACD＝∠ADC；⑤如果∠BAD＝∠BCD，那么AD∥BC．其中结论正确的序号为（　　） A．①②③ B．①③⑤ C．①③④ D．②④⑤ 【分析】利用平行线的性质，垂直的定义，点到直线的距离即可进行判断． 【解答】解：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC， ∴∠DEF＝∠BFE＝90°， ∴DE∥BF，故①正确； ∵AD和BC不一定平行， ∴∠DAC和∠ACB不一定相等，故②不正确； ∵BF⊥AC， ∴点B到AC的距离是线段BF的长，故③正确； ∵∠DAC+∠ACD+∠ADC＝180°，故④不正确； ∵AB∥CD， ∴∠BCD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC．故⑤正确． 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，垂直的定义，点到直线的距离．熟练掌握定义和性质是解题的关键． 2．（2025•夏县一模）在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E为线段BO的中点，连接CE，过点B作BF∥CA交CE的延长线于点F，连接AF，OF，若OF＝CD，则线段AC和BD一定满足的关系是（　　） A．互相垂直且相等 B．互相平分且相等 C．互相垂直平分 D．互相垂直平分且相等 【分析】如图所示，由E为OB的中点，得到OE＝BE．根据平行线的性质得到∠BFE＝∠OCE，∠FBE＝∠COE，根据全等三角形的性质得到BF＝OG．根据平行四边形 到现在得到BC＝OF，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：如图所示， ∵E为OB的中点， ∴OE＝BE． ∵BF∥AC， ∴∠BFE＝∠OCE，∠FBE＝∠COE， 在△BEF与△OEC中， ， ∴△BEF≌△OEC（AAS）， ∴BF＝OG． ∵BF∥CA， ∴四边形BCOF是平行四边形， ∴BC＝OF， ∵OF＝CD， ∴BC＝CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC和BD互相垂直平分， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．（2024秋•新泰市期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH． （1）求证：四边形AFHD为平行四边形； （2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数． 【分析】（1）证明BC为△FEG的中位线，得出BC∥FG，BCFG，证出BC＝FH，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，得出AD∥FH，AD＝FH，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出∠DAB＝∠DCB，由等腰三角形的性质得出∠BEC＝∠EBC＝75°，由三角形内角和定理求出∠BCE，得出∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝40°，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵BF＝BE，CG＝CE， ∴BC为△FEG的中位线， ∴BC∥FG，BCFG， 又∵H是FG的中点， ∴FHFG， ∴BC＝FH． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AD∥FH，AD＝FH， ∴四边形AFHD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠DCB， ∵CE＝CB， ∴∠BEC＝∠EBC＝75°， ∴∠BCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝10°+30°＝40°， ∴∠DAB＝40°． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 4．（2024秋•宁阳县期末）如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．求线段EF的长． 【分析】（1）连接BD交AC于点O，根据平行四边形的性质证明OE＝OF，进而利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）根据勾股定理求出AF＝20，然后求出AE＝CF＝4，进而可得EF的长． 【解答】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵AB⊥BF，AB＝16，BF＝12， ∴AF20， ∵AC＝24， ∴AE＝CF＝AC﹣AF＝4， ∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝24﹣4﹣4＝16． 【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． 5．（2024春•丛台区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE． （1）求证：四边形AEBD是平行四边形； （2）若DE⊥DC，DC＝10，BE＝13，求线段DE的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD∥BE，再由平行线的性质得∠ADF＝∠BEF，∠DAF＝∠EBF，然后证明△ADF≌△BEF（AAS），得AD＝BE，即可得出结论； （2）证明AB⊥DE，利用勾股定理求出EF可得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AD//BE， ∴∠ADF＝∠BEF，∠DAF＝∠EBF， ∵点F是AB的中点， ∴AF＝BF， ∴△ADF≌△BEF（AAS）， ∴AD＝BE， ∴四边形AEBD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝10，AB∥CD， ∵F是AB的中点， ∴BFAB＝5， ∵DE⊥DC， ∴DE⊥AB， ∵四边形AEBD是平行四边形， ∴EF＝DF12， ∴DE＝24． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 6．（2024•工业园区校级模拟）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O、E是BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若EF平分∠AEC，求证AB⊥AC． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO＝CO，AD∥BC，易证△AOF≌△CEO（ASA），根据全等三角形的性质可得AF＝CE，进一步即可得证； （2）先根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AECF是菱形，根据菱形的性质可得AC⊥EF，再证明四边形ABEF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB∥EF，进一步即可得证． 【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AO＝CO，AD∥BC， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF和△CEO中， ， ∴△AOF≌△CEO（ASA）， ∴AF＝CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）∵AF∥CE， ∴∠AFE＝∠CEF， ∵EF平分∠AEC， ∴∠AEF＝∠CEF， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AE＝AF， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴四边形AECF是菱形， ∴AC⊥EF， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴BE＝AF， ∵BE∥AF， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴AB∥EF， ∴AB⊥AC． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 1．（2024春•江阳区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（　　） A．AB＝DC B．∠1＝∠2 C．AD＝BC D．∠D+∠BCD＝180° 【分析】根据平行四边形的判定逐一判断即可． 【解答】解：A、AD∥BC，AB＝DC不能判定四边形ABCD是平行四边形，还可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、∠1＝∠2，推出AD∥BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； C、AD∥BC，AD＝BC，能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意； D、∠D+∠BCD＝180°，推出AD∥BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查对平行四边形判定的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 2．（2024•石家庄开学）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：由作图知，BC＝AD，CD＝AB， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故判定四边形ABCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 3．（2024秋•沙坪坝区校级期末）在四边形ABCD中，AB∥CD，以下条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．AD＝BC D．AB＝CD 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠A+∠D＝∠B+∠C＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意； ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意； ∵AB∥CD，AD＝BC，四边形也可能是等腰梯形，故不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意； ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 4．（2024•五华区校级模拟）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据三角形的中线的概念求出CD，再根据三角形中位线定理求出EF． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝8， ∴BD＝DCBC8＝4， ∵E、F分别是AC，AD的中点， ∴EF是△ADC的中位线， ∴EFCD＝2， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的中线的概念，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 5．（2024春•临漳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且AF＝CE，连接FD，ED，DF∥AC，那么四边形AFDE的周长是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再利用平行线的性质可得∠BDF＝∠C，从而可得∠B＝∠BDF，进而可得BF＝DF，然后根据等式的性质可得DF＝AE，从而可得四边形AFDE是平行四边形，进而可得AF＝DE，最后根据等量代换可得四边形AFDE的周长＝2AB＝10，即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC＝5， ∴∠B＝∠C， ∵DF∥AC， ∴∠BDF＝∠C， ∴∠B＝∠BDF， ∴BF＝DF， ∵AF＝CE， ∴AB﹣AF＝AC﹣CE， ∴BF＝AE， ∴DF＝AE， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∴AF＝DE， ∴四边形AFDE的周长＝AF+DE+AE+DF ＝2AF+2DF ＝2AF+2BF ＝2AB ＝10， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（2024春•西平县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，再添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形． 　 ．　 【分析】根据平行四边形的判定方法，可以再加一个：AD＝BC或AB∥CD的条件，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证． 【解答】解：根据平行四边形的判定，可添加：AD＝BC或AB∥CD， 故答案为：AD＝BC或AB∥CD． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 7．（2024秋•河口区期末）在平面直角坐标系中，有四个点O（0，0），A（4，0），B（1，3），C（x，3），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　 　． 【分析】证明BC∥x轴，再求出BC＝OA＝4，进而分两种情况讨论，①点C在点B左侧，则x＝﹣3；②点C在点B右侧，则x＝5，即可得出结论． 【解答】解：∵B（1，3），C（x，3）， ∴BC∥x轴， ∵以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（4，0）， ∴BC＝OA＝4， ①当点C在点B左侧，如图1，则x＝1﹣4＝﹣3； ②当点C在点B右侧，如图2，则x＝1+4＝5； 综上所述，x＝﹣3或5， 故答案为：﹣3或5． 【点评】此题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明BC∥x轴是解题的关键． 8．（2024春•梁平区期末）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　 　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：2或6． 【点评】此题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 9．（2024春•舒城县校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．求证：四边形ABEO是平行四边形． 【分析】与证明四边形ABEO是平行四边形，只需推知AB＝OE且AB∥OE即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD和四边形DOEC都是平行四边形， ∴AB∥CD且AB＝CD，OE∥CE且OE＝DC， ∴AB∥OE且AB＝OE． ∴四边形ABEO是平行四边形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 10．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论． 【分析】利用平行线的性质得出∠BAE＝∠CFE，由AAS得出△ABE≌△FCE，得出对应边相等AE＝EF，再利用平行四边形的判定得出即可． 【解答】解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CFE， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE（AAS）； ∴AE＝EF， 又∵BE＝CE ∴四边形ABFC是平行四边形． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 11．（2024•天河区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26， （1）求证；四边形ABCD为平行四边形； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由勾股定理可求AO＝13，可得AO＝CO＝13，即可得出四边形ABCD是平行四边形； （2）由平行四边形面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠ADB＝90°， ∴AO13， ∵AC＝26， ∴CO＝AO＝13， ∵OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝2OD＝10， ∴四边形ABCD的面积＝AD×BD＝12×10＝120． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理；证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键． 12．（2024秋•烟台期末）如图，在▱ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点． （1）求证：四边形MNCD是平行四边形； （2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长． 【分析】（1）由平行四边形的在得AD＝BC，AD∥BC，再证MD＝NC，即可得出结论； （2）连接ND，由平行四边形的性质得DC＝MN＝1，再证△NCD是等边三角形，得ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°，然后证∠BDC＝90°，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC． ∵M、N分别是AD、BC的中点， ∴MD＝NC． ∵MD∥NC， ∴四边形MNCD是平行四边形； （2）解：如图，连接ND， ∵四边形MNCD是平行四边形， ∴DC＝MN＝1． ∵N是BC的中点， ∴BN＝CNBC． ∵BC＝2CD， ∴CD＝CN． ∵∠C＝60°， ∴△NCD是等边三角形， ∴ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°． ∵∠DNC是△BND的外角， ∴∠NBD+∠NDB＝∠DNC， ∵DN＝CN＝BN， ∴∠DBN＝∠BDN∠DNC＝30°， ∴∠BDC＝∠CDN+∠BDN＝90°， ∴BC＝2DC＝2， ∴BD． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点13 平行四边形的判定 八大重难点题型 ▲知识点一：平行四边形的判定： 平行四边形的判定1（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形. 平行四边形的判定2： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言：∵AB = CD，AD = CB，∴四边形ABCD 是平行四边形. 平行四边形的判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言：∵∠A =∠C，∠B =∠D，∴四边形 ABCD 是平行四边形. 平行四边形的判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言：∵AO = CO，DO = BO，∴四边形ABCD 是平行四边形. 平行四边形的判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言：∵ AB∥CD，AB = CD，∴四边形ABCD 是平行四边形. ▲知识点二：三角形的中位线 ★1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ★2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. 几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且DE =BC． ★3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段. ★4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半. ★5、三角形的中线与中位线 相同点：都是与中点有关的线段. 不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 【题型一 利用定义进行平行四边形的判定】 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（　　） A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180° 2．（2024秋•招远市期末）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 3．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 　　． 4．如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形． 5．（2024春•江阳区校级期中）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：四边形AECF是平行四边形． 6．（2024•交城县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，分别连接CE，AF交对角线BD于点G，H，连接EH，FG． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）求证：四边形EHFG是平行四边形． 【题型二 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定】 1．（2024秋•临淄区期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AO＝CO，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC 2．（2024秋•莱芜区期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD＝BC，OB＝OD B．AB＝CD，AC＝BD C．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，BC∥AD 3．（2024春•禹州市期中）依据所标数据，一定为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•雁塔区校级三模）如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF且BE＝CF，求证：四边形ABED是平行四边形． 5．（2024•新城区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BD上一点，且BE＝BC，AB＝EF，∠ABD＝∠BFE，求证：四边形ABCD为平行四边形． 【题型三 利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定 1．下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．2：3：4：5 B．3：3：4：4 C．4：3：3：4 D．4：3：4：3 2．（2024秋•栖霞市期末）下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC 3．（2024春•覃塘区期中）若一个四边形的四边的长依次为a，b，c，d，且满足（a﹣c）2+（b﹣d）2＝0，则该四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 4．（2024春•南召县期末）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD． 求证：四边形DBEC是平行四边形． 5．如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形． 【题型四 利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定】 1．下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　） A．3：4：3：4 B．3：3：4：4 C．2：3：4：5 D．3：4：4：3 2．一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，我们判定其为平行四边形的依据是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 3．（2024春•丰顺县期末）要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（　　） A．OC＝5 B．OC＝3 C．CD＝3 D．CD＝9 4．如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形． 5．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于点G，交AD于点E，交BC的延长线于点F，∠DEF＝∠CFG．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【题型五 利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定】 1．（2024春•巴中期末）已知：如图，四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是：　　 ．（只需填一个你认为正确的条件即可） 2．（2024春•志丹县期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，O是BD的中点． 求证：四边形ABCD为平行四边形． 3．（2024春•柳南区校级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 4．（2024春•沿河县期中）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F是BD上的点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形． 5．（2024春•黑山县期末）如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点． （1）求证：OD＝OC． （2）求证：四边形AFBE平行四边形． 【题型六 利用三角形中位线定理求线段的长度】 1．（2024秋•岱岳区期末）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝12m，则A，B之间的距离是（　　） A．48m B．24m C．12m D．6m 2．（2025•南岗区校级开学）若三角形的三条中位线长分别为3cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 3．（2024秋•雨花区校级期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝6，BC＝9，则EF的长为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 4．（2024•亭湖区校级模拟）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AD平分∠BAC，且AD⊥CD于点D．若AB＝6，AC＝3，则DE的长为 　 ． 5．（2024春•分宜县期末）如图，在边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG． （1）求EF的长． （2）求DG的长． 【题型七 利用三角形中位线定理证明】 1．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 2．（2024春•新邵县期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线AC的中点，E，F是AD，BC的中点，∠PFE＝∠PEF，求证：AB＝DC． 3．（2024•濉溪县校级开学）已知，如图△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E为AD的中点，CE延长线交AB于点F．求证：AFFB． 4．（2024秋•沂源县期末）如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O． （1）求证：OEEC； （2）若OD＝2，求AB的长． 5．（2024秋•昌平区期末）已知：△ABC中，AB＝BC＝6，D为AC中点．过点D作DE∥BC，交AB于点E，在DE的延长线上有一点F，连接AF，满足AF＝AD． （1）求证：BE＝DE． （2）若AC＝6，试判断△AEF的形状，并证明． 【题型八 平行四边形性质与判定的综合运用】 1．（2024春•泰来县校级期末）如图，AB∥CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，关于下列结论：①DE∥BF；②∠DAC＝∠ACB；③点B到AC的距离是线段BF的长度；④∠DAC+∠ACD＝∠ADC；⑤如果∠BAD＝∠BCD，那么AD∥BC．其中结论正确的序号为（　　） A． ①②③ B．①③⑤ C．①③④ D．②④⑤ B． 2．（2025•夏县一模）在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E为线段BO的中点，连接CE，过点B作BF∥CA交CE的延长线于点F，连接AF，OF，若OF＝CD，则线段AC和BD一定满足的关系是（　　） A．互相垂直且相等 B．互相平分且相等 C．互相垂直平分 D．互相垂直平分且相等 3．（2024秋•新泰市期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH． （1）求证：四边形AFHD为平行四边形； （2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数． 4．（2024秋•宁阳县期末）如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．求线段EF的长． 5．（2024春•丛台区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE． （1）求证：四边形AEBD是平行四边形； （2）若DE⊥DC，DC＝10，BE＝13，求线段DE的长． 6．（2024•工业园区校级模拟）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O、E是BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若EF平分∠AEC，求证AB⊥AC． 1．（2024春•江阳区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（　　） A．AB＝DC B．∠1＝∠2 C．AD＝BC D．∠D+∠BCD＝180° 2．（2024•石家庄开学）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 3．（2024秋•沙坪坝区校级期末）在四边形ABCD中，AB∥CD，以下条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．AD＝BC D．AB＝CD 4．（2024•五华区校级模拟）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2024春•临漳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且AF＝CE，连接FD，ED，DF∥AC，那么四边形AFDE的周长是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 6．（2024春•西平县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，再添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形． 　 ．　 7．（2024秋•河口区期末）在平面直角坐标系中，有四个点O（0，0），A（4，0），B（1，3），C（x，3），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　 　． 8．（2024春•梁平区期末）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　 　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 9．（2024春•舒城县校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．求证：四边形ABEO是平行四边形． 10．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论． 11．（2024•天河区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26， （1）求证；四边形ABCD为平行四边形； （2）求四边形ABCD的面积． 12．（2024秋•烟台期末）如图，在▱ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点． （1）求证：四边形MNCD是平行四边形； （2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$