平行四边形及特殊四边形的性质和判定证明 复习讲义2024－2025学年人教版数学八年级下册

平行四边形及特殊四边形的性质和判定证明 一、平行四边形 名称 性质 判定 平行四边形D C B A 1、对边平行且相等。 2、对角相等。 3、对角线互相平分。 4、是中心对称图形。 5、S=底×高 推论：三角形的中位线平行于三角形的第三边.并且等于第三边的一半。 1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（定义） 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 5、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。 例1：如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90° (1)求证：四边形ABDF是矩形；(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S． 变式1:在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE． (1)求证：；(2)求证：四边形BCDE是平行四边形． 2、 平行四边形 名称 性质 判定 矩形D C B A 矩形除了具有平行四边形的所有性质外.还有以下性质： 1、四个角都是直角。 2、对角线相等。 3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。 4、S=底×高 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。（定义） 2、对角线相等的平行四边形是矩形。 3、有三个角是直角的四边形是矩形。 例2：如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形；(2)若，求的长． 变式2：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．    3、 菱形 名称 性质 判定 菱形D C B A 菱形除了具有平行四边形的所有质外.还有以下性质： 1、四条边都相等。 2、两条对角线互相垂直。并且每一条对角线平分一组对角。 3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。 4、S=底×高=对角线乘积的一半 1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（定义） 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3、四条边相等的四边形是菱形。 例3：如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长． 变式3：如图，在平行四边形中，，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于 点E，连接． (1)求证：四边形是菱形；(2)若，求四边形的面积． 4、 正方形 名称 性质 判定 正方形A B C D 除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外.还有以下性质： 1、对角线和边的夹角是45º。 2、S=边长×边长 1、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义） 2、一组邻边相等的矩形是正方形。 3、有一个角是直角的菱形是正方形。 4、对角线相垂直的矩形是正方形。 5、对角线相等的菱形是正方形。 例4：如图，在中，，的平分线交于点D，，． (1)求证：四边形为正方形；(2)若，求四边形的面积． 变式4：如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且， (1)求证：四边形是正方形；(2)若，，求四边形的周长． 平行四边形的性质和判定综合应用 1．如图，在中，交于点，点在上，．  (1)求证：四边形是平行四边形；(2)若求证：四边形是菱形． 2．如图，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．连结CD、EF，那么CD与EF相等吗？请证明你的结论． 4．如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②．   (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． (1)求证：≌；(2)判定四边形AODF的形状并说明理由． 6．如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． (1)求证：D是的中点；(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 7．如图，在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，且，求四边形的面积． 8．如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$