备战2025年中考——反比函数+二次函数（综合压轴题分类专题）（4）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

备战2025中考——反比函数+二次函数（综合压轴题分类专题）（4） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】反比例函数 【考点1】反比例函数值及参数...................................................1 【考点2】反比例函数图象的对称性...............................................3 【考点3】反比例函数性质.......................................................5 【考点4】反比例函数k值几何意义...............................................7 【考点5】反比例函数与一次函数综合（1）.......................................10 【考点6】反比例函数与一次函数综合（2）.......................................14 【考点7】反比例函数与几何综合................................................17 【知识点2】二次函数 【考点8】二次函数图象与系数关系..............................................22 【考点9】二次函数的对称性....................................................28 【考点10】二次函数的最值.....................................................30 【考点11】二次函数的解析式...................................................32 【考点12】二次函数的平移.....................................................34 【考点13】二次函数与实际应用.................................................36 【考点14】一次函数与几何综合.................................................39 篇二：压轴部分 【考点15】一次函数和反比例函数综合压轴题.....................................42 【考点16】反比例函数几何综合压轴题...........................................46 【考点17】二次函数图象与性质压轴题...........................................52 【考点18】二次函数几何综合压轴题.............................................55 篇一：综合部分 【知识点1】反比例函数 【考点1】反比例函数值及参数 1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 解：当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．将根据题意可得：，求出，即可求． 解：，是反比例函数的图象上两点， 或 解得：或或， ， ， ， 故选：C． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数，当时，则y的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数函数值的范围，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解；根据反比例函数的图象和性质求解即可． 解：， 或， 当时，该函数图象位于第一象限，y随x的增大而减小， ，即； 当时，该函数图象位于第三象限，y随x的增大而减小， ，即； 或， 故答案为：或． 【考点2】反比例函数图象的对称性 1．（2021·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是 ． 【答案】0 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像关于原点对称，则交点也关于原点对称，即可求得 解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 一次函数与反比例函数的图象关于原点对称， 故答案为：0 【点拨】本题考查了正比例函数和反比例函数图像的性质，掌握以上性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题侧重考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的图象和性质，掌握其性质是解决此题的关键． 已知两函数的图象分别关于坐标原点对称，则点A与点B的坐标关于原点对称． 解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点A与点B的坐标关于原点对称， ∵点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：A． 3．（2024·北京·模拟预测）直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与与的关系是解答本题的关键． 先根据点是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点两点可得，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 解：∵点是双曲线上的点， ， ∵直线与双曲线交于点两点， 即两点关于原点对称． ， ， 故答案为：10． 【考点3】反比例函数性质 1．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 解：∵直线与双曲线交于两点， ∴点与点关于原点对称，故正确； ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故正确； ∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小， 当在同一象限内时，如果，那么；当不在同一象限内时，如果，那么，故错误； ∵轴， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵点是的中点， ∴，故正确； ∴正确结论有个， 故选：． 2．（24-25九年级下·重庆渝中·阶段练习）如果四个点，，和在反比例函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，先根据点的坐标求出反比例函数的解析式，进而由得反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，的值随的增大而增大，且时，时，据此解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数为， ∵， ∴反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，的值随的增大而增大，且时，时， ∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）考察函数的图象，当时，y的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数性质解答即可．熟练掌握以上知识点是关键． 解：当时，，如图 由图可知当时，或， 故答案为：或． 【考点4】反比例函数k值几何意义 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 2．（2025·安徽六安·一模）如图，直线交反比例函数（）的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 根据题意得到，，继而得到，求出，得到，即可得到答案． 解：如图，连接，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 轴于点 ， ， 点在反比例函数， ， ∴． 故选D． 3．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，A是反比例函数（）的图象上一点，过点A作轴于点B，P是y轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，连接，由反比例系数的几何意义得，由同底等高的三角形面积相等即可求解；理解反比例系数的几何意义是解题的关键． 解：连接， 轴， 轴， ， ， 故答案为：． 【考点5】反比例函数与一次函数综合（1） 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东泰安·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．由于本题不确定的符号，所以应分和两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 解：当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，如图所示： ，与C选项符合； 当时，一次函数经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限．如图所示： 没有选项与之符合． 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，先画出函数图象，结合图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：函数的图象如图所示： 故直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是或， 故答案为：或． 【考点6】反比例函数与一次函数综合（2） 1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答． 解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴ 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数在第四象限交于点C，若，则k的值是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，本题的突破点是求出点C的坐标．过点C作轴，垂足为H，证明，再求出点C坐标即可解决问题． 解：如图，过点C作轴，垂足为H， ∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴将代入，得， 将代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵点C在第一象限， ∴， ∵点C在上， ∴． 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再画出两个函数的图象，然后根据正比例函数和反比例函数的图象与性质可得两个函数图象的另一个交点的坐标为，据此结合函数图象即可得出答案．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解：将点代入反比例函数得：， 则反比例函数的解析式为， 画出两个函数的图象如下： 由函数图象的对称性得：正比例函数和反比例函数的图象的另一个交点的坐标为， ∴结合函数图象得：若，则的取值范围是或 故答案为：或 【考点7】反比例函数与几何综合 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键． 过点E作，则，设，由，可得，再由，列方程，即可得出k的值． 解：过点E作，则， ∴， ∴ 设， ∵ ∴， ∴ ∴ 即，解得： 故选D 2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，四边形是平行四边形，点B在x轴上，的延长线与y轴交于点D，反比例函数的图象经过点，且与边交于点E．若，且，则点E的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，再根据四边形是平行四边形求得，然后根据可得，即；进一步得到反比例函数为、直线解析式为，再将代入求得满足题意的x，然后将代入即可得出答案． 解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∴反比例函数为， 设直线解析式为， 把，代入可得： ，解得：， ∴直线解析式为， 将代入可得：，解得：， ∵点E在第一象限， ∴， 把代入， 解得：， 则点E的纵坐标为∶ 故选∶A． 【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合、平行四边形的性质等知识点，正确求得反比例函数和直线解析式是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，直线解析式为，双曲线经过矩形顶点和矩形对角线的交点，则的值为 【答案】 【分析】过点作轴于点F，先求出，，设点的坐标为，根据中点坐标公式求出点坐标为，根据点在反比例函数的图象上，得出，求出，，得出，证明，得出，求出即可． 解：过点作轴于点，如图所示： 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴， 设点的坐标为， ∵点为矩形的对角线和的交点， ∴为的中点， ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ， 整理得：， ∴， 在矩形中，， 又∵ ， ， ∴， ， ， 解得：， 经检验是原方程的根， 故答案为：． 【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握相关的性质，作出辅助线，构造相似三角形． 【知识点2】二次函数 【考点8】二次函数图象与系数关系 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解． 解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时， 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即故④不正确 正确的有②③ 故选：B 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表，则下列结论正确的是（   ）． x … 0 3 y … 3 3 A．当时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上 C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据对称性确定二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 解：由表格可知：和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， 由表格可知：当时，随着的增大而增大，y随x的减小而减小，时，随着的增大而减小， ∴抛物线的开口向下， ∵函数图象过点和，且函数图象的开口向下， ∴抛物线的开口方向向下，顶点在第二象限，且与轴交于正半轴，与轴的两个交点分别在的正半轴和负半轴上， ∴函数图象过一，二，三，四象限， ∵抛物线的对称轴为直线； ∴抛物线的顶点的横坐标为，不是， 综上：只有选项A正确，符合题意； 故选A． 3．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 解： ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线（为常数）经过点，且满足．下列四个结论： ①； ②； ③抛物线上的两点，当时，则； ④关于的方程无实数根． 其中一定正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，增减性，二次函数与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据，得抛物线与轴的交点在轴的正半轴，进而根据对称轴直线为，且，得二次函数图象开口向下，即，可判定①；根据二次函数对称轴直线的计算方法，图象过点的知识结合可判定②；先求出关于的对称点为，根据，得，即可求出判定③；根据直线与轴交于点，交轴于点，在左侧，在上方，得直线与抛物线没有交点，可判定④；由此即可求解． 解：∵二次函数图象过两点， ∴对称轴直线为， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴抛物线（，，是常数）开口向下，， ∵ ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴对称轴直线为， ∴， ∵抛物线（为常数）经过点， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线上的两点，，对称轴直线为， ∴关于的对称点为， ∵， ∴ ∴， ∴，故③错误； ∵ ∴直线与轴交于点，交轴于点， ∵在左侧，在上方， ∴直线与抛物线没有交点， ∴关于的方程无实数根，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是 （填写正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线与轴的交点，熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的，是解题的关键．由二次函数图象的对称轴而可判断①；由时，，结合，即可判断②；判断直线过，两点，根据图象即可判断③；由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离即可判断④． 解：对称轴为直线， ， ， ，故①正确； 时，， ， ， ， ，故②错误； ，， ， ， 直线与轴的交点为， 直线过，两点， 观察图象，若，则，故③正确； 由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 抛物线开口向下， ．故④正确； 故答案为：①③④． 【考点9】二次函数的对称性 1．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解． 解：∵抛物线的对称轴为直线 ∵抛物线经过两点 ∴， 即， ∴， ∵抛物线与轴有交点， ∴， 即， 即，即， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点，都在轴上，平行于轴的直线与两条抛物线相交于，，，四点，若，，，则的长度为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中点坐标公式，熟练掌握中点公式是解题的关键．设的长度为，则，，，，求出，，即可得到答案． 解：设平行于轴的直线与轴交于点． 设的长度为，则，，，． 由中点公式可得，． ． 故选：D． 【考点10】二次函数的最值 1．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 2．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . .故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， .故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有： ， ∴，故③正确； ， . 当时，， . ，即， 故④正确. 综上所述，正确的有③④. 故选：B. 【点拨】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点. 3．（2023·山东淄博·中考真题）如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是 ．    【答案】3 【分析】设，则，将三角形面积用代数式的形式表示出来，然后根据二次函数的最值，即可求解． 解：依题意，设，则， 则 ∴ ∵，二次函数图象开口向下，有最大值， ∴当时面积的最大值是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，反比例数与一次函数的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【考点11】二次函数的解析式 1．（2023·江苏泰州·中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（    ） x 1 2 4 y 4 2 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断． 解：A、若直线过点， 则，解得， 所以， 当时，，故不在直线上，故A不合题意； B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意； C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得 ，解得，符合题意； D、由C可知，不合题意． 故选：C． 【点拨】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 【考点12】二次函数的平移 1．（2023·四川南充·中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论． 解：∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到 ∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上 ∴点在抛物线上 故选：D 【点拨】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 【考点13】二次函数与实际应用 1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论． 解：， ， ， ， 故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6， 故选：A． 【点拨】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    【答案】450 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 【考点14】一次函数与几何综合 1．（2022·四川自贡·中考真题）已知A（−3，−2） ，B（1，−2），抛物线y=ax2+bx+c（a>0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论： ①c≥−2 ； ②当x>0时，一定有y随x的增大而增大； ③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3； ④当四边形ABCD为平行四边形时，a=． 其中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④． 解：∵点A，B的坐标分别为（-3，-2）和（1，-2）， ∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，-2）， 又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c） ， ∴C≥-2，（顶点在y轴上时取“=”），故①正确； ∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上， ∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误； 若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3， 根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确； 令y=0，则ax2+bx+c=0， 设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=， ∴CD2=（ x1-x2） 2=（ x1+x2） 2-4x1x2， 根据顶点坐标公式，， ∴，即， ∵四边形ACDB为平行四边形， ∴CD=AB=1-（-3）=4， ∴=42=16，解得a=，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：D． ．   【点拨】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况． 2．（2021·山东淄博·中考真题）已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由题意易得点的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然后问题可求解． 解：假设点A在点B的左侧， ∵二次函数的图象交轴于两点， ∴令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∵图象上有且只有三点满足， ∴点的纵坐标的绝对值相等，如图所示： ∵， ∴点， ∴； 故选C． 【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（2023·广东广州·中考真题）如图，在中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，当时，的长是 ．若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，当时，四边形面积S的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据三角形中位线定理可得，设，从而，由此得到四边形是平行四边形，结合边上的高为，即可得到函数解析式，进而得到答案． 解：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴； 如图，设，    由题意得，，且， ∴， 又F、G分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 由题意得，与的距离是， ∴， ∴边上的高为， ∴四边形面积， ∵， ∴， 故答案为：，． 【点拨】此题主要考查了三角形的中位线定理，二次函数的性质，求函数解析式，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 篇二：压轴部分 【考点15】一次函数和反比例函数综合压轴题 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． （1）已知点，在，，中，是点等和点的有_____； （2）若点的等和点在直线上，求的值； （3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 【答案】（1）和；（2）；（3）或． 【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解； （）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解； （）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解； 本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键． 解：（1）解：由，得，， ∴点是点的等和点； 由，得，，， ∵， ∴不是点的等和点； 由，得，， ∴是点的等和点； 故答案为：和； （2）解：设点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴； （3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵点在直线上， ∴， 整理得，， 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴点的坐标为或．    2．（2025·湖南长沙·一模）为全面贯彻落实“双减”政策，减轻学生负担，提高学生思维能力，数学学科命名一种“双减点”，定义如下：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点P为函数图象上的“双减点”． （1）判断直线上是否有“双减点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由． （2）若反比例函数的图象上存在两个“双减点”C、D，且，请求出k的值． （3）已知抛物线上存在唯一的“双减点”，且当时，n的最小值为t，求t值． 【答案】（1）有，“双减点”；（2）；（3）或 【分析】本题为函数综合题，考查了二次函数的性质，反比例函数与一次函数，利用二次函数的性质分类讨论是解题的关键． （1）利用“双减点”的概念，代入，解方程即可； （2）由题意得“双减点”P在直线上，设点C、D坐标分别为，，列方程，用根与系数的关系即可解答； （3）列方程，根据根的判别式，可得之间的关系，即可解答． 解：（1）解：令， 解得， ， 存在“双减点”； （2）解：“双减点”P在直线上， 设点C、D坐标分别为，， 令化简得， ，且直线与轴的夹角为， ， 由根与系数的关系可得，， ， ， 解得：，此时的， ； （3）解：令，由于“双减点”唯一， 此方程，， 即，n为m的二次函数 当时，n的最小值为t， 若，则，此时t无解； 若，则，解得：， 若，则，解得：，（不合题意舍去）， 综上，或. 【考点16】反比例函数几何综合压轴题 1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．  （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________； （2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________． （3）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），；（2），，或；（3）是直角三角形，理由见分析 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可； （2）把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围； （3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出，，，即可判断的形状． 解：（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形“梦之点”满足，， ∴点，是矩形“梦之点”，点不是矩形“梦之点”， 故答案为：，； （2）∵点是反比例函数图象上的一个“梦之点”， ∴把代入得， ∴， ∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等， ∴“梦之点”都在直线上， 联立，解得或， ∴， ∴直线的解析式是， 函数图象如图：    由图可得，当时，x的取值范围是或； 故答案为：，，或； （3）是直角三角形，理由如下： ∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴联立，解得或， ∴，， ∵ ∴顶点， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 【点拨】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键． 2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，、、或 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论； （2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解； （3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解． 解：（1）解：点的坐标为在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的坐标为也在上， ， 的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上， 代入可得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，可得，解得 ， ， 的坐标为，的坐标为， ； （3）解：①若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为； ②当时，如图， 设点， ，， 是直角三角形， ， 即， 解得， 点的坐标为． ③当时，如图， 当点在轴上时，设点， ，， 是直角三角形， ， ， 解得， 点的坐标为． ④若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为． 综上可得点的坐标为、、或． 【考点17】二次函数图象与性质压轴题 1．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数（a为常数，． （1）若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． （2）若，求证：当时，． （3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）证明即可解决问题． （2）将代入函数解析式，进行证明即可． （3）先求得对称轴为直线，顶点坐标为，再对和进行分类讨论即可． 解：（1）证明：因为， 又因为， 所以，， 所以， 所以该函数的图象与轴有两个公共点． （2）证明：将代入函数解析式得， ， 所以抛物线的对称轴为直线，开口向下． 则当时， 随的增大而增大， 又因为当时，， 所以． （3）对称轴为直线，顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方，时，，时，， 即，解得： ②当时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴上方，时，，时 即，解得， 综上，当或时，二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点）， 故答案为：或． 2．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）已知二次函数（为常数） （1）若该函数的图象经过点，则：当时，求的取值范围． （2）当时，的最小值为，求的值． （3）当时（其中为实数，，的取值范围为．直接写出的值或取值范围． 【答案】（1）或；（2）或；（3）， 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数与不等式等知识点，借助函数图像、灵活利用数形结合的思想是解题的关键． （1）①将点代入函数解析式中可求得b的值；再根据二次函数的性质确定的自变量的范围即可求解； （2）先把抛物线化为顶点式，由时，y的最小值为，可分两种情况讨论：①当时，y在处取得最小值，；②当时，y在顶点处取得最小值，求y的最小值即可求解． （2）依据题意可得抛物线上横坐标为、的两点关于对称轴对称，从而求出b值，进而得到二次函数的解析式，再根据自变量的取值范围是，可求出n值，最后根据抛物线的顶点求出m的范围即可解答； 解：（1）解：二次函数（b为常数）经过点， ∴，解得：， ∴， 当时，则，解得：或， 当时，则，解得：， ∵， ∴当时，x的取值范围有两部分， ∴或． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ①当时，y在处取得最小值，即，解得：； ②当时，y在顶点处取得最小值，即，解得：， ∵， ∴； ③时，即， 当，时，（不合题意舍去）． 综上所述，或． （3）解：由题意得x的取值只有一段，可知抛物线上横坐标为，的两点关于对称轴对称， ∴，即， ∴， ∴时，y有最小值， ∴， 当或时，，即． 综上，，． 【考点18】二次函数几何综合压轴题 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接． （1）求抛物线的解析式及的面积； （2）当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； （3）试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 【答案】（1），的面积为12；（2）当点F运动至对称轴上时，的面积为3；（3）的值是定值，定值为 【分析】（1）运用待定系数法可得．设点到的距离为，点的纵坐标为，根据三角形面积公式即可求得； （2）当点运动至对称轴上时，点的横坐标为3，可得．连接、，由点与点关于原点对称，可得点、、三点共线，且为的中点．推出，可得点到的距离为．再根据三角形面积公式即可求得答案； （3）过点作于点，过点作于点．运用勾股定理可得．再证得为等腰直角三角形．设，则，再运用解直角三角形可求得，，即可求得答案． 解：（1）解：设抛物线解析式为， 将，代入上式，得， 整理得， 解得， ， 设点O到的距离为d，点A的纵坐标为，则，， ∴的面积； （2）解：由（1）得抛物线的对称轴为， 当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3， ， 即， 连接，， ∵，， ∴A与点C关于原点O对称， ∴点A，O，C三点共线，且O为的中点， ， ， . 平分， ， ， ∴， 与间的距离为d， ∴点H到的距离为d， ，， ， ∴当点F运动至对称轴上时，的面积为3； （3）解：过点A作于点L，过点F作于点K， 由题意得，， ， ， ∴在中，， . ， ，即为等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， 在和中，， 即， ， 解得， ， 又， 即， ，解得， ， 的值是定值，定值为. 【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的面积计算，解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 【答案】（1）；（2）①；②线段的最小值为 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）①在中，令得出，在中，令得出，从而得出，即，待定系数法求得直线的解析式为，联立，得出 ，作轴于，则，，，求出，，由正切的定义得出，证明，得出，求出直线的解析式为，联立，计算即可得解；②设，，设直线的解析式为：，求出直线的解析式为，直线的解析式为；联立得：，由韦达定理得出，将代入，得，求出，同理可得，联立，得出，推出点在直线上运动，求出，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，由轴对称的性质可得，则，由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，再由勾股定理计算即可得出答案． 解：（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵抛物线与轴相交于，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：①在中，令，，解得，即， 在中，令，则，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 如图，作轴于，则，，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∵点在第三象限， ∴； ②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点． ∴设，，设直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为； 联立得：， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 联立， 得出， ∴点在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则， ， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为， ∵， ∴线段的最小值为． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、轴对称—线段最短问题、勾股定理、二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键，此题难度较大，属于中考压轴题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025中考——反比函数+二次函数（综合压轴题分类专题）（4） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】反比例函数 【考点1】反比例函数值及参数...................................................1 【考点2】反比例函数图象的对称性...............................................2 【考点3】反比例函数性质.......................................................2 【考点4】反比例函数k值几何意义...............................................3 【考点5】反比例函数与一次函数综合（1）........................................4 【考点6】反比例函数与一次函数综合（2）........................................5 【考点7】反比例函数与几何综合.................................................6 【知识点2】二次函数 【考点8】二次函数图象与系数关系...............................................6 【考点9】二次函数的对称性.....................................................8 【考点10】二次函数的最值......................................................9 【考点11】二次函数的解析式....................................................9 【考点12】二次函数的平移.....................................................10 【考点13】二次函数与实际应用.................................................10 【考点14】一次函数与几何综合.................................................11 篇二：压轴部分 【考点15】一次函数和反比例函数综合压轴题.....................................12 【考点16】反比例函数几何综合压轴题...........................................13 【考点17】二次函数图象与性质压轴题...........................................14 【考点18】二次函数几何综合压轴题.............................................14 篇一：综合部分 【知识点1】反比例函数 【考点1】反比例函数值及参数 1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数，当时，则y的取值范围是 ． 【考点2】反比例函数图象的对称性 1．（2021·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是 ． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·模拟预测）直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【考点3】反比例函数性质 1．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·重庆渝中·阶段练习）如果四个点，，和在反比例函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）考察函数的图象，当时，y的取值范围是 ． 【考点4】反比例函数k值几何意义 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·安徽六安·一模）如图，直线交反比例函数（）的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，A是反比例函数（）的图象上一点，过点A作轴于点B，P是y轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 【考点5】反比例函数与一次函数综合（1） 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 2．（24-25九年级上·山东泰安·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是 ． 【考点6】反比例函数与一次函数综合（2） 1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数在第四象限交于点C，若，则k的值是（    ） A．4 B． C．8 D． 3．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点，若，则的取值范围是 ． 【考点7】反比例函数与几何综合 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，四边形是平行四边形，点B在x轴上，的延长线与y轴交于点D，反比例函数的图象经过点，且与边交于点E．若，且，则点E的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，直线解析式为，双曲线经过矩形顶点和矩形对角线的交点，则的值为 【知识点2】二次函数 【考点8】二次函数图象与系数关系 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表，则下列结论正确的是（   ）． x … 0 3 y … 3 3 A．当时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上 C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是 3．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 15．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线（为常数）经过点，且满足．下列四个结论： ①； ②； ③抛物线上的两点，当时，则； ④关于的方程无实数根． 其中一定正确的是 ．（填写序号） 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是 （填写正确结论的序号） 【考点9】二次函数的对称性 1．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 2．（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点，都在轴上，平行于轴的直线与两条抛物线相交于，，，四点，若，，，则的长度为（   ） A．4 B． C．3 D． 【考点10】二次函数的最值 1．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023·山东淄博·中考真题）如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是 ．    【考点11】二次函数的解析式 1． （2023·江苏泰州·中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（    ） x 1 2 4 y 4 2 1 A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【考点12】二次函数的平移 1．（2023·四川南充·中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 3．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【考点13】二次函数与实际应用 1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    【考点14】一次函数与几何综合 1．（2022·四川自贡·中考真题）已知A（−3，−2） ，B（1，−2），抛物线y=ax2+bx+c（a>0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论： ①c≥−2 ； ②当x>0时，一定有y随x的增大而增大； ③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3； ④当四边形ABCD为平行四边形时，a=． 其中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 2．（2021·山东淄博·中考真题）已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2023·广东广州·中考真题）如图，在中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，当时，的长是 ．若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，当时，四边形面积S的取值范围是 ．    篇二：压轴部分 【考点15】一次函数和反比例函数综合压轴题 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． （1）已知点，在，，中，是点等和点的有_____； （2）若点的等和点在直线上，求的值； （3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 2．（2025·湖南长沙·一模）为全面贯彻落实“双减”政策，减轻学生负担，提高学生思维能力，数学学科命名一种“双减点”，定义如下：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点P为函数图象上的“双减点”． （1）判断直线上是否有“双减点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由． （2）若反比例函数的图象上存在两个“双减点”C、D，且，请求出k的值． （3）已知抛物线上存在唯一的“双减点”，且当时，n的最小值为t，求t值． 【考点16】反比例函数几何综合压轴题 1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．  （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________； （2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________． （3）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【考点17】二次函数图象与性质压轴题 1．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数（a为常数，． （1）若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． （2）若，求证：当时，． （3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 2．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）已知二次函数（为常数） （1）若该函数的图象经过点，则：当时，求的取值范围． （2）当时，的最小值为，求的值． （3）当时（其中为实数，，的取值范围为．直接写出的值或取值范围． 【考点18】二次函数几何综合压轴题 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接． （1）求抛物线的解析式及的面积； （2）当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； （3）试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$