第十七章 勾股定理（培优拓展）-2024-2025学年人教版八年级数学下册

八年级数学下册新课标测试 第七章 勾股定理(培优拓展) 题号 一 二 三 总分 得分 测试时间:90分钟 满分:120分 姓名:_ 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.每小题的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1.(2024贵州毕节期末,2, )在 ABC中,∠C=90 ,AC=8,AB=10,则BC的长为 ( ) A.6 B. C.24 D.2 2.(2024黑龙江哈尔滨期末,8, )下列命题的逆命题成立的是 ( ) A.如果两个角是直角,那么它们相等 B.如果两个实数相等,那么它们的平方相等 C.全等三角形的对应角相等 D.同旁内角互补,两直线平行 3.(2024陕西西安期中,7, )某公园一段索道的示意图如图所示,已知A、B分别为索道的起点和终点,且A、B两点间的距离AB为40米,BC⊥AC于点C,∠BAC=30 ,则A、B两点之间的水平距离(AC的长)为 ( ) A.20米 B.20米 C.20米 D.30米 第3题图 第4题图 第5题图 4.【新考向 尺规作图】(2024广东深圳二中期中,5, )如图,数轴上点O、A、B表示的数分别是0、1、2,过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交PQ于点C,以点O为圆心,OC长为半径画弧,交数轴于点M,当点M在点B的右侧时,点M表示的数是 ( ) A. B.+1 C.2+ D. 5.(2024湖南邵阳模拟,9, )正方形网格如图所示,点A,B,C,P是网格线交点,且点P在 ABC的边AC上,则∠PAB+∠PBA= ( ) A.90 B.60 C.45 D.30 6.(2024山东临沂期末,6, )将含30 角的三角尺、量角器和直尺按如图所示的方式摆放,三角尺的斜边BC垂直于量角器的半径OC,垂足为点C,点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、19对应,则三角尺直角边AC的长为 ( ) 第6题图 A. 5 cm B. 6 cm C.53 cm D. 63 cm 7.(2024山东聊城期末,7, )如图,有一只摆钟,摆锤看作一个点,当摆锤静止时,它离底座的垂直高度DE=6cm,当摆锤摆动到最高位置时,它离底座的垂直高度BF=8cm,此时摆锤与静止位置时的水平距离BC=10cm,则钟摆AD的长度是 ( ) A. 17 cm B. 24 cm C. 26 cm D. 28 cm 第7题图 第8题图 8.【教材变式 例2】( )如图,某施工工地有一架梯子AB斜靠在一竖直的墙上,已知长为2.4m,由于施工需要,将梯子的顶端A下移0.4m到达点C处,同时梯子的底端B向外移动0.8m到达点D处,则梯子的长度为 ( ) A. 2.5m B.2.6m C.2.8m D.3m 9.( )《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读k n,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意如下:如图①②(图②为图①的平面示意图),推开双门,双门间隙CD为2寸,点C和点D离门槛AB的距离都为1尺(1尺=10寸),则AB的长是 ( ) A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 第9题图 第10题图 10. 我们知道,已知两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.例如,已知 ABC中,∠A=30 ,AC=3,∠A所对的边长为3,满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中一个 ABC是直角三角形,如图),则满足已知条件的三角形的第三边长为 ( ) A.2 B.2-3 C.2或2-3 D.2或 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 11.(2024山东临沂沂水月考,14, )已知 ,b,c是 ABC的三边长,且满足+|a-b|=0,则 ABC的形状为_。 12.( )若正整数a,n满足a2+n2=(n+1)2,则称a,n,n+1这样的三个整数为一组“完美勾股数”.请你写出一组“完美勾股数”:_。 13.(2024北京景山学校月考,13, )如图,小明将一张长为20cm,宽为15cm的长方形纸片(AE>DE)剪去了一角,测得AB=3cm,CD=4cm,则BC的长为_。 第13题图 第14题图 第16题图 14. 如图,以 ABC的三边为边向外作正方形,正方形ACDE的面积为9,正方形BKIC的面积为16,正方形AFGB的面积为25,过点C作CM⊥FG于点M,交AB于点H,连接CG交AB于点N,则CG的长为_。 15.(2024河北石家庄二中期中,15, )已知实数 ,b为 ABC的两边长,且满足+b2-4b+4=0,若第三边长c为5,则第三边上的高为_. 16.【跨物理 光的反射】( )一束光线从y轴上一点A(0,1)出发,经过x轴上点C,然后反射经过点B(-3,3),则光线从点A到点B经过的路线长是_。 17.(2024陕西中考,13, )如图,在 ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为_。 第17题图 18.(2023江西南昌模拟,12, )已知Rt ABC中,AC=4,BC=3,∠ACB=90 ,以AC为一边在Rt ABC外部作等腰直角三角形ACD,连接BD,则线段BD的长为_。 三、解答题(本大题共6小题,共66分)含评分细则 19.(2024山东济南历城二中月考,20, )(10分)一艘轮船从A港沿南偏西48 方向航行100 n mile到达B岛,再从B岛沿BM方向航行125 n mile到达C岛,A港到航线BC的距离是60 n mile. (1)若轮船速度为 25 n mile/h,求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间. (2)C岛在A港的什么方向? 第19题图 20.(2023江苏盐城期中,25, )(10分)如图,在 ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,AC及BC的延长线于点D,E,F,连接AF,已知CB2 =AE2-CE2. (1)求证:∠ACB=90 . (2)若AC=12,BC=9,求CE的长. 第20题图 21.(2024河北石家庄期末,21, )(10分)材料阅读:给定三个正整数a、b、c,若它们满足a2+b2=c2,则称a、b、c这三个数为勾股数.例如: ①32=9,42=16,52=25,∵9+16=25,即32+42=52,∴3、4、5这三个数为勾股数. ②52=25,122=144,132=169,∵25+144=169,即52+122=132,∴5、12、13这三个数为勾股数. 如图,若三角形的三条边长a、b、c满足a2+b2=c2,则这个三角形为直角三角形,且a、b为两条直角边长. 根据以上信息,解答下列问题: (1)试判断8、15、17是不是勾股数. (2)若某三角形的三边长分别为7、24、25,求其面积. (3)已知某直角三角形的两边长分别为6和8,求其周长. 第21题图 22.【情境题 中华优秀传统文化】( )(10分)明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一,其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯(如图①),其示意图如图②,已知AB=AC=180cm,AD=160cm,AC与AB的张角∠BAC记为 ,为保证采桑人的安全, 可调整的范围是30 ≤ ≤60 ,BC为固定张角 大小的锁链. (1)求锁链BC长度的最大值. (2)若 =60 ,将桑梯放置在水平地面上,求此时桑梯顶端D到地面的距离.(结果保留根号) 第22题图 23.【情境题 数学文化】(2024北京朝阳期末,23, )(12分)《九章算术》中记载:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?大意如下:如图,水池底面的宽AB=1丈,芦苇OC生长在AB的中点O处,高出水面的部分CD=1尺.将芦苇向池岸牵引,尖端到达岸边时恰好与水面平齐,即OC=OE,求水池的深度和芦苇的长度.(1丈等于10尺) (1)求水池的深度OD. (2)我国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时,更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为:若已知水池宽AB=2a,芦苇高出水面的部分CD=n(n<a),则水池的深度OD(OD=b)可以通过公式计算得到,请证明刘徽解法的正确性。 第23题图 24.(2022重庆模拟,22, )(14分)如图, ABC中,∠ACB=90 ,AB=10cm,BC=6cm,若点P从点A出发,以每秒4cm的速度沿折线A C B A运动,设运动时间为t秒(t>0). (1)若点P在AC上,且满足PA=PB,求t的值. (2)若点P恰好在∠BAC的平分线上,求t的值. (3)在运动过程中,当 BCP为等腰三角形时,请直接写出t的值. 第24题图 【参考答案及解析】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B D C B C A C D 1.A ∵∠C=90 ,AC=8,AB=10, ∴由勾股定理得故选A. 2.D 如果两个角是直角,那么它们相等,逆命题是如果两个角相等,那么这两个角是直角,不成立,故选项A不符合题意;如果两个实数相等,那么它们的平方相等,逆命题是如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等,不成立,故选项B不符合题意;全等三角形的对应角相等,逆命题是三个角分别相等的三角形全等,不成立,故选项C不符合题意;同旁内角互补,两直线平行,逆命题是两直线平行,同旁内角互补,成立,故选项D符合题意.故选D. 3.B ∵BC⊥AC,∴∠ACB=90 , ∵AB=40米,∠BAC=30 ,∴BC=AB= 40=20(米), ∴(米),故选B. 4.D 连接OC(图略),由题意可知OB=2,BC=1,根据勾股定 理得,∴OM=OC=.故选D. 5.C 设小正方形的边长为1,根据题意得,C=12+22=5,B=12+22=5,B=12+32=10,∴CP=BC,∴ BCP是等腰直角三角形,∠BCP=90 ,∴∠CPB=∠CBP=45 ,∵∠CPB=∠PAB+∠PBA,∴∠PAB+∠PBA=45 ,故选C. 6.B 如图,连接OC. 由题意知,BD=9-1=8(cm),DE=19-9=10(cm),BC⊥OC, ∴OC=OD=DE=5(cm),∴OB=8+5=13(cm), 在Rt C中,(cm), ∵在直角三角尺ABC中,∠ABC=30 ∴AC=BC=6(cm),故选 B. 7.C 设AB=AD=xcm,根据题意可知,BC∥EF,CE⊥EF,BF ⊥EF,BF=8 cm,DE=6 cm,BC=10 cm,∴ CE=BF=8 cm, ∴AC=AD+DE-CE=x+6-8=(x-2)cm, 在Rt ABC中,∠ACB=90 ,∴ 即x2=(x-2)2+102,解得x=26,故选C. 8.A 由题意知OC=2.4-0.4=2(m), 设OB=xm,则OD=(x+0.8)m, 在中,即. 在中,,即, ∵AB=CD,∴2.42+x2=22+(x+0.8)2,解得x=0.7. ∴AB=(m). 9.C 如图,由题意得OA=OB=AD=BC,设OA=OB=AD=BC=r寸,则AB=2r寸,由题意得DE=10寸,OE=CD=1寸,则AE=(r-1)寸,在Rt ADE中,,即(r-1)2+102=r2,解得r=50.5,∴2r=101,∴AB=101寸,故选C. 10.D 如图,连接CD,则CD=CB,作CH⊥AB于H,则DH=BH, ∵∠A=30 ,AC=3,∴CH=AC= 在 Rt CBH中,由勾股定理得, ∴满足已知条件的三角形的第三边长为2或.故选D. 11.【答案】:等腰直角三角形 【解析】: ∴a2+b2=c2,a=b,∴ ABC的形状为等腰直角三角形. 12.【答案】:5,12,13(答案不唯一) 【解析】:当a=5,n=12时,整数a,n,n+1分别为5,12,13, 又∴5,12,13是一组“完美勾股数”.(答案不唯一) 13.【答案】:20 【解析】:如图,延长AB、DC相交于F,则 BFC为直角三角形, 由勾股定理得(cm),故答案为20. 14.【答案】: 【解析】:由题意得 ∴,AC=3,BC=4,AB=5. ∴ ABC为直角三角形,∠ACB=90 , ∵S ABC=AC BC=AB CH, " 在Rt BHC中, 在 Rt CMG 中, 15.【答案】 【解析】:因为所以 所以a-1=0,b-2=0,解得a=1,b=2, 因为,所以a2+b2=c2 所以 ABC是直角三角形,∠ACB=90 , 设第三边上的高为h,则 ABC的面积 16.【答案】:5 【解析】:如图,作点A关于x轴的对称点A′,连接A′C, 则A′(0,-1),AC=A′C,且B,C,A′三点共线, 作BD∥AA′,A′D∥OC,BD与A′D交于点D,易知∠D=90 , 则光线从点A到点B经过的路线长为AC+BC=A′C+BC= 故答案为5. 17.【答案】:60 【解析】:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∵BF∥AC,∴∠ACB=∠CBF, ∴∠ABC=∠CBF,∴BC平分∠ABF, 如图,过点C作CM⊥AB于点M, CN⊥BF于点N,则CM=CN, ,且BF=AE,∴S CBF=S ACE, ∴四边形EBFC的面积=S CBF+S CBE=S ACE+S CBE=S CBA, ∵AC=13,AB=AC,∴AB=13, 设AM=x,则BM=13-x, 由勾股定理得解得 ∴四边形EBFC的面积为60,故答案为60. 18.【答案】:7或或 【解析】:①如图1,以点C为直角顶点时, ∵AC=CD=4,BC=3,∴BD=CD+BC=7; ②如图2,以点D为直角顶点时,作DE⊥BC交BC的延长线于点E, 在等腰直角三角形ACD中,∵AC=4,∴CD=2, 易证 CDE为等腰直角三角形, ∴DE=CE=2,∴BE=BC+CE=5, ∴; ③如图3,以点A为直角顶点时,作DE⊥BC交BC的延长线于点E,易知DE=CE=AC=4,∴BE=BC+CE=7, ∴ 故答案为7或或. A 图1 图2 图3 19.【解析】:(1)由题意得AD=60 n mile,AB=100 n mile,BC=125 n mile, 在 Rt ABD中, =80(n mile),……(2分) ∴CD=BC-BD=125-80=45(n mile), ∴AC==75(n mile).……(4分) 75 25=3(h). 答:轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h......................(5分) (2)∵, ∴ ABC是直角三角形,∠BAC=90 ,…….. (8分) ∴∠NAC=180 -90 -48 =42 , ∴C岛在A港的北偏西42 方向上.…………(10分) 20.【解析】:(1)证明:连接BE,如图所示, ∵ED垂直平分AB,∴AE=BE, ……(2分) ∴ ∴ BEC 是直角三角形,∠ACB=90 …………(4分) (2)设CE=x,则AE=12-x, ∵BE=AE,∴BE=12-x,.............(6分) ……(8分) 解得,即 21.【解析】:(1)∵82+152=172,且8、15、17都是正整数, ∴8、15、17是勾股数.........(3分) (2)∵72+242=252,∴该三角形是直角三角形, ∴其面积.........(6分) (3)当8是直角边长时,第三条边长,周长为6+8+10=24; 当8是斜边长时,第三条边长,周长为6+8+2=14+2. 故其周长为24或14+2..........(10分) 22.【解析】:(1)由题图得,当 =60 ,即∠BAC=60 时,锁链BC最长,∵AB=AC=180cm, ∠BAC=60 ,∴ ABC是等边三角形,∴BC=AB=AC=180 cm,∴锁链BC长度的最大值为180 cm(4分) (2)如图,过点D作DE⊥BC,垂足为E,∵AB=AC=180cm,∠BAC= =60 ,∴∠C=∠B=60 , ∵AD=160cm,∴BD=AD+AB=340 cm,在 Rt BDE中,∠DBE=60 , ∴∠BDE=30 ,∴BE=BD=170 cm, (cm), ∴桑梯顶端D到地面的距离为170 cm.…………(10分) 23.【解析】:(1)设芦苇的长度为x尺,则OC=OE=x尺,∴OD=(x-1)尺, 在Rt ODE中,DE=5尺,∠ODE=90 , 由勾股定理得, ∴52+(x-1)2=x2,解得x=13,∴OD=13-1=12(尺). 答:水池的深度OD为12尺........(6分) (2)证明:∵OD=b,CD=n,AB=2a,∴OC=OE=b+n,DE= a,在Rt ODE 中,∠ODE=90 ,由勾股定理得, ........(12分) 24.【解析】:(1)如图1,在Rt ABC中,AB=10 cm,BC=6 cm, ∴AC=A-B=102-62=8(cm),由勾股定理得, 当PA=PB时,,解得PA=cm,则 ........(4分) 图1 图2 (2)如图2,作PG⊥AB于G,∵点P恰好在∠BAC的平分线上,∠C=90 ,PG⊥AB,∴CP=GP, ∴Rt ACP≌Rt AGP(HL),∴AG=AC=8cm,∴BG=10-8=2(cm),……(6分) 设 CP=x cm,则 BP=(6-x)cm,PG=x cm, ∵在Rt BGP中,.......................(7分) 解得…(8分) 当点P沿折线A C B A运动到终点A时,点P也在∠BAC的平分线上,此时t=(10+8+6) 4=6. 综上所述,t的值为或6…………10分) (3)t的值为或5或5.3或………………(14分) 详解:如图3,当点P在AC上,CP=CB时, BCP为等腰三角形,则4=8-6,解得; 图3 图4 如图4,当点P在AB上,BP=BC时, BCP为等腰三角形, ∴AC+CB+BP=8+6+6=20(cm),∴t=20 4=5; 如图5,当点P在AB上,CP=CB时, BCP为等腰三角形,作CD⊥AB于D,则AB CD=BC AC,即 10 CD= 6 8,解得CD=4.8cm,在Rt BCD中,(cm), ∴PB=2BD=7.2(cm),∴AC+CB+BP=8+6+7.2=21.2(cm),此时t=21.2 4=5.3; 图5 图6 如图6,当点P在AB上,PC=PB时, BCP为等腰三角形, 作CH⊥AB于H,则CH=4.8cm,BH=3.6cm, ∵BP=(4t-14)cm,∴PH=4t-14-3.6=(4t-17.6)cm, ∵,解得t= 综上所述,t的值为或5或5.3或 学科网(北京)股份有限公司 $$