第十七章 勾股定理 暑期巩固提升训练题 2024-2025学年人教版八年级数学下册

第十七章 勾股定理 一、单选题 1．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．中，，，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 4．如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿（       ）方向航行． A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西 5．如图，在四边形中，，垂足为E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 8．如图，中，已知，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧分别相交于两点，画直线分别与边相交于点，连接．则线段的长为（    ） A．1 B． C． D．3 9．如图，在等边中，延长到点，连接，若，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 10．如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 二、填空题 11．如图，在中，，以C为圆心，以的长为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点E．若，，则 ． 12．如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 13．如图，在中，，，，按一下步骤作图：①以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D；②分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线交于点，则的长为 ． 14．如图，在中，，，，点是的中点，如果将沿翻折后，点的对应点为点，那么的长等于 ． 15．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ．    三、解答题 16．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为E．已知，求的长． 17．【问题提出】 （1）如图，和都是等边三角形，点在内部，连接，，． 求证：； 若，求证：； 【问题探究】 （2）如图．和都是等边三角形，点在外部，若仍然成立，求的度数． 18．在中，．若，如图1，根据勾股定理，则． (1)若是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论． (2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说明理由． 19．如图，在中，于E，且. (1)求证：； (2)若于D，F为中点，与分别交于点G，H． ①判断线段与相等吗？请说明理由； ②求证：． 20．如图，在等腰直角中，． (1)如图1，为等腰直角三角形，，求证：． (2)如图2，为内的一点，连接，，．若，，． ①求的度数． ②求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟悉掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 连接，利用勾股定理求出三角形各边的长度，再用逆定理证明为直角，再通过等腰三角形的性质运算求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据勾股定理可得：，， ， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角度和为及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 利用三角形的角度和勾股定理的逆定理逐一验证各选项是否满足条件即可． 【详解】解：选项A：若，则，故为直角三角形，可判定，不符合题意； 选项B：，总份数为6，计算得，故为直角三角形，可判定，不符合题意； 选项C：，验证勾股定理：，即，成立，故为直角三角形，可判定，不符合题意； 选项D：，最长边为，验证勾股定理：，不满足勾股定理，故无法判定为直角三角形，符合题意； 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、方位角等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，进而完成解答． 【详解】解：如图:由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故选A． 5．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键；易得，则有，由勾股定理求得，则有，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 在中，由勾股定理得：； 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题． 根据题意可证，可得，，根据勾股定理可得，的长，再根据勾股定理可得的长，即可求的面积． 【详解】解：是的平分线，于， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，． ， ∴，， ， ， 在中，， 的面积为． 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 8．C 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的作法及性质，由作图知垂直平分，设，则，由勾股定理解即可． 【详解】解：中， ，，， ， 由作图知垂直平分， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即线段的长为， 故选C． 9．B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，等腰直角三角形，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 先根据等边三角形的性质得出，即可证得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出，再在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， ∴， 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握知识点，利用轴对称性质求解最值问题是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，作交于点，根据角平分线性质定理得到，再由等面积法求出，作点关于的对称点，则在点在上，则，过点作交于点H，那么，故当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值，再由等面积法即可求解． 【详解】解：∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又是的平分线， ． ， 即， ， 是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上， ． 过点作交于点H， ∴ 当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故选：B． 11． 【分析】本题考查作图一基本作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图过程可知，由勾股定理得根据求出即可解题． 【详解】解：由作图过程可知，， 由勾股定理得， ， ， ， 故答案为：． 12．/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，勾股定理的逆定理，勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用基本作图得到，于，由勾股定理逆定理证得，由三角形的面积公式求出，利用勾股定理计算出，即可计算出． 【详解】解：，， ， ， 由作法得垂直平分， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 14． 【分析】由勾股定理的逆定理可求，由折叠的性质可得，，可得是的中垂线，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ， ， 点是的中点， ， 将沿翻折后， ，， 是的中垂线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，由勾股定理列出方程可求解． 15．/45度 【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：连接，    根据勾股定理可以得到：，， ∵，即， ∴是等腰直角三角形． ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，由角平分线的性质得到，求出，则可证明是等腰直角三角形，得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线，，． ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在等腰直角三角形中，． ∴． 17．（）见解析；见解析；（）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，等边三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等边三角形性质可得，，，然后利用“”证明即可； 由，则，再通过勾股定理得，又，从而求证； （）证明，则有，又，则，从而得出，最后用角度和差即可求解． 【详解】解：（）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由知， ∴； （）解：和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．(1)，证明见解析 (2)存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形三边关系，利用分类讨论的方法解不等式，灵活作高是解题的关键． （1）过点作的延长线于点，在中，，，，在中，，，那么有，化简可得，从而推出与的大小关系； （2）假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为，那么另外两边分别为和，根据三角形三边关系有，再结合（1）的结论，可得到的范围，从而解得答案． 【详解】（1）解：，证明过程如下： 过点作的延长线于点，如图所示： 不妨设， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ； （2）解：存在，三边为2，3，4，理由如下: 假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为，那么另外两边分别为和， 那么有， ， 由（1）的结论可知，， ， ， 或， ， 或， 又， ， 当时，，， 综上，存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4． 19．(1)见解析 (2)①，理由见解析；②见解析 【分析】（1）利用证明即可； （2）①利用证明即可； ②连接，由①知，，F为的中点，则垂直平分，从而有； 由及（1）知，得；在中，由勾股定理即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴； 在与中，， ∴， ∴； （2）①解：，理由如下： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在和中，， ∴， ∴； ②证明：如图，连接，由①知，； ∵F为的中点， ∴垂直平分， ∴； ∵，由（1）知 ∴； 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 20．(1)证明见解析 (2)    【分析】（1）由是等腰直角三角形可得，由为等腰直角三角形可得，由，可得，进而可得，于是可得，然后利用即可得出结论； （2）①作并使得，连接，，则为等腰直角三角形，由（1）得，由全等三角形的性质可得，，，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由勾股定理可得，在中，可得，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，，然后根据即可求出的度数；②由，可得，则，，三点共线，由勾股定理可得，，即，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的面积． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：①如图，作并使得，连接，， 则为等腰直角三角形， 由（1）得：， ，，， ，， ， ， 在中， ，， ， 为直角三角形，， ； ②，， ， ，，三点共线， ， ， ，， ，即， ， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$