勾股定理与折叠问题 期末培优 2024-2025学年人教版数学八年级下册

勾股定理与折叠问题 期末培优 2024-2025学年人教版数学八年级下册 一、单选题 1．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（  ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 3．如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处．若，，则的值为（    ） A．16 B．18 C．20 D．24 5．如图，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（    ）    A． B． C． D． 6．小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则到的距离为（    ） A． B． C． D． 7．小明同学手中有一张矩形纸片ABCD,AD=12 cm,CD=10 cm,他进行了如下操作: 第一步,如图(1),将矩形纸片对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,将纸片展平. 第二步,如图(2),再一次折叠纸片,把△ADN沿AN折叠得到△AD'N,AD'交折痕MN于点E,则线段EN的长为 (　　) 图(1) 图(2) A．8 cm B． cm C． cm D． cm 8．如图，长方形中，，，点为边上的点，将沿折叠得到，点的对应点为，射线恰好经过的中点，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 9．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形沿直线EF折叠，使点B落在矩形的边AD上的点N处，点A落在点G处，有以下列结论：①△ABE≌△GNE；②四边形BFNE是菱形；③当点N与点D重合时，EF=2；④四边形BFNE的面积S的取值范围是.其中正确的是(   )    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 10．如图，矩形纸片中，将矩形纸片翻折，使点B落在对角线上的点F处，折痕交于点，若，则的长度为 ． 11．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE＝GB，则CP的长为 ． 12．如图，在中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则DF的长为 ． 13．如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到形内（不包括边），则的取值范围为 ． 14．如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则 ． 15．如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    三、解答题 16．长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求和的长； (3)求四边形的面积． 17．综合与探究 材料：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形），它具有如下性质： （1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对边平行且相等． 符号语言： 矩形， ， ，. 问题情境：折叠问题的实质是图形的轴对称变化，找出对应相等的元素是解题的关键．如图1，在矩形中，，，F为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点B的对应点为． 数学思考： (1)如图2当点落在对角线上时，求线段的长． (2)如图3，当时，请直接写出线段的长． (3)在点运动的过程中，当F，E，D三点共线时，请直接写出线段的长． 18．在平面直角坐标系中，已知矩形． (1)如图1，若点，点D在边上，将沿翻折，点B恰好落在边上的点E处， ①点E的坐标为________；②线段的长为________； (2)如图2，在(1)的前提下，P是y轴上的一个动点，若为等腰三角形，求点P的坐标； (3)如图3，若点，，点F是边上的动点，过点F作的垂线交直线于点H，交直线于点G，求的最小值． 参考答案 1．【答案】C 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选C． 2．【答案】A 【分析】由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解． 【详解】解：在中，， 根据折叠的性质可知， ∴． 故选A． 3．【答案】A 【分析】勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选A． 4．【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，由勾股定理得到，两式相减，通过整式的化简即可得到结论． 【详解】解：∵将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 故选C． 5．【答案】C 【分析】过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，则四边形为矩形，由折叠可得，得到，，进而可得，从而判断出点在上运动，又由全等三角形的性质可得，，设 ，则，，由勾股定理得，即得，解方程求出，得到的长度，即可求解，正确作出辅助线 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，则四边形为矩形，    ∴，，， 由折叠得，， ∴，， ∴， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， ∴点到的距离等于，即点在上运动， ∴点与点重合时，点与点重合， 当点与点重合时，如图，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ 四边形为矩形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴当点从点运动到点时，点运动的路径长为线段的长，等于， 故选． 6．【答案】C 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解得出，再得出，利用等面积法求出点到的距离，进而即可得出到的距离 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：，，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴ 则， 则点到的距离为：， 则点到的距离为：． 7．【答案】B 【详解】∵四边形ABCD是矩形,∴∠MAD=∠NDA=90°,AB=CD=10 cm.由折叠可得AM=AB=5 cm,AD=AD'=12 cm,MN⊥AB,∠DAN=∠D'AN,∴四边形AMND是矩形,∴MN∥AD,MN=AD=12 cm,∴∠DAN=∠ANM,∴∠ANM=∠D'AN,∴EA=EN.设EA=EN=x cm,则EM=(12-x)cm.在Rt△AME中,根据勾股定理可得AM2+ME2=AE2,即52+(12-x)2=x2,解得x=,即EN= cm,故选B. 8．【答案】A 【分析】根据折叠的性质，得，，，，结合，勾股定理，求得，解答即可． 【详解】解：∵长方形中，，，将沿折叠得到，射线恰好经过的中点， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 9．【答案】D 【分析】①由矩形的性质，折叠可知∠A=∠G=90°AB=GN，BE=EN，可以证明Rt△ABE≌Rt△GNE（HL），故①正确； ②由矩形的性质，折叠可知EN∥BF，BF=FN，所以得到∠NEF=∠BFE，可以证EN=BF，又因为EN∥BF，所以四边形EBFN为平行四边形，又因为BF=NF，即可证明四边形EBFN为菱形，故②正确； ③当点N与点D重合时，如图所示，可得AB=CD=，BC=3，在Rt△BCN中，由勾股定理可得BN，求出NO=NC=，证明Rt△NOF≌Rt△NCF（HL），得到FC=FO，在Rt△NFC中，设FC=x，则NF=3-x，由勾股定理可得，解得FC=FO=1，所以EF=2FO=2，故③正确； ④当N和D重合时，菱形BFNE面积最大，S最大=；当N和A重合时，菱形BFNE面积最小，S最小=，根据四边形BFNE的面积S的取值范围得④正确. 【详解】①由矩形的性质，折叠可知∠A=∠G=90°，AB=GN，BE=EN， 在Rt△ABE和Rt△GNE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△GNE（HL），故①正确； ②由矩形的性质，折叠可知EN∥BF，BF=FN， ∵EN∥BF， ∴∠NEF=∠BFE， 又因为∠BFE=∠NFE， ∴∠NEF=∠NFE， ∴EN=FN， ∴EN=BF， 又因为EN∥BF， ∴四边形EBFN为平行四边形， 又因为BF=NF， ∴四边形EBFN为菱形，故②正确； ③当点N与点D重合时，如图所示： AB=CD=，BC=3， 在Rt△BCN中，由勾股定理得BN=， ， ∴N0=NC=， 在Rt△NOF和Rt△NCF中， ， ∴Rt△NOF≌Rt△NCF（HL）， ∴FC=FO 在Rt△NFC中，设FC=x，则NF=3-x，由勾股定理可得， ， 解得x=1， ∴FC=FO=1， ∴EF=2FO=2，故③正确； 当N和D重合时， 菱形BFNE面积最大，S最大=， 当N和A重合时， 菱形BFNE面积最小，S最小=， 四边形BFNE的面积S的取值范围是， 故④正确. 故正确的序号是①②③④． 10．【答案】 【分析】根据矩形的性质得，由折叠的性质可得，得到，利用勾股定理求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：矩形纸片中，， ∵将矩形纸片折叠，使点落在对角线上的点处， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， 在中，， ∴，即， 解得， ∴， ∴. 11．【答案】 【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE,CP=EP，由∠EOF=∠BOP,∠B=∠E,GE=GB可得出△GEF≌△GBP，根据全等三角形的性质可得出GF=GP,EF=BP，设BF=EP=CP=x，则AF=4-x，BP=3-x=EF，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，在Rt△ADF中，依据AF2+AD2=DF2，可得到x的值． 【详解】解：根据折叠可知,△DCP≌△DEP， ∴DC=DE=4，CP=EP． 在△GEF和△GBP中， ， ∴△OEF≌△OBP（ASA）， ∴EF=BP，GF=GP， ∴BF=EP=CP， 设BF=EP=CP=x，则AF=4-x，BP=3-x=EF，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1， ∵∠A=90°， ∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2， ∴（4-x）2+32=（1+x）2， ∴x=， ∴CP=. 【知识点拨】折叠的性质：折叠前后两个图形全等，对应线段相等，对应角相等. 12．【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，从而得出相应角相等，再根据角之间的关系得出，从而得出为等腰直角三角形，再根据勾股定理求出的长度，利用三角形的面积公式求出的长度，再求出、的长度，最后求出的长度． 【详解】解：∵边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处， ∴， ∴，，， ∵边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．【答案】 【分析】先根据勾股定理求得，当点落在上时，此时最短，当点落在上时，此时最长，利用三角形等面积法及勾股定理即可求解． 【详解】解：当点落在上时，此时最短，如图2，则， ， ，，， ， ， ， ， ， 当点落在上时，此时最长，如图3，则， 作于点，于点，则，， ， ， ， ， ， ， ， 的取值范围为. 14．【答案】/ 【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，为边的中点，， ∴，， ∵将沿翻折，点的对应点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 15． 16．【答案】(1)； (2)， (3) 【分析】（1）结合长方形的性质和点的坐标，即可解答； （2）由折叠的性质得，，在利用勾股定理求出的长，得到的长，设，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的长，即可解答； （3）利用四边形的面积即可求解． 【详解】（1）解：长方形，点的坐标为， ，， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：；． （2）解：由折叠的性质得，，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即， 综上所述，，． （3）解：由（2）得，， ， 由折叠的性质得，， 四边形的面积 ， 四边形的面积为． 17．【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）先根据矩形的性质和勾股定理求出的长，再由折叠的性质推出，则，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可； （2）在上取一点H使得，连接，可证明是等腰直角三角形，则可得到，，进而得到，据此可得答案； （3）分当点F在上和当点F在延长线上，两种情况通过证明得到，利用勾股定理求出的长，进而求出求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （2）解：如图所示，在上取一点H使得，连接， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当点F在上时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 如图所示，当点F在延长上时， 同理可证明， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴. 综上所述，的长为或． 18．【答案】(1)①；②； (2)点P的坐标为或或或； (3). 【分析】（1）①根据矩形的性质和折叠得到，，，则，即可求出； ②设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可； （3）作关于的对称点，作关于轴的对称点，连接，，，则，，，，，当，，都在线段上时，最小，此时证明，得到，，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：①∵矩形，， ∴，，， ∵将沿翻折，点B恰好落在边上的点E处， ∴，，， ∴， ∴，， 故答案为； ②设，则， ∵中，， ∴，解得， ∴， 故答案为； （2）解：在（1）的前提下，，，， 设， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴当时，， 即， 解得，此时， 当时，， 即， 解得或， 此时或， 当时，， 即， 解得， 此时， 综上所述，若为等腰三角形，点P的坐标为或或或； （3）解：∵矩形，点，， ∴，，，， 作关于的对称点，作关于轴的对称点，连接，，， ∴，，，， ∴， ∴当，，都在线段上时，最小， ∵过点F作的垂线交直线于点H， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$